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標題: 教甄筆試心得分享　110.8.21寸絲教甄筆記手寫解答快來下載 [打印本頁]

作者: ksjeng 時間: 2009-2-28 19:31 標題: 教甄筆試心得分享　110.8.21寸絲教甄筆記手寫解答快來下載

如題
該如何找到這本參考書

100.9.4
將文章標題"高中數學101已經不出版了怎麼辦"更改為"教甄筆試心得分享"

作者: weiye 時間: 2009-2-28 20:19

打電話找泰宇出版社，

問看看有沒有庫存囉。

作者: bugmens 時間: 2009-2-28 21:03

老師您好
      從你的文章中有推一本叫"高中數學101"的書
      我有打去出版社問,該本書目前絕版
      且所住附近的書局也都沒有該本書
      之前有賣的也都因為版權問題退回去了
      所以不知道能不能跟老師您複印該本書呢?
      謝謝您...

這是ptt網友寄給我的信,這本書應該是絕版了,而且我很愛惜這本書也不可能再借別人影印,你可能要到舊書攤碰碰運氣了
補上書的封面

圖片附件: 高中數學101.jpg (2011-10-23 20:40, 116.9 KB) / 該附件被下載次數 11934
https://math.pro/db/attachment.php?aid=848&k=e38d72cda8751fdc7394afb49c9c81d4&t=1781372928

作者: ksjeng 時間: 2009-3-2 11:28

我已經借到了
我會多上來發問
請老師們多多指教

作者: s6423579 時間: 2009-3-15 11:09 標題: 回復 4# ksjeng 的帖子

可以跟你借一下嗎?
因找這本找很久都找不到....拜託您了!

作者: febull 時間: 2009-6-24 07:22

到處都找不到，有的人也不借，哀看清這社會的現實了...

作者: weiye 時間: 2009-6-24 10:02

之前跟泰宇的某業務問起，

聽他說這本書“可能”會出新改版，

不過新改版應該是會先把有版權爭議的題目拿掉，

然後另外增加一些沒有版權爭議的題目。

聽說啦，不知道是不是真的，可以等看看囉。

^__^

作者: bugmens 時間: 2009-7-16 05:32

經網友sweeta314同意後將文章轉到這裡
僅節錄和高中數學101有相關的部份，其餘請參閱附件

筆試方面：
其實說真的，看了版上許多神人準備教甄的過程，我做的題目算很少的
前兩年我都在作考古題，但是後來發現，作考古題似乎比較沒有統整性
例如有些題目其實觀念相通，但是若放在不同一份考卷裡
很難聯想到其實她們是有關聯的，所以這一年我改變了方式
我將塵封已久的高中數學101拿出來算來來回回算了兩遍
畢竟本身有當導師所以比較沒有時間唸書，這一年來幾乎只要一有空就拿出來算
不管是在坐車的路途上　監考　自習課　....　等等，只要有時間就算數學
我想分享的是：101算一遍真的不夠！！
當我算了第二遍時　才發現其實好多重點之前都遺漏掉了
只有再算第二遍時　對於每一道問題都認真思考過才能吸收
遇到不會的題目就找人討論
總之，就是一定要弄到懂不能放著不管他
到了考試時期才和朋友討論了幾份考古題
總之，這一年我的重點是101
感覺寫101比作考古題有系統多了，難怪很多人都說這是教甄的聖經

補上sweeta314推文裡的說明

剛剛有好心版友跟我說明了有關101停版的原因
當初這本書被收回去原因 :
1.好像是因為他叫高中數學101
好像有其他出版社的書也是高中數學101還是挑戰數學101，所以出版社之間在打官司
2.好像是他的解答有的是用競賽單位提供的答案
書商好像說這本書不久之後會再出版，所以就請版友拭目以待吧

告訴大家一個好消息:
昨天我打電話去出版社問過了
出版社說今年九月會重新再出版
所以大家可以買到這本書了!

附件: 教甄經驗分享.rar (2010-3-13 09:17, 11.4 KB) / 該附件被下載次數 20869
https://math.pro/db/attachment.php?aid=108&k=cd1894cb4a1bce39bd6d577e59b072f8&t=1781372928

作者: Sandy 時間: 2009-8-3 15:18 標題: 回復 1# ksjeng 的帖子

前幾天打電話到書店問，聽書商說九月分應該會再版，所以不用擔心絕版的問題。
九月份再打電話去問問看囉！！

作者: bugmens 時間: 2009-8-26 07:37

我昨天在台北市重慶南路書店買到新書了
書名改為新高中數學101修訂版,定價仍是350元
我用數位相機將封面放上來

圖片附件: 新高中數學101.jpg (2009-8-26 07:37, 108.06 KB) / 該附件被下載次數 15033
https://math.pro/db/attachment.php?aid=118&k=79db8a2177b5c6941f4fbbde7322e28e&t=1781372928

作者: bugmens 時間: 2009-8-26 08:20

我一拿到新書就開始和舊書一頁一頁比較,看看到底增刪了哪些內容
比較後發現新書將部分的AMC,ARML,AIME,TRML題目被移除了
我猜測作者要避免使用到有版權的題目,用指考及學測的題目代替

另外在序也提到
二、刪去「反三角函數」、「坐標變換」，加入「常態分佈與信賴區間」及「排列組合引用數列之遞迴解題」。
三、本書自94年出版以來，頗受好評，各校教師甄選採用本書中頗多題材，特此誌謝。

整體看來,修訂版變得比較迎向高中生的市場,但以教師甄試來看則稍嫌不足,因版權問題而有這樣的更動,卻也是無可奈何。
聖經之所以為聖經,就是擁有其他坊間參考書所沒有的競賽試題,而這些正是教甄的出題來源,不是說指考和學測試題不重要,而是隨便一本歷屆試題都有,高中數學101的價值也不在這裡。
我的建議是已經有舊版的網友請你好好收藏這本書,至於還沒有這本書的網友這本書仍是準備高中數學教甄的不二人選。

底下我列出幾個單元在新舊版上的差異,列出來的都是舊版才有的題目,你可以對照新版被換成哪些題目
像第13單元演練題4第1小題就是98松山工農考過的題目,但新版已經移除了

第10單元　一元二次方程式(一)
沒有更動

第11單元　一元二次方程式(二)
例題3
設\( ax^2+bx+c=0 \)之二根均為無理數，且此二根之近似值為0.8470703308及-0.5930703308。若\( a,b,c \in Z \)，且(a,b,c)=1，又a>0，|b|≦10，|c|≦10，計算a=，b=，c=。【1996ARML試題】

第12單元　數列級數(一)　有限數列與級數
例題4
\( n \in N \)，\( a_n=\sqrt{n} \)之最接近之整數值。(1)\( m \in N \)，滿足\( a_n=m\)之自然數n之個數=。(用m表示)　(2)\( \displaystyle \sum^{2001}_{k=1}a_k \)=。【日本國立橫濱大學】

演練題4
平面上n個圓最多將平面分成個區域。

演練題6
(1)\( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} ) \)=。
(2)數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)之前n項之和\( a_1+a_2+...+a_n=2^{n+1}(n^2-2n) \)，則此數列第n項\( a_n \)=。【87日大社會組】

第13單元　數列級數(二)　等差、等比、調和級數
例題4
設a、b為二定正數，且\( a_1 \)、x、y、b成等差；a、u、v、b成等比，求證(1)xy≧uv。(2)x+y≧u+v。

演練題4
(1)已知\( \langle\; a_n \rangle\; \)成A.P.，求證\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}} \)。
(2)已知a、x、y、b成A.P.，a、p、q、b成H.P.，則\( \displaystyle \frac{qx}{py} \)=。

演練題5
一G.P.之前n項和= \( S_n \)，前n項之乘積= \( P_n \)，前n項倒數和= \( T_n \)，求證\( \displaystyle P^2_n=( \frac{S_n}{T_n} )^n \)。

演練題6
(1)設a、b、c、d成H.P.，則\( \displaystyle \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d} \)=。
(2)x≠1，則\( 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1} \)=。

第14單元　數列級數(三)　遞迴數列、無窮數列之極限
例題4
(1)已知\( a_1=-2 \)，\( \forall n \in N \)，n>1時，\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \)，則\( a_{1999} \)=。【1999TRML試題】
(2)已知\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)，\( a_2=8 \)，n>1時，\( \displaystyle \sqrt{a_n}=\frac{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n+1}}}{2} \)，則\( a_{2000} \)=。【2000TRML試題】

第15單元　數列級數(四)　無窮等比級數
沒有更動

第16單元　數學歸納法
沒有更動

第17單元　平面上之直線(一)　平面坐標系－距離公式、分點公式、面積、斜率
例題3
一個正十二邊形之頂點依順時針方向坐標為\( (x_i,y_i) \)，i=1,2,3,...,12。若\( (x_i,y_i)=(15,9) \)，且\( (x_7,y_7)=(15,5) \)，則\( \displaystyle \sum^{12}_{i=1}(x_i-y_i) \)=。【2001ARML試題】

例題4
從原點出發之一道光線，射在鏡面(視為一直線)上一點A(4,8)，且反射道點B(8,12)，則鏡面(直線L)之斜率為。【2002ARML試題】

演練題5
利用解析證法證明任意凸四邊形四邊平方和≧二對角線平方和，並說明「=」成立\( \iff \)四邊形為平行四邊形。

演練題6
設A(-3,-1)、B(2,1)、C(3,4)、D(-2,8)，P為平面上之動點，則
(1)\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)之最小值=，此時P=。
(2)\( \overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD} \)之最小值=，此時P=。

作者: acthjoyce 時間: 2010-6-12 22:43 標題: 好書不會絕後的!!

又出新版的，黃老師有聽到大家的心裏的os哦!!!

作者: bugmens 時間: 2010-7-2 00:33

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僅節錄和筆試有相關的部份，其餘請參閱附件

在明星高中代理期間  我接了高中導師一職
其實對我而言是一種磨練也讓今年的教師甄試加了一些分數

因為我所代理的高中學生都是PR99,98進來的
剛開始我會小害怕  時時刻刻都處在隨時會被問倒的危機當中
但是俗話說的好"危機就是轉機"
我剛好用了這批學生來磨練我自己

首先學校安排了一門數學選修課程給我上
內容幾乎都是高中課程的延伸  隱約有教師甄試的影子
像是費氏數列同餘鴿籠原理費瑪點 ...等等
雖然備課無敵累但也幫我建立好一些底子
原來不是狂作考古題就好  基礎很重要

再來學生無時無刻都會拿難題來問你
TRML ARML AMC12 高中數學競賽等試題
我戰戰兢兢接受他們的磨鍊也還好沒漏氣

因為學生程度夠我便想到可以讓他們挑戰難題
我拿了高中數學101 及教師甄試的考題來上課
一方面給他們做一方面我在講台上解一次
雙方都獲利! 事實證明
教甄有幾次就出現我上課講的題目

版主補充
高中數學101，高中數學能力競賽，TRML，ARML，AMC12，AIME
學測指考，奧數教程，高中數學競賽教程，這都是教甄命題的來源
今年沒考只是出題老師沒選到而已，不代表明年就不會考
只準備考古題很難在競爭激烈的教甄中脫穎而出

附件: 你的報名費不會白費的.rar (2010-7-2 00:33, 7.07 KB) / 該附件被下載次數 16745
https://math.pro/db/attachment.php?aid=264&k=6d4dc72490801548ea006f2218394603&t=1781372928

作者: bugmens 時間: 2010-7-12 03:23

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僅節錄書單的部份，其餘請參閱附件

以下準備方向可供各位參考
(1)課內: (念完也"比較"不會被學生隨便輕易的問趴)
   1.課本, 教師手冊, 各版本常見的參考書(徐氏一定要熟讀, 這是最基本的)
   2.各名校段考試題(翰林有出書), 比較有深度的測驗卷(有些廠商有在賣)
   3.所有歷屆的學測, 推甄, 聯考, 指考試題(有些舊書可去圖書館找, 可以找到)
   4.各區模擬學測指考試題(賴老師網站, 薪橋, 詮達, ....很多都有出)
   5.名校輔教, 或數學年鑑, 或日本, 大陸入學考, 甚至高考試題(有心都可以找到)
   6.補習班講義有時候都會收集一些精彩考題(舊書攤找的到)

(2)課外:
   1.高中數學101(這是最基本的, 你不熟, 別人會很熟= =)
   2.名校校內數學競試(網路上都可以找到, 花點心思去找吧!)
   3.名校雙,單週一題(網路上也可以找到)
   4.中山雙週一題(有些題目比較偏離教甄, 但是還是有參考價值)
   5.AMC12(後面幾題比較有參考價值),TRML,ARML,AIME, 城市盃(題目都很漂亮)
   6.高中數學資優班入學考題(很多學校都有, 例如:中女,嘉中,中山大學,高雄大學..)
   7.台大, 師大數學系推甄試題, 台師大教育研究所考古題, 台大資工推甄試題...等
   8.台灣各區高中數學競賽, 能力競賽(網路有些也可以抓到)
   9.大陸高中數學聯賽, 或模擬試題
10.亞太培訓教材, 或國內一些老師寫的培訓教材
11.世界, 蘇聯, 美蘇, 莫斯科, 美國競賽試題,....太多了(有出書)
12.九章, 凡異有很多競賽相關書籍
13.大學微積分和線性代數
14.建中通訊解題
15.數學傳播的文章
16.近十年的教甄考古題, 年份越早一定越不齊全, 95之後漸漸開始有公佈電子檔
17.高中數學教程, 奧數教程(三冊)
18.奧林匹克歷屆試題(可以學到一些觀念與技巧, 很有深度= =)

(3)論壇:
   1.全國教師會選聘服務網(96,97)
      h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24　(連結已失效)
　　這裡可以下載備份檔
　　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9233
   2.全國教師會選聘服務網(94,95)
      h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/　(連結已失效)
   3.美夢成真教甄討論區
      http://www.shiner.idv.tw/teachers/index.php
   4.Math Pro 數學補給站
      https://math.pro/db/
   5.巨人网家長社區
      h ttp://bbs.juren.com/tag.php?name=%E6%95%B0%E5%AD%A6　(連結已失效)
   6.YLL討論網
      http://www.yll.url.tw/viewforum.php?f=52
   7.人教論壇
      h ttp://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=forumdisplay&fid=38　(連結已失效)
   8.台灣深藍學生聯合論壇
      論壇已充滿垃圾文章h ttps://www.student.tw/forum/169-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%89%88/
   9.奧數之家
      h ttp://www.aoshoo.com/bbs1/index.asp　(連結已失效)
10.ptt數學版
11.陆元鸿老师的《数学中国》园地
      h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp　(連結已失效)
12.還有很多國外的, 自己花點時間去找吧!

附件: 99高中數學教甄準備方向供參考.rar (2010-7-12 03:23, 3.43 KB) / 該附件被下載次數 13724
https://math.pro/db/attachment.php?aid=272&k=53bf4584410602d1dfdb5098f62ad676&t=1781372928

附件: AMC12.zip (2016-5-1 22:12, 1.18 MB) / 該附件被下載次數 14675
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3320&k=82ee0a67e20041cdf4ccd36c96529b18&t=1781372928

附件: ARML.zip (2016-5-1 22:27, 564.4 KB) / 該附件被下載次數 14128
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3321&k=407bfc2e868c9ed1f6170390d690b62b&t=1781372928

作者: bugmens 時間: 2010-7-12 13:29

難得有考生的經驗分享會提到"數學傳播"，我再補充幾篇關於教甄的文章
至於檔案連結我就不放了，可以到http://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/尋找
也順便看看其他的文章，你的數學能力一定會所提升

設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4}，(n \in N,n \ge 2) } \)，求\( a_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1492-1-1.html)

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\( a_1=a_2=1 \)，\( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \)( \( n \ge 3 \) )則\( a_n \)的一般式\( a_n= \)？
(99嘉義高工，https://math.pro/db/thread-964-1-2.html)

設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \)，\( \forall n \ge 2 \)，求一般項\( a_n \)(以n表示)。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)的遞迴定義式為\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4} \)( \( n \in N,n \ge 2 \) )，則一般項\( a_n \)為何？
(102台中二中代理，https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)

102.12.26補充
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_0=3 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3} \)，求\( n \ge \)時，一般項\( a_n= \)？
(101台中二中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1459&page=4#pid9487)

105.5.16補充
求\(\langle\;a_n \rangle\;\)一般式，\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=0　　　　　　 \cr a_n=-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4},n \ge 2} \)。
(105華僑高中，https://math.pro/db/thread-2507-1-1.html)

112.7.25補充
已知遞迴數列滿足，\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2a_n-4}\)，求一般式\(a_n=\)　　　。(以\(n\)表示)
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

113.4.24補充
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係\(\cases{\displaystyle a_1=2\cr a_{n+1}=\frac{3}{2a_n+1},n\ge1}\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-1)(-\frac{3}{2})^n=\)　　　。
(113彰化女中，https://math.pro/db/thread-3845-1-1.html)

像這種分式線性遞推的題目已有標準作法，0和\( \displaystyle \frac{1}{3} \)是這題不動點，用倒數來解釋無法推論到其他題目
往年考到這類題目時隨著係數的不同或許有其他作法，但考試的時候還是用標準的做法來做會比較穩

至於二階線性遞歸的題目就更常見了，但要小心當特徵方程為重根時要怎麼處理

文章請見
徐瀝泉·王繼岳·陳漢冶，遞歸數列與不動點

－－－－－－－－－－－－
若兩圖形\( y=f(x)=a^x \)與\( y=g(x)=log_a x \)有唯一的交點，則不為1的正實數a之範圍為。
(99建國中學，https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)

指數函數\( y=f(x)=a^x \)與對數函數\( y=g(x)=log_a x \)，若已知\( f(x) \)與\( g(x) \)相交三點，求實數a的範圍。
(97中一中，https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html)

103.5.8補充
就a值討論，\( log_ax=a^x \)的解的個數。
(103大同高中，https://math.pro/db/thread-1873-1-1.html)
一個交點和三個交點都考過了還有兩個交點和沒有交點可以考
文章請見
李政豐·顏貽隆·蔡敏娟·陳明君，函數\( y=a^x \)與\( y=log_a x \)的圖形交點個數的探索

－－－－－－－－－－－－
95全國高中聯招考過三角形面積平分，95建功高中考過四邊形面積平分
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... prev=4241&next=4232
文章請見
鄭再添，三角形面積平分探討

－－－－－－－－－－－－
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\( n= \)？
(99建國中學，https://math.pro/db/thread-968-1-2.html)

我是看了這篇文章才知道要怎麼解題
文章請見
曾健威·夏芷惠·黃奕妮，從解三次方程到構作正七邊形

－－－－－－－－－－－－
設\( a,b,c \)為一個三角形的三邊長，試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)。
(97中二中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807
99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-2.html
99新竹實驗中學，100建國中學二招都考過這題)

設\( \displaystyle 0< \theta < \frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{2}{sin\theta}+\frac{3}{cos\theta} \)之最小值。
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-2.html)

剛好一題用科西不等式，另一題用廣義的科西不等式解題

文章請見
張國男，廣義Cauchy不等式定理及其應用

－－－－－－－－－－－－
\( a,b,c \)為三角形之邊長且\( a,b,c \)為正整數，\( a<b<c \)，若三角形周長等於三角形面積求所有數對\( (a,b,c) \)？
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=20694

題目改為半周長就是高中數學競賽教程的一題
求邊長為自然數的三角形，使其面積為周長的一半。
(高中數學競賽教程　P38)

文章請見
林克瀛，邊長為整數的三角形

－－－－－－－－－－－－
已知圓內接四邊形ABCD中，\( \overline{AB}=3 \)，\( \overline{BC}=5 \)，\( \overline{CD}=8 \)，\( \overline{DA}=5 \)，而點P為四邊形ABCD內一點，
今設點P至\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CD} \)、\( \overline{DA} \)的距離分別為a、b、c、d，試求：
(1)四邊形ABCD的面積？
(2)\( a^2+b^2+c^2+d^2 \)的最小值為？
(99桃園高中，https://math.pro/db/thread-980-1-2.html)

圓內接凸四邊形ABCD，若四邊長分為\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)，證明四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)，其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
(100玉井工商，https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

101.5.4補充
若圓內接四邊形ABCD的四個邊長分別為a，b，c，d，設\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)，試證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)。
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-2.html)

考慮所有的四邊形ABCD，其中\( \overline{AB}=14 \)，\( \overline{BC}=9 \)，\( \overline{CD}=7 \)，\( \overline{DA}=12 \)。試問在這種四邊形內部，或與此四邊形內切圓最大圓的半徑是多少？
(A)\( \sqrt{15} \)　(B)\( \sqrt{21} \)　(C)\( 2 \sqrt{6} \)　(D)5　(E)\( 2\sqrt{7} \)
(2011AMC12，https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

四邊形ABCD，\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \)，求四邊形ABCD的所有內切圓中，面積最大者為
(101文華高中，https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html)

101.5.15補充
若圓內接四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d，設\( \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) \)，則四邊形ABCD之面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
(101嘉義高中，https://math.pro/db/thread-1357-1-1.html)
(103松山家商，https://math.pro/db/thread-1925-1-1.html)

113.1.6補充
設平面四邊形ABCD的四邊長\(a=AB,b=BC,c=CD,d=DA\)，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若\(a,b,c,d\)為四個連續的正整數。證明：四邊形\(ABCD\)面積的最大值不為整數。
(112基隆女中第二次，https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)

蔡聰明，四邊形的面積

－－－－－－－－－－－－
設四邊形ABCD是圓的內接四邊形，試證：\( \overline{AC}\times \overline{BD}=\overline{BC}\times \overline{AD}+\overline{AB}\times \overline{CD} \)。
(97中和高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364)

文章請見
蔡聰明，星空燦爛的數學(II)－－托勒密定理

－－－－－－－－－－－－
100.2.17補充
已知\( 146=5^2+11^2 \)，\( 218=7^2+13^2 \)，試將\( 146×218=31828 \)表示成兩個正整數的平方和？
(99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html

文章請見
陳敏晧，數學史連結數學思考一以費伯納西恆等式為例

－－－－－－－－－－－－
100.7.21補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是\( -1 \le r \le1 \)?
(100松山高中代理，https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)

解題的方法只是把柯西不等式的證明換句話說

文章請見
張福春、李姿霖，不等式之基本解題方法

－－－－－－－－－－－－
100.9.3補充
設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2(cos \frac{\pi}{2^k}) \)，試證\( -1<S_n<0 \)。
(97潮州高中，98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)
題目出自72年大學聯考

文章請見
陳昭地，「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感

－－－－－－－－－－－－
100.10.23補充
求\( \displaystyle \frac{1}{(x-3)(x-2)^2} \)中\( x^8 \)的係數。
答案：\( \displaystyle -(\frac{1}{3})^9-7(\frac{1}{2})^{10} \)
原來97松山工農的這題出自這裡

文章請見
張福春、曾介玫，一般生成函數之應用
－－－－－－－－－－－－
100.11.14補充
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)
(99苗栗高中，https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)-33　(B)33　(C)22　(D)-22
(98金門縣國中聯招)

101.6.17補充
a,b,c為非零實數，\( a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3 \)，\( a+b+c=0 \)，則\( a^2+b^2+c^2= \)？
(101鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1420-1-1.html)

103.5.8補充
已知方程式\( x^3-2x^2-6x+5=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)？
(103家齊女中，https://math.pro/db/thread-1860-1-1.html)

103.7.5補充
若a、b、c是方程式\( x^3-6x^2+5x=1 \)的三個根，則\( a^5+b^5+c^5= \)？(A)2883　(B)3281　(C)3779　(D)4198
(103基隆市國中聯招)　

109.4.20補充
已知方程式\(x^5-x^4-x^3-x^2-x-3=0\)的五個根分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)，求\(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5\)的值為。
(109竹科實中，https://math.pro/db/thread-3311-1-1.html)

109.5.11補充
已知三次方程式\(x^3-2x^2-6x+5=0\)的三根分別為\(\alpha,\beta,\gamma\)，則\(\alpha^5+\beta^5+\gamma^5=\)　　　。
(109中正預校，https://math.pro/db/thread-3325-1-1.html)

113.5.30補充
已知\(\alpha+\beta+\gamma=3,\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-2,\alpha\beta\gamma=-10\)，試求\(\alpha^7+\beta^7+\gamma^7=\)　　　。
(113華江高中，https://math.pro/db/thread-3880-1-1.html)

113.2.15補充
多項式\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，
定義：
\(e_0(f(x))=1\)、
\(e_1(f(x))=\alpha+\beta+\gamma\)(即\(f(x)=0\)的三根之和)、
\(e_2(f(x))=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)(即\(f(x)=0\)的三根任取兩個乘積不重複之和)、
\(e_3(f(x))=\alpha\beta\gamma\)(即\(f(x)=0\)的三根任取三個乘積不重複之和)、
\(p_n(f(x))=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n\)(即\(f(x)=0\)的三根各別\(n\)次方之和，\(n\)為自然數)。
故\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-e_1(f(x))x^2+e_2(f(x))x-e_3(f(x))\)
(1)試証：\(2\cdot e_2(f(x))=e_1(f(x))\cdot p_1(f(x))-e_0(f(x))\cdot p_2(f(x))\)
(2)利用\(\cases{f(\alpha)=\alpha^3-e_1(f(x))\alpha^2+e_2(f(x))\alpha-e_3(f(x))=0 \cr
f(\beta)=\beta^3-e_1(f(x))\beta^2+e_2(f(x))\beta-e_3(f(x))=0 \cr
f(\gamma)=\gamma^3-e_1(f(x))\gamma^2+e_2(f(x))\gamma-e_3(f(x))=0}\)，
証明：\(3e_3(f(x))=e_2(f(x))\cdot p_1(f(x))-e_1(f(x))\cdot p_2(f(x))+e_0(f(x))\cdot p_3(f(x))\)
(3)若\(p_1(f(x))=\alpha+\beta+\gamma=1\)、\(p_2(f(x))=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=2\)、\(p_3(f(x))=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=3\)、
①利用(1)、(2)及\(g(x)=x(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，求出\(p_4(g(x))=p_4(f(x))=\alpha^4+\beta^4+\gamma^4\)之值。
②利用(1)、(2)、①及\(h(x)=x^2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)，求出\(p_5(h(x))=p_5(f(x))=\alpha^5+\beta^5+\gamma^5\)之值。
(109台南一中科學班　實驗實作試題，https://www.tnfsh.tn.edu.tw/sub/ ... 9,31,245,200,,,1023)

文章請見
何志誠，以長除法求一元n次方程各根m方和
陳錦初，多項式根冪次和的新解法

102.9.4補充
數學傳播第七卷第四期

林文東,一元n次方程式根的同次冪之和的求法.rar (105.48 KB)

－－－－－－－－－－－－
101.8.1補充
在圓上任取12個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域？
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

連接圓上10個相異點所能形成的所有弦，最多會把圓分成幾塊？
(101松山工農，https://math.pro/db/thread-1482-1-1.html)

文章請見
王子俠，一組弦可將圓分成幾部份？(一道簡單的計數問題所引發的兩個啟示)

感謝weiye
https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

－－－－－－－－－－－－
101.10.14補充
在邊長為1的正方形內任給5點，證明：其中必有2點，他們的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
(100全國高中數學能力競賽　第一區口試試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

文章請見
在邊長為1的正方形上任取5點，其中必有2點，它們之間的距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
在邊長為1的正立方體內任取9點，證明：其中必有二點，距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)。
(數學傳播第6卷第4期彭志帆抽屜原理)
－－－－－－－－－－－－
有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數，將這四位數的各位數字重新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後，最大數為9732，最小數為2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數，試求所有這種四位數。
(100全國高中數學能力競賽　第一區筆試(一)，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

文章請見
將一個四位數更動其個、十、百、千位，得一最大數與最小數，取兩者之差得一新數。將此新數更動其位數，取其大數減小數之差得另一新數，將此新數反覆作同樣的操作，最後結果，只要原來四位數之個、十、百、千位不盡相同，都是6174。為什麼？請將以上事實給予嚴格的證明。
數學傳播第3卷第2期　謝聰智，6174妙題巧解
－－－－－－－－－－－－
101.11.8補充
設\( a,b>0 \)，求\( \displaystyle (a+\frac{1}{b})(3b+\frac{1}{3a}) \)之最小值為？
(101松山工農，https://math.pro/db/thread-1482-1-3.html)

當\( x>0,y>0 \)時求\( \displaystyle (x+\frac{1}{y})(2y+\frac{1}{2x}) \)之最小值？下述兩種做法所得答案不同，錯在哪裏？
數學傳播第1卷第3期　羅添壽，極值求法
－－－－－－－－－－－－
102.3.7補充
在99課綱中學生學到相關係數時,因為那時尚未學到科西不等式,所以請問您要如何跟學生講解相關係數的值是-1<= r <=1?
(100松山高中代理，https://math.pro/db/thread-1188-1-1.html)

113.5.11補充
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\)，試用高中數學的方法證明\(|\;r|\;\le 1\)。
(113全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)

文章請見
數學傳播第36卷第4期　唐柏寧，在99課綱中談相關係數\( -1 \le r \le 1 \)
－－－－－－－－－－－－
102.3.7補充裂項相消的題目
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}\Bigg[\; 1-\frac{1}{3n+1} \Bigg]\; \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{4k}{4k^4+1}=1-\frac{1}{2n^2+2n+1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \)
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{2k+1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{5}{4}-\frac{1/2}{n+1}-\frac{3/2}{n+2} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}cos k\alpha=\frac{sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2sin \frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{sinx}{cosx}+\frac{sin2x}{cos^2 x}+...+\frac{sinnx}{cos^n x}=cotx-\frac{cos(n+1)x}{sinxcos^nx} \)
\( \displaystyle \frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+...+\frac{1}{sin2^nx}=cotx-cot2^nx \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k!(k^2+k+1)=(n+1)!(n+1)-1 \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k! \times k=(n+1)!-1 \)

文章請見
數學傳播第36卷第4期　林宜嬪,張福春，級數求和、對消和與消乘積(下)
－－－－－－－－－－－－
113.5.11補充
設\(f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)\)，試證：\(f(x)\)不是週期函數。
(100中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3149)

文章請見
數學傳播第48卷第1期　林開亮，三角多項式的週期：對47年前本刊創刊號一問題之回響

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作者: bugmens 時間: 2011-8-13 08:31

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僅節錄筆試部份，其餘試教口試請參閱附件

先講筆試重點：
1.  高中數學101(94版)：
　　這本可以說是無人不知無人不曉，只要是高中數學科筆試，考試前隨便走走一定有這本的蹤跡，大家都拿在手上。我考上不敢說只靠這本，但我敢說想要有系統的累積知識，這本可以幫助你滿多的

2.  徐式數學全套：
　　這套如果全K完，考職業學校應該是十拿九穩，但我沒唸完，我把他當作工具書，哪裡是弱點，就先念哪裡。

3.  AIME、TRML、ARML、AMC各屆考題：
　　書局有賣這些競賽的考古題，我考了大概快一百間吧，有些學校出題根本沒改數字一模一樣的考出來，所以說，如果沒事先唸過的話，就是等你翻到這題時再來陲心肝。

4.  教甄歷屆考題：
　　承蒙demon大所說：數學科有Mathpro網站真的很幸福，裡面高手可是臥虎藏龍(瑋岳大和bugmen大和dream大和老王等等)，bugmen大超有心還能找出類似考題，有時還有附上出處，以及延伸閱讀，每次延伸閱讀我都會下載盡力讀懂，因為延伸才是根本，網站上的只是延伸閱讀的鳳毛麟角而已。
　　依我自己經驗，不是太多人會認真去看，因為有些人只是想知道怎麼解，不想知道原理。各位知道嗎？差距就是這樣拉開的。

　　第一次代理，第一次當專任，學期也才16堂課，講實在滿輕鬆的。中午有時間我還能回家吃個午飯。但是人往往就是因為過於放鬆而失去鬥志，我自己就嚐到苦果。這年，我很認真拿起101每個章節都看，每個題目都算，不會的會先想一下才翻解答，然後再自己算一次。
　　但是很快的我就發現，這樣是不夠的，到考場之後，要安心，一定要看自己有做筆記的筆記本，考場在那邊翻阿翻得，一本這麼重找重點又找不到，不如不要帶。

　　所以我在代理這年就開始著手，當我整本念完一次後，第二次就把『看過曾經會算，但是久了再看卻不會算』的題目寫起來，特別難、需要特別技巧(公式or旋轉技巧)的就用紅筆加註。
　　101裡面的重點整理如果有看到不知從何而來的公式，除了練到快背起來之外，一定要會證。  考題千變萬化，有時證明考出來10分，一翻兩瞪眼，有自己摸索過就會微笑，只有背的話只能傻笑。(我也曾經傻笑，但覺得太蠢了太不爽了，所以決定要努力變成微笑：D)

　　關於筆記本的事情，我已經看完第二次，也將題目濃縮到兩本筆記本裡面，考出來得很多，我大多都會寫，因為我考前只看這個，但也有漏掉的時候，如果考出來確定在本子裡又沒寫對，就會想要撞牆and回家吃銀杏。
　　這時101題目本已經累積兩本，公式本一本(寫得很少)，精彩試題一本(主要寫當年考題or有特殊解法的)，總共四本，考筆試我都會帶在身上，比較安心也不重。

感謝billyhun提供個人筆記照片檔，網址在附件裡。
h ttps://dl.dropboxusercontent.com/u/23455489/%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%8B%E8%BC%89%E7%9A%84%E6%AA%94%E6%A1%88/billyhun%E6%95%99%E7%94%84%E7%AD%86%E8%A8%98.zip　連結已失效

附件: 100年高中數學教甄心得.zip (2015-12-6 10:29, 8.95 KB) / 該附件被下載次數 12940
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作者: bugmens 時間: 2013-1-23 07:54

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此部份我專門討論如何「增強」筆試的實力，但可能不見得適合你(妳)
在第一年準備考試的時候，我算完了徐氏數學1-3冊，以及些許考古題
在第二年準備考試的時候，我算了一些舊版高中數學101，以及些許考古題
所以我今年在準備的什候，我直接算了4-6冊的徐氏數學以及沒算過的101
我把100年的所有搜集到的考古題印出來，打算一題一題寫
其實考到第三年，漸漸對於一些準備方式有自己的心得，以及編寫一些相關筆記

◎參考書目
因為我唸的書還蠻多的，參考的書目也很多，但沒有全部唸完
§徐氏數學(全)  (是一整套，打電話去訂購，然後匯款會寄一整套過來)
§高中數學101舊版 (完整做一輪)
§數學九陰真經(學測)(指考、舊制聯考) 裡面甚至有6x或7x年的聯考考題
§幾何明珠  (只有看一些定理，因為太多不懂了，之後會好好花時間研究)
§國中數學競賽教程 (當作工具書，之後要來研讀)
§高中數學競賽教程 (當作工具書，之後要來研讀)
§南一版(95)教師手冊  (參考補充資料)
§Math pro bugmens筆記分享
§100年度考古題(8x份) (完成95%以上)

◎觸類旁通、建立筆記、一題多解
我唸到高中數學101的一個單元，這個單元專門是在講遞迴數列的
但是很可惜他只有提到兩種比較"簡單型式(常見)"的遞迴數列
a_(n+1)=pa_n+q (兩項關係)
a_(n+2)+pa_(n+1)+qa_n=0 (三項關係)
但其實教甄真的很愛考遞迴數列，像101年教甄就考了「分數型式」的遞迴
出現了好幾次，我有看到的就兩次(中一中、內湖高中)
常用的技巧是「倒數、固定點」，在  Math pro 裡面有數學傳播的文章可以看
(是由高手bugmens推薦的文章，當然也要大推他的教甄準備之路以及筆記，太讚了!!!!)
所以我並不會只單純做101上面的題目，而是觸類旁通思考還有哪些型式
再來就是101有些題目其實很難，根本想不出來，有些題目我是做了3~5次之後
才能一看到題目就直覺地反應怎麼解，所以有些題目我會寫下筆記做「另解」
雖然不見得是很漂亮的解法，但至少是我自己寫的，考試的時候可以很快想出來。

◎考古題重要嗎？
我只能說，非常非常非常重要，重要的不僅僅是考古題本身，
而是你要去體會這個難度，比較建議的方法是一題一題「自己寫」
我自己的方法是，先把所有收集到100年的考古題印成一本(我記得有8x份)，
我買了6本一模一樣的筆記本，然後一面只寫兩題，然後做標籤(ex. 100中二中)
把每一題的「解題過程」全部寫下來，這樣有什麼好處呢？
1.可以客觀判斷每一次的「思考流程」
2.了解為何沒有想到key point
3.請教一些身旁的高手，是否能繼續解下去
等等

有些題目一考再考，但能掌握的人卻不多
但雖然我做了這麼多的考古題，還是有好幾次考出來，我卻miss掉
有些技巧，用看的根本只會覺得很美，但為什麼要這樣做呢？
這才是分出勝負的關鍵點，是否有試著去思考背後的原理呢？
還記得曾經聽人說過一句話，第一次看到神奇的解法，你會覺得這是個技巧
但當你第十次使用就應該跟喝水一樣，於是就是苦練，不停地苦練才能進步
杜甫曾說過一句話：「讀書破萬卷，下筆如有神」
我一直覺得學數學可以慢慢思考，慢慢寫沒有關係
但在面臨這麼競爭的考試下，我覺得做得多，機會真的比較多

◎你(妳)想成為全能型考生嗎？
我一直覺得，每一個人從小到大唸數學，都會養成不同的「直觀」
什麼意思呢？每當你看到一道題目，可能會有「代數」或是「幾何」的切入點
像我自己就比較偏向「代數直觀」，我並不是全能型的考生
說實在話，我的幾何很差，尤其是空間幾何，我高中的時候，連正六面體都不會畫
我是直到重考的時候才會畫正四面體、正六面體等等。
我自己比較擅長的題型是比較偏代數的題目，但是對幾何、排組較為苦手
所以今年我一開始是從排組和空間幾何開始練習(甚至還看了幾何明珠)
但我發現要補到跟我代數題型要相同程度並不是短時間可以的
所以考試策略的建立非常的重要，在我做考古題的過程中，
我發現代數題型我大致上可以解出90%以上，然而排組和幾何就會差很多
於次每次考試的時候，我一拿到題目就會先把所有的題目分級(A、B、C)
我一看到就有想法的寫A，覺得應該做得出來的寫B，時間內寫不出來的寫C
這樣的考試策略讓我在筆試的通過率提高許多，當然也過了比較多的初試。
但即使我對於幾何比較苦手，但我仍建立一些解題模式，例如
考空間幾何正四面體、正八面體等等，我會練習去架設空間坐標系
利用解析幾何的方式來解決一些棘手的問題，平常有練，考試就上手許多
即使現在考上了，但未來的目標還是想加強排組以及幾何

感謝superlori提供"一題多解"、"遞迴數列"的筆記，請用Adobe Reader開啟。

附件: 101高中數學教甄心得.rar (2013-1-23 16:50, 896.17 KB) / 該附件被下載次數 15637
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1508&k=ecd8646c05d12ad15f54eb4ca93708d3&t=1781372928

作者: tsusy 時間: 2013-3-24 00:16 標題: 教甄試題整理

「前人種樹，後人乘涼。」幾位老師的心得分享和書單及教甄準備方向都很精采。

書單及各種競賽考題，令人讚為觀止。

書，寸絲手邊雖是有幾本，但多束之高閣，無瑕細讀，偶爾翻閱。

各式考題，難易各有高低，考試方向與教甄亦有遠近，但亦無暇細分。

而寸絲準備教甄過程中，多是以考古題主，苦思、爬文、討論及請教其他老師。

數學科的考古題，可謂眾多，光是做考古題，幾乎就是做不完了，

幸有 Mathpro 上的討論串，可供參考查閱，

準備之時，對每份考題的每一題，都不輕易放過，雖有一解，但若覺粗糙、麻煩，

則應深思其它妙之解，或爬文、請教他人。

今日野人獻曝，整理歸類部分教甄試題，希望可供其他準備教甄的老師們參考。

其內容少部分附有解法，多數題目則留予網友們自行做答

每題亦附出處，如有需要，可自行在 Mathpro 上搜尋該份試題的討論串

單元內容

數列
級數
方程式
不定方程
整理論
多項式
根與係數關係
二次函數
函數圖形的對稱性
排列組合
--------------------------2013.03.24 增加--------------------------
三角
向量、斜坐標
幾何
--------------------------2013.03.29 增加--------------------------
柯西不等式
算幾不等式
三角不等式、凸函數不等式
極值問題
--------------------------2013.04.04 增加--------------------------
圓錐曲線
矩陣、行列式
微積分

--------------------------2013.05.30 補充-------------------------------

前文 superlori 的心得提到：「觸類旁通、建立筆記、一題多解」。這一點寸絲也十分贊同，大概除了筆記做得少一些以外，其它兩點都實行了。以下來談談在這方面的經驗：

相信考古題大家都在做，同樣的考古題練習，要考得比人好，當然是下的功夫要比其它人多。一題不只是一題，還要做更深更多的思考，實力才會更進一步。

舉例來說：102 全國聯招考了一題：高斯符號 \( [x] \)，表示不大於 \( x \) 的最大整數值。試求 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right] \) 的個位數字。我的做法是 \( \left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012}\right]=(5+2\sqrt{6})^{1006}+(5-2\sqrt{6})^{1006}-1 \)。然後兩項式展開，有根號的互消，沒根號的幾乎都是 10 的倍數，所以答案大概就出來了。

有時間才看一次，重新想想，便開始胡思亂想。是否有其它類似題，如何變化，萬一不是這麼剛好可以乘出一堆 \( 10 \) 的倍數怎麼辦？要是改問除以 7 的餘數，那如何？結果就想了另一個方法和萊因哈特及 weiye 兩位老師的作法相同，也就是利用遞迴數列，觀察有限的循環節。

順帶放個題目給諸位練習，99南港高工：設 \( [x] \) 表示不大於 \( x \) 的最大整數，求 \( \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2010}\right] \) 除以 7 的餘數。

教甄的試題，坦白說題目就那些(好大的那些範圍)，但總不能期望數據一樣，一成不變。當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是善完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？否則真的出現，大概就是「啊！~這題我看過做過，但...做不出來」，如果事先想過，結局就是反過來：「你會而別人不會」。

再舉個例子：求 \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}\sin\frac{3\pi}{n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}} \)。這個式子或許知道，或許推得出來。做完之後聯想：那 \( \cos \) 的連乘積呢？
於是乎，又可以做出一個式子 \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^{n}} \)，其中奇數是因為：分母如果是偶數，那必有一項是 \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0 \)，而得乘積就無聊了。那麼問又可改成分母偶項，拿掉 \( \cos\frac{\pi}{2} \) 那項，就像是99文華高中：\( \cos10^{\circ}\cos20^{\circ}\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}\cos50^{\circ}\cos60^{\circ}\cos70^{\circ}\cos80^{\circ}=\) _________。
Joy091 老師利用餘角關係把它換成 \( \sin \)，問題就解決了。
餘角關係，又給了一個新的想法，是不是 \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1} \) 也可換成 \( \sin \) 處理？試著一寫得到 \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{4n+2}\sin\frac{3\pi}{4n+2}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} \)，
我們又得到一個 \( \sin \) 連乘積的推廣問題。

101 武陵高中也考了一題：\( \sin1^{\circ}\sin3^{\circ}\sin5^{\circ}\cdots\sin87^{\circ}\sin89^{\circ} \)。
而這個問題我正好想過，還推廣成一般的情形：\( n\in\mathbb{N} \), \( \theta=\frac{\pi}{n} \)，求 \( \prod\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\theta) \)。

除了自己胡思亂之外，還有 Mathpro 上網友的挑戰，例如102 武陵高中：求函數 \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x} \) 的值域。一開始我知道 5 倍角可以做，但不想用 5 倍處理，嘗試之後，失敗了。而隔了一段時間後，有網友詢問是不否有非 5 倍角的做法，而再次挑戰。

發展不同的解法，對這一題的分數而言，可能沒有什麼意義，但考題非是一成不變，「觸類旁通、一題多解」，正是累積自己實力的方法，即使題目改了，方法一失效，還有方法2，這就是額外下功夫的收獲。

-------------------------- 2014.03.29 修正--------------------------
感謝 natureling、Redik、smartdan 指出多處筆誤及誤植，及其它計算錯誤。檔案中，以用紅字標示
新舊的內容差異不大，主要是修正錯誤，合併同類型題目，以及增加 ★ 標示部分較難的問題，基本上看過舊版的就不需新版了

--------------------------103.07.20 --------------------------
Mathnote0718，主要更動如下

將重覆出現的題型，以同題號子題標示，以量表示其重要性。
以★標記部分難題，這些難題其實大多數可能沒有很重要。
將部分主題(子題)中的少數較不重要題目刪除或移至該子題結尾的倒數幾題。
增加第 21 主題：其它，包含其它常考題但未列入前 20 個主題，如二進位、數學歸納法、連分數、變量中的不變數…

102.10.10版主補充
若你發現錯誤的地方，可以到寸絲的部落格回應
http://tsusy.wordpress.com/2013/ ... %AF%87/#comment-157

110.8.21
經網友listenasics同意後將文章轉到這裡
寸絲老師筆記第一次手寫(全)：連結已失效h ttps://reurl.cc/no80d8
(檔案有423MB，建議使用電腦下載)
補充：上面有些題目，我第一次解法的觀念是錯的，我印下來寫第二次甚至到第三次才把觀念完全補到正確。

其餘請見原文章https://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1629008566.A.F8B.html

附件: [最後更新 2013.03.29] math note 01-10 by tsusy.pdf (2014-3-29 13:53, 1.77 MB) / 該附件被下載次數 32264
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1557&k=a05b664433db0f265077db6cb53c7c90&t=1781372928

附件: [最後更新 2013.03.29] math note 11-13 by tsusy.pdf (2014-3-29 13:53, 1.93 MB) / 該附件被下載次數 26941
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1558&k=e40d9cf996e5f56fa8b54127bac1c27b&t=1781372928

附件: [最後更新 2013.03.29] math note 14-17 by tsusy.pdf (2014-3-29 13:53, 1.45 MB) / 該附件被下載次數 25756
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1566&k=2be857b19601cbca7afd9dd657ad5573&t=1781372928

附件: [最後更新 2013.03.29] math note 18-20 by tsusy.pdf (2014-3-29 13:53, 1.59 MB) / 該附件被下載次數 28000
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1569&k=f2c2f58ad7c6c4bccd7616c412c10f21&t=1781372928

作者: cherryhung 時間: 2013-4-29 09:06 標題: 想請教考上的高手，考試遇到的瓶頸

請教高手
今年我考古題算的比較多
在考場上遇到題目有時卻沒辦法馬上解出來
但是在回家路上就可以想出來，或是看到網路上的解法很簡單
才在懊惱為何在考場沒有解出來

如何去克服這種情況呢?

作者: weiye 時間: 2013-4-29 09:49 標題: 回復 19# cherryhung 的帖子

會不會是考試的時候太緊張了，或許以後印出各校考古題之後，

幫自己找一個完整的時間與沒有干擾的空間，

限定自己兩個小時之內要寫出完整的解答，

給自己一個近似於考場的感覺，製造一點緊張感再來寫考古題，

多試幾次或許正式考試就不會那麼緊張了。

作者: bugmens 時間: 2013-4-29 13:32

要有考場的感覺除了限制時間之外,我來提供比較不一樣的方法

95,96,97年時我還在舊的選聘網準備教甄時，我就嘗試著回答別人的問題
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24　(連結已失效)
那時候論壇的人氣相當活躍，一個問題發表出來沒幾分鐘就有人回應，若解法有問題或是看不懂的地方還可以回覆文章請教，你要搶第一時間發文而且要讓別人來檢視你的答案，我覺得這種緊張感是最接近考場的感覺。也感謝那時許多考友的幫忙，讓我的功力增進不少，甚至我連考題的出處都背起來了。
考試前10分鐘的預備時間，我心裡並不會感到緊張，我回想準備過的題目、公式、速解法，甚至興奮地想要看看等會考試會出現什麼新鮮題目，翻開考卷看到老梗題時還會在心裡說賺到了。
當你的成績開始進步，開始通過初試，甚至榜單開始出現你的名字，你會發現你離正取越來越近了。

我以最近遇到的題目為例
設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \)，當\( f(a,b) \)有最小值時，求此時數對\( (a,b)= \)？
(102文華高中，https://math.pro/db/thread-1579-1-1.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9045

112.7.4補充
設\(a,b\)為實數。根據迴歸直線的理論可知，平方和
\([5-(a\cdot 4+b)]^2+[5-(a\cdot 6+b)]^2+[7-(a\cdot 8+b)]^2+[9-(a\cdot 10+b)]^2+[9-(a\cdot 12+b)]^2\)在數對\((a,b)=\)　　　時得到最小值。
(112新竹高中代理，https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)

115.4.15補充
設\((x_1,y_1)=(0,-1)\)、\((x_2,y_2)=(1,0)\)、\((x_3,y_3)=(0,1)\)。若二實數\(a\)與\(b\)使\(D=(y_1-a-bx_1)^2+(y_2-a-bx_2)^2+(y_3-a-bx_3)^2\)之值為最小，此最小\(D\)值為　　　？
(115湖口高中，https://math.pro/db/thread-4092-1-1.html)

同一時間有我,weiye,寸絲,thepiano解題，各發表出四個不同的解法，當初我第一時間採用偏微分的方法時就遇到了麻煩，對a偏微分還比較好算，但對b偏微分時數字就很大，但你不算就無法解聯立方程式得到最小值時的a,b。
這時我心裡就想還有沒有其他方法，但我只想到全部乘開再重新湊完全平方式，但顯然這種方法也不可行，我再回頭看看我所得到的\( a=60-30b \)還可以怎麼用，才注意到60和30都和其他數字都很接近，只要將a替換掉整個式子的數字就變小了，於是就找到問題的解法。

看看其他人的方法，用迴歸直線或用算術平均數的概念解題，這些方法都很棒但我當時就沒想到。我只想到偏微分的方法而已，在這種壓力下所得到的經驗是彌足珍貴的，因為這會成為你的致勝武器。
隔天我又遇到一題類似題，這次讓你想看看要用什麼方法
當\( f(x,y)=(1-2x-y)^2+(3-x-y)^2+(7-4x-y)^2+(6-5x-y)^2+(3-3x-y)^2 \)有最小值時，此時實數數對\( (x,y)= \)？

當然大家可能會想萬一解錯了不就很丟臉，但現在錯了總比在考場錯來的好。就像102中正高中廣義的科西不等式這題，寸絲發訊息說第一小題有問題
https://math.pro/db/thread-1576-1-1.html
我也沒有將我的答案刪掉，反而是將人家寶貴的意見列出來，提醒更多人要如何正確的解題。

103.1.11補充
找\( 2x^2+y^2+(2x-y+3)^2 \) 的最小值。
https://math.pro/db/thread-1790-1-1.html
weiye提供了很多解法，那假如我將題目條件換一下，哪些方法還能用哪些方法卻不能用了？
求\( 2x^2+(y-4x)^2+(2x-y+3)^2 \)的最小值。

114.6.13補充
設\(x\)、\(y\)是實數，則\(x^2+y^2+(x-2y+6)^2\)的最小值為何？
(A)5　(B)6　(C)7　(D)8
(114中區縣市國中聯招，https://math.pro/db/thread-4017-1-1.html)

105.5.22補充
請問欲使\( f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2 \)有最小值，此時的實數數對\((a,b)=\)？
(105中科實中，https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)

107.1.31補充
教育部高中數學學科中心高中數學電子報第130期　一題多解之趣求兩變數平方和的最小值
https://ghresource.k12ea.gov.tw/uploads/1644392174059ipDcNQAm.pdf

110.2.10補充
函數\(f\)的定義為\(f(x,y)=x^2+4xy-10x+5y^2-24y+35\),其中\(x,y\)為實數。則函數\(f\)的最小值為　　　。
(109高中數學能力競賽　新北市複試筆試二，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

110.2.15補充
考慮所有的實數\(x\)與\(y\)，\((xy-1)^2+(x+y)^2\)最小可能的值為何？
(A)0　(B)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)1　(E)2
(2021AMC12A，https://math.pro/db/thread-3465-1-1.html)

113.6.15補充
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\)，當數對\((x,y)=\)　　　時，\(f(x,y)\)有最小值。
(113花蓮女中，https://math.pro/db/thread-3889-1-1.html)

114.7.15補充
設\(f(x,y)=2x^2-4xy+4y^2-4x-4y+5\)，其中\(x,y\)為實數，當\(x=m,y=n\)時，\(f(x,y)\)有最小值\(k\)，則數組\((m,n,k)=\)　　　。
(114新竹高中二招，https://math.pro/db/thread-4032-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
113.1.30補充
設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為　　　。
(102北一女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=2#pid7735)
另解，看成點到平面的距離https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=1#pid7734

113.6.20補充
設\(\vec{a}=(5,-5,-2),\vec{b}=(2,1,-2),\vec{c}=(2,-2,1)\)，則\(|\;\vec{a}+t\vec{b}+s\vec{c}|\;\)的最小值=　　　。
(106麗山高中，https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html)

114.4.24補充
空間中有四點\(P,A,B,C\)，滿足\(\vec{AP}=(-4,5,-2),\vec{BP}=(1,-2,2),\vec{CP}=(-6,-5,4)\)，若實數\(\alpha,\beta\)可使\(|\;\vec{CP}-\alpha \vec{AP}-\beta \vec{BP}|\;\)有最小值，則\(\alpha-\beta\)之值為　　　。
(110鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1151&page=2#pid3949)

112.4.27補充
已知\(\vec{OA}=(1,2,3)\)、\(\vec{OB}=(1,-1,0)\)、\(\vec{OC}=(1,-2,1)\)，當\(|\;\vec{OA}-x\vec{OB}-y\vec{OC}|\;\)有最小值m時，數對\((x,y,m)=\)？
(112高雄中學，https://math.pro/db/thread-3727-1-1.html)

112.6.6補充
設空間中三向量\(\vec{u}=(2,0,-2)\)、\(\vec{v}=(0,1,2)\)、\(\vec{w}=(-1,1,0)\)，二實數\(s,t\)，則向量長度\(|\;\vec{u}+s\vec{v}+t\vec{w}|\;\)的最小值為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

113.5.26補充
若\(\vec{a}=(-2,2,1),\vec{b}=(1,3,2),\vec{c}=(-2,3,1)\)，則當\(|\;\vec{a}-s\vec{b}-t\vec{c}|\;\)有最小值時，\((s,t)=\)　　　。
(113高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3877-1-1.html)

114.5.14補充
設空間中三個向量如下：\(\vec{a}=(2,1,k)\)，\(\vec{b}=(1,2,-2)\)，\(\vec{c}=(-2,2,1)\)。若已知對於所有實數\(t,s\)，\(|\;\vec{a}+t\vec{b}+s\vec{c}|\;\)的最小值為5，求所有滿足條件的實數\(k\)值之總和為　　　。
(114明倫高中，https://math.pro/db/thread-3997-1-1.html)

115.4.11補充
空間向量\((-8+4s+2t,3+s-3t,27+5s+t)\)的長度最小值為　　　。
(115文華高中，https://math.pro/db/thread-4086-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
112.4.29補充
設\(a,b\)皆為實數，求當\((a-41b-33)^2+(a-42b-34)^2+(a-40b-35)^2+(a-39b-32)^2+(a-38b-31)^2\)為最小值時的\((a,b)=\)？
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

112.7.25補充
設\(f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2\)，當\(f(a,b)\)有最小值時，求數對\((a,b)=\)　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

114.4.21補充
已知\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in R\)，若\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha-4\beta-6\gamma+13=0\)，試求\((\alpha-\delta-8)^2+(\beta-2\delta-9)^2+(\gamma-3\delta-10)^2\)的最小值為　　　。
(114家齊高中，https://math.pro/db/thread-3971-1-1.html)

作者: tsusy 時間: 2013-4-29 15:47 標題: 回復 19# cherryhung 的帖子

同感，寸絲自認為是實力存在考場之外的人。但實際情況上，其它人也好不到哪去吧，不是只有你一個人在緊張在懊惱。

為什麼？因為，考試是很現實的限時作答。因為有時限，所以做題的順序必然是先挑看過會寫的題型

寫完之後，剩下來的事：檢查驗算或處理其它題目。有限時間加上過多的空格，就會發生，這題想想...沒有頭緒

換一題，也許另一題比較簡單。就這樣換來換去，時間就這樣渡過，也許做出了幾題，又遺留了幾題。

幾次的教甄之後，發現其實計算錯誤及遺漏、看錯題，不比這些遺珠之憾來得少

與其把時間花在上面，也許不如仔細驗算檢查 (當然每個人的情況不一樣)

前文 weiye 老師說了限時模擬考試。我也是採同樣的做法，只是通常限制時間是更短的 80 分鐘或 90 鐘。

把時限練好，至於和考場的時差，和拿來做什麼，就看自己的決定。

還有，沒有人不犯錯，即使像我今年無壓力地偷某試題時，有也有一題忘記平方 \( a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 \), 一題不小心看錯題目

類似的錯誤，很頻繁常見，而我的態度是

1. 降低出錯率，每場考試，除了筆試過或不過，還要算算自己這場發揮了多少？是 7 成、8 成，還是只有 6 成？

2. 如果發揮的比上不去，那就提升分母，也就是更加緊地練習筆試，以增提升功力，練到，即使只有 6 成發揮，也要考進複試

作者: thepiano 時間: 2013-4-29 20:54

其實這幾年的題目看下來，能把考古題練熟，考九成以上的學校，應該都有 50 分以上了(通常這分數跟進複試的門檻差不多)
要達到更高的分數，小弟覺得有 2 個方向可以試試

1. 同類型的題目要一起準備，這個部份，bugmens兄已多有提示，寸絲兄的分享檔也是如此，再加上思考某個類型的題目還能怎麼考，就比較全方面了

舉個常見的考古題：
有二個首項皆為 2 的數列＜a_n＞、＜b_n＞，且對於所有的自然數 n，滿足
a_(n+1) = 3a_n + 4b_n
b_(n+1) = 2a_n + 3b_n
求 a_n 和 b_n

若題目改成以下這樣呢？
a_(n+1) = 3a_n + 4b_n + 2
b_(n+1) = 2a_n + 3b_n + 2

2. 不要只看別人精采的解法，要揣摩他的思路與所用方法的基本觀念為何，不懂他用的觀念就要補足，想不出來他如何下手的就直接或私下請教，這些已經考上的高手，一定都是不吝分享

最後，每年都會出現神人，像去年的寸絲兄，今年的建北雙榜首及文華滿分者。
不過，這些神人都只能佔一個缺，而這幾年數學科的缺都在 100 個左右
當您練到某個實力，自然就水到渠成，所謂先求有再求好，祝福您！

作者: bugmens 時間: 2013-10-12 15:19

回答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=4#pid9314 insel的疑問

既然寸絲將這單元取名為"Fubini定理"，那妳就要先知道什麼是Fubini定理。
請參考游森棚老師所寫的文章
連結已失效h ttp://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=14687

107.9.9補充
在2013年在科學月刊發表的"算兩次"文章，內容大同小異
連結已失效h ttp://scimonth.blogspot.tw/2013/12/blog-post_5.html

整篇最重要的觀念就是
用兩個方法算同一個量, 結果會一樣

回到寸絲筆記math note 01-10第2.6單元　富比尼定理
求:\( \displaystyle 1 \times (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+3 \times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{99}+\frac{1}{100}) \)
\( \displaystyle +5 \times (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \frac{1}{99}+\frac{1}{100})+\ldots+197 \times (\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+199 \times \frac{1}{100} \)
(100麗山高中2招，https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)
[解答]
原本題目是橫的總和，改算直的總和，結果當然一樣
\( \matrix{1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　& \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　& \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　&　& \ldots &　&　\cr
　&　&　&　& \frac{1}{99} & \frac{1}{100} \cr
　&　&　&　&　& \frac{1}{100}} \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－
\( \displaystyle 1 \times 1+4 \times \frac{1}{2}+9 \times \frac{1}{3}+ \ldots +99^2 \times \frac{1}{99}+100^2 \times \frac{1}{100}=5050 \)

111.2.14補充
計算\(\displaystyle 1\times(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+3\times(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+5\times(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+7\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+9\times \frac{1}{5}=\)？
(A)13　(B)14　(C)15　(D)16
(106台北市國中聯招)

103.9.6補充
若\( log_5 144^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{10}}+2 log_5 144^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10}}+3 log_5 144^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{10}}+\ldots+9 log_5 144^{\frac{1}{10}}=a log_5 2+b log_5 3 \)，則\( a+b= \)？
(103新化高中，https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html)
(105桃園高中，https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)
[提示]
\( \displaystyle 1(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{10})+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10})+3(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{10})+\ldots+9(\frac{1}{10}) \)

\( \displaystyle =(1)\frac{1}{2}+(1+2)\frac{1}{3}+(1+2+3)\frac{1}{4}+\ldots+(1+2+\ldots+9)\frac{1}{10} \)

105.5.6補充
計算\( \displaystyle \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2006} \right)+\left( \frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\ldots+\frac{2}{2006} \right)+\left( \frac{3}{4}+\ldots+\frac{3}{2006} \right)+\ldots+\left( \frac{2004}{2005}+\ldots+\frac{2004}{2006} \right)+\frac{2005}{2006} \)
(2006青少年數學國際城市邀請賽　個人賽)

115.5.24補充
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)=\)？
(115嘉義女中，https://math.pro/db/thread-4120-1-1.html)

105.5.6補充
計算\( \displaystyle \frac{1}{1}+\left( \frac{2}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{3}{1}-\frac{2}{2}+\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{4}{1}-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{9}{1}-\frac{8}{2}+\frac{7}{3}-\frac{6}{4}+\ldots+\frac{1}{9} \right) \)
(建中通訊解題　第96期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

108.5.18補充
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為　　　。
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-2742-1-1.html)
[提示]
\(\matrix{\displaystyle 　&+&\frac{a}{b}&+&\frac{a}{c}&+&\frac{a}{d} \cr
\frac{b}{a}&+&　&+&\frac{b}{c}&+&\frac{b}{d} \cr
\frac{c}{a}&+&\frac{c}{b}&+&　&+&\frac{c}{d} \cr
\frac{d}{a}&+&\frac{d}{b}&+&\frac{d}{c}&+&　 \cr}\)

115.5.26補充
設\(\log A=a\)，\(\log B=b\)，\(\log C=c\)，且\(a+b+c=0\)，求\(A^{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\cdot B^{\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)}\cdot C^{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)之值。
(115高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-4121-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－

\( y=[\; x ]\; \)表高斯函數，求\( \displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right] \)
(101文華高中，https://math.pro/db/thread-1333-1-3.html)
[解答]
觀察函數\( y=10^{\frac{x}{40}} \)的圖形，要計算格子點的個數。

原本應該直著算(\( x=1 \)有1個點，\( x=2 \)有1個點，...，\( x=39 \)有9個點，\( x=40 \)有10個點)
改成橫著算，也就是\( \displaystyle \Large 10^{\frac{x}{40}}\ge j \)，\( x \ge 40 \times log(j) \)，會有幾個x值(當然\( x \le 40 \))
\( j=1 \)，\( x \ge 40 log(1)=0 \)，有40個點
\( j=2 \)，\( x \ge 40 log(2)=12.0411 \)，有28個點
\( j=3 \)，\( x \ge 40 log(3)=19.0848 \)，有21個點
\( j=4 \)，\( x \ge 40 log(4)=24.0823 \)，有16個點
\( j=5 \)，\( x \ge 40 log(5)=27.9588 \)，有13個點
\( j=6 \)，\( x \ge 40 log(6)=31.1260 \)，有9個點
\( j=7 \)，\( x \ge 40 log(7)=33.8039 \)，有7個點
\( j=8 \)，\( x \ge 40 log(8)=36.1235 \)，有4個點
\( j=9 \)，\( x \ge 40 log(9)=38.1697 \)，有2個點
\( j=10 \)，\( x \ge 40 log(10)=40 \)，有1個點
共141個格子點

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2013} \Bigg[\; \root 5 \of{\frac{2013}{k}} \Bigg]\; \)
(102建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=1#pid7760)
[提示]

這就可以解釋為什麼寸絲要計算\( \displaystyle \Bigg[\; \root 5 \of{\frac{2013}{k}} \Bigg]\; \ge n \)，\( \displaystyle \frac{2013}{k}\ge n^5 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{n^5}\ge k \ge 1 \)
\( n=1 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{1^5}\ge k \)，有2013個點

\( n=2 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{2^5}\ge k \)，有62個點

\( n=3 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{3^5}\ge k \)，有8個點

\( n=4 \)，\( \displaystyle \frac{2013}{4^5}\ge k \)，有1個點
共2084個點

113.1.27補充
說明：本題中\([\;x ]\;\)為高斯符號，表示小於或等於x的最大整數，例如：\([\;\sqrt{2} ]\;=1\)、\([\;7 ]\;=7\)。
求\(1000~2022\)連續正整數的四次方根後再取高斯符號之總和
即求\([\;\root{4}\of {1000}]\;+[\;\root{4}\of {1001}]\;+[\;\root{4}\of {1002}]\;+\ldots+[\;\root{4}\of {2021}]\;+[\;\root{4}\of {2022}]\;\)的值為　　　。
(111台中一中科學班，連結已失效h ttps://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/science/cos11)

我想寸絲應該是參考高中數學競賽教程第32講　福比尼原理所以才用集合的寫法
而我是參考单壿老師所寫的書"算两次"，在第3章　格點計算有討論類似的問題，用的是幾何的方法
另外書上還有一些問題可以讓各位練習看看
1.設\( p,q \)為互質的自然數，證明\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{p}{q} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2p}{q} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\; \frac{(q-1)p}{q} \Bigg]\;=\frac{(p-1)(q-1)}{2} \)

2.設\( p,q \)為互質的自然數，證明\( \displaystyle \sum_{m=1}^{[1/2(q-1)]}\Bigg[\; \frac{mp}{q} \Bigg]\;+\sum_{n=1}^{[1/2(p-1)]}\Bigg[\; \frac{nq}{p} \Bigg]\;=\Bigg[\; \frac{p-1}{2} \Bigg]\; \times \Bigg[\; \frac{q-1}{2} \Bigg]\; \)

3.設n為自然數，證明\( \displaystyle [\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots+[\sqrt{n^2}]=\frac{1}{6}n(4n^2-3n+5) \)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
112.4.25補充
對集合\(\{\;1,2,\ldots,n \}\;\)的每一個非空子集定義"交錯和"如下：將該子集的元素依遞減次序排列，然後從最大的數開始交錯地減或加後繼的數(例如子集\(\{\;1,2,4,6,9 \}\;\)的交錯和是\(9-6+4-2+1=5\)。\(\{\;5 \}\;\)的交錯和是5)。求全部"交錯和"的總和\(S\)。

解　直接從定義入手去計算\(S\)，顯然是困難重重。我們尋找另一種計算\(S\)的方法。
　　從元素入手。每一個小於\(n\)的元素\(a\)，如果在不含\(n\)的子集\(A\)中，那麼它也在含\(n\)的子集\(\{\;n \}∪A\;\)中，反之亦然。如果它對集合\(A\)的交錯和貢獻為\(+a\)(若\(-a\))，那麼它對集合\(\{\;n \}∪A\;\)的交錯和貢獻為\(+a\)(若\(-a\))，反之亦然。於是，\(a\)對各個子集的交錯和貢獻兩兩抵消。\(a\)對於總和\(S\)的貢獻為0。
　　元素\(n\)，對每個含\(n\)的子集的交錯和，貢獻為\(n\)。而含\(n\)的子集有\(2^{n-1}\)個。所以\(n\)對總和\(S\)的貢獻為\(n\cdot 2^{n-1}\)。綜上所述，\(S=n\cdot 2^{n-1}\)。
(單墫，算兩次P54)

\(M\)是集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,9 \}\;\)的子集，將\(M\)中各元素由大到小排列，最大的數維持原值，次大的數變號，第三大的數又維持原值，第四大的數變號，\(\ldots\)，再將經過這種程序處理過的數相加，稱為\(M\)的交錯和。(例如\(M=\{\;9,7,4,3,1 \}\;\)，則其交錯和為\(9-7+4-3+1=4\))。求所有\(S\)的子集的交錯和的和。
(96南港高工日間部)

對於{1,2,3,4,5,6,7}的每一個非空子集，我們將子集內的元素依遞減排列，且正負號依序交錯，並計算其值。舉例來說，對於子集{5} 我們得到 5；對於子集{6 , 3 , 1} 我們得到6-3+1=4；試求所有的結果數字的總和是多少？
https://math.pro/db/thread-3073-1-1.html

\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。
例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為　　　。
(112台北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3729-1-1.html)

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作者: ilikemath 時間: 2013-11-14 20:44

請問有人看過"高中數學精粹1,3,5"嗎?
https://boukai.wordpress.com/201 ... 學精粹①③⑤/
是一般的參考書嗎?
市面上的書局都沒進貨
有人可以分享嗎?
感謝

作者: bugmens 時間: 2013-11-15 21:00

剛才花了半小時騎機車到北投的日昇書局看看這本書的內容，但書架上只有"高中數學精粹①"，我就我看到的為各位說明

整本書195頁，每章一開始有簡單的重點摘要，接下來就是練習題，只是練習題下面有很大一塊的空白讓妳寫計算式，它的詳解是另外放在後面，難怪整本書只有三章而已，所以整本書收錄的題目沒有想像中的多。

至於收錄的題目大多是名校高中的段考題或學測指考題，再搭配其他國家的競賽試題，題目有比較難只是取向比較不切合教師甄試會出的題目。

這裡有其他書局的地址，你可以就近看看書的內容是否符合你的需要
http://boukai.wordpress.com/

作者: bugmens 時間: 2014-1-4 09:59

之前教甄題目若有出自全國高中數學能力競賽，我都會引用游森棚教授在高雄大學的歷屆試題網頁。
希望考生不要只有注意考古題，有些教甄題目也會從全國高中數學能力競賽出題。
或許決賽的題目對教甄還是太難了，但過去還是考了很多複賽的題目，値得考生用心準備。
只是游教授已經到臺灣師大任教，他在高雄大學的網頁也都刪除了。
之後我要花更多心力將失效的連結更新，所以以後再有引用能力競賽的教甄題目就統一在這裡發表。

感謝中一中數學科老師將86-101年的複賽和決賽試題公佈在數學科網頁
h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/knowledge/know_fodview.asp?id={B1FFD9BD-7711-4CCC-A006-DC34A9E747BF}　(連結已失效)

mathpro關於全國高中數學能力競賽的討論文章
95高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html
97高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html
98高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html
99高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html
100高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1349-1-3.html
101高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html
102高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html
103高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html
104高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html
105高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html
106高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3579-1-1.html
109高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html
110高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html
111高中數學能力競賽，沒有公告題目https://sites.google.com/mail.nk ... /%E9%A6%96%E9%A0%81
112.8.21補充
111高中數學能力競賽題目公布在決賽總報告
113.11.10補充
連結已失效h ttps://drive.google.com/file/d/1n-g-i6hhKU_emnwOhB608u3hZeRWbnl2/view?usp=share_link
112高中數學能力競賽網頁，目前沒有題目
https://sites.google.com/mail.nk ... 8%E5%B9%B4%E5%BA%A6
113高中數學能力競賽https://math.ncue.edu.tw/p/404-1042-26665.php
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

103.5.24補充
有一遊戲規則如右：在下圖中每一直行、每一橫列及每個小四方格裡，只有1到4的數字，每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次，滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉，則共有種解法。
１２３４
４３１２
２１４３
３４２１
(94全國高中數學能力競賽　北區第二區　筆試(二)試題，h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/mediafile/4190020/knowledge/62/2/62/2012-11-26-17-16-37-nf1.pdf　(連結已失效))

有紅,黃,藍,綠四種顏色，要從右圖中任取4小格塗色，且顏色不重複使用，每1小格只塗一色，但同一行，同一列皆只能塗1小格，則有　　種不同的塗法。
(100永春高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897)

4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4，不能缺少也不能重複，粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4，不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則，則共有　　種不同的方法。
(103臺中二中，https://math.pro/db/thread-1901-1-1.html)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
103.6.5補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11} \)的展開式為\( 1+a_1x+a_2x^2+a+\ldots+a_{43}a^{43}+x^{44} \)，試求實數\( a_{2} \)之值。
(90全國高中數學競賽　高屏區)

多項式\((1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)^{10}\)的展開式中\(x^6\)項的係數為　　　。
(93台南女中，https://math.pro/db/thread-3491-1-1.html)

\( (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^6 \)的\( x^{15} \)項係數。
(103武陵高中，https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)

105.4.30補充
若多項式\( (1+x+x^2+x^3+x^4)^{11}=1+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{43}x^{43}+x^{44} \)，試求\( a_6= \)？
(105彰化高中，https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)

113.4.24補充
求\((1+x+x^2+x^3)^6\)展開式中\(x^5\)的係數=　　　。
(113彰化女中，https://math.pro/db/thread-3845-1-1.html)

115.4.2補充
若多項式\((1+x+x^2+x^3)^{10}\)的展開式為\(1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_{30}x^{30}\)，試求\(a_6=?\)
(115大安高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
103.6.5補充
已知\( sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0 \)以及\( cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0 \)試求
(1)\( cos 2 \alpha+cos 2 \beta+cos 2 \gamma= \)？
(2)\( sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma= \)？
(89全國高中數學競賽　屏東區試題(一))

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
103.6.5補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立，試證明：對每一個正整數n，\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽　台中區複賽試題(一))

定義f是由自然數集映至自然數集的函數，若任意正整數\( x,y \)恆有\( f(f(x)+f(y))=x+y \)，求\( f(2014) \)之值。
(103松山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1869&page=2#pid10096)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
103.8.28補充
試求\( \displaystyle \sqrt{6+2 \sqrt{7+3 \sqrt{8+4 \sqrt{9+\ldots}}}} \)之值。
(88全國高中數學能力競賽(一)台南一中)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
103.8.28補充
求聯立方程組\( \cases{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y \cr y+\frac{1}{y}=z \cr z+\frac{1}{z}=x} \)之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中)
更多輪換方程組題目，https://math.pro/db/thread-2020-1-2.html

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
104.5.2補充
對\( x>0 \)，函數\( g(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為何？
(96高中數學能力競賽　新竹區試題，96苗栗縣國中聯招)
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
104.7.5補充
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
(99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
(104新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)

105.4.30補充
設\(x\)為正實數，且\(n=\root 3 \of{3+\sqrt{x}}+\root 3 \of {3-\sqrt{x}}\)，而\(n\)為正整數，求\(x\)之值。
(建中通訊解題　第120期)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
105.4.30補充
設\( \matrix{\displaystyle \omega=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin\frac{2 \pi}{7}, \cr \alpha=\omega+\omega^6=2 cos\frac{2 \pi}{7},\cr \beta=\omega^2+\omega^5=2 cos \frac{4 \pi}{7},\cr \gamma=\omega^3+\omega^4=2cos \frac{6 \pi}{7}} \)求以實數\( \alpha,\beta,\gamma \)為三根的三次方程式為　　　。
(88高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)筆試二試題)

112.7.4補充
若多項式方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的三個根為\(\displaystyle cos \frac{2\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{4\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos \frac{6\pi}{7}\)，其中角度是弳度，則乘積\(abc\)之值為多少？　　　
(112新竹高中代理，https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)

若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2 cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \)，\( n \in N \)，則\(n=\)。
(99建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)

已知存在一正整數\( n \)，使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5} <\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)？
(104新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2279&page=1#pid13537)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
105.4.30補充
例用三根10公尺的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試問此等腰梯形的最大面積為　　　平方公尺
(88高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)筆試二試題)

用3枝10公尺長的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(103鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1928-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
106.7.22補充
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)　　　。
(102高中數學能力競賽　北三區(新竹高中)筆試二試題

設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。
106羅東高中，https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
106.7.24補充
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的大球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小球。問：小球的最大半徑為　　單位。
(100華江高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
108.5.8補充
(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽高屏區)

求\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)

113.4.21補充
定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)

115.5.10補充
定積分\(\displaystyle\int_{-1}^7(-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)　　　。
(115全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-4116-1-1.html)

設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點，今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\)，試問此正立方體的稜長為？
(89高中數學能力競賽　宜花東區)
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)

設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點，且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\)，求此正立方體的邊長。
(100高中數學能力競賽　台中區複賽筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
108.5.18補充
設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7)，試求\(a\)的末兩位數為　　　。
(102高中數學能力競賽　北二區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7，請問此數除以100的餘數為　　　。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
108.5.18補充
已知拋物線\(y=x^2+3x-1\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(92高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

已知拋物線\(y=x^2+7x+11\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(103高中數學能力競賽　，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

若拋物線\(y=mx^2-1\)上必存在著相異兩點會對稱於直線\(x+y=0\)，試求\(m\)的範圍。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)

114.4.30補充
設一橢圓方程式為\(\Gamma\)：\(x^2+2y^2=2\)及一直線\(L\)：\(y=x+m\)。若橢圓上存在不同的兩點\(P\)、\(Q\)對稱於直線\(L\)，求\(m\)之範圍。
(114蘭陽女中，https://math.pro/db/thread-3976-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
108.5.18補充
試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽高雄屏東區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

114.8.9補充
已知數列\(a_n=6^n+8^n\)，其中\(n=1,2,3,\ldots\)，則\(a_{83}\)除以49之餘數為下列何者？
(A)27　(B)35　(C)37　(D)42　(E)45
(114香山高中二招，https://math.pro/db/thread-4035-1-1.html)

設\(a_n=8^n+9^n+10^n\)，\(n=1,2,\ldots\)，試求\(a_{99}\)除以729的餘數。
(98高中數學能力競賽台北市筆試一試題，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

求\( 6^{99}+7^{99}+8^{99} \) 除以 343 的餘數？
(99萬芳高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2261)

\(6^{108}+8^{108}\)除以343的餘數為　　　。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
109.5.3補充
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\)，求\(x^2+y^2+z^2=\)　　　。
(94高中數學能力競賽　南區(高屏區)筆試二試題)
(109興大附中，https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)

求解\(\cases{x+y+z=1\cr x^2+y^2+z^2=131\cr x^3+y^3+z^3=385}\)
(95第1學期中山大學雙週一題，連結有解答https://www-math.nsysu.edu.tw/~problem/2006f/)

115.4.15補充
已知實數\(x,y,z\)滿足\(x+y+z=0\)且\(x^3+y^3+z^3=18\)，求\(xyz=\)　　　。
(115湖口高中，https://math.pro/db/thread-4092-1-1.html)

在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的\(x_1，x_2，\ldots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\)，\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\)，試求\(x_5\)之值為　　　。
(97高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
(109興大附中，https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)
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109.6.2補充
設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2\)的最小值為　　　。
(94全國高中數學能力競賽　新竹區)

設\(x,y\)為任意實數，則\((x-2cosy)^2+(3x^2+8-2siny)^2\)的最小值為　　　。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

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109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為　　　（以最簡分數表示）。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有　　　。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是　　　位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有　　　種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設\(Q_1\)、\(Q_2\)為以原點\(O(0,0)\)為圓心的單位圓和\(x\)軸的兩交點。若上半圓上兩點\(P_1\)和\(P_2\)滿足\(∠P_1OP_2=45^{\circ}\)，則\(\Delta P_1OQ_1\)和\(\Delta P_2OQ_2\)面積和的最大值為　　　。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將長\(\overline{AB}=240\)，寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺，讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上，若\(\overline{EF}\)是摺線，則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少？
(101高中數學能力競賽　花蓮區筆試一試題，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

作者: bugmens 時間: 2014-8-28 21:09

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給還在努力中的你的建議

1。一定要組讀書會
愈早愈好，每週定時都開讀書會，兩週安排一次試教
大家一起討論絕對會比閉門造車好，而且可以聽到許多不一樣的解題想法
讀書會成員要慎選，那種時間不能配合的、常常搞不清狀況的就不行
總召要有執行力、成員也要全力配合，務求拼一年就考上！！

2。寫題目、量不必多，但質要精
我只有稍微翻數學101，然後對於近兩年的考古題「非常精熟」的做，逐題檢討
其實很多題目的解題概念，實在沒必要花太多時間做重複性高的題目

3。善用網路資源
(1)mathpro
(2)美夢成真教甄網
(3)FunLearn 數學討論區

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讀書會組成方式分享
時間：每週一次，三份考古題，成員輪流負責寫出詳解，隔週討論
把要討論的考古題全部列出來進行分配規劃

我們會把詳解掃成電子檔放在google雲端

google雲端很好用，大家也可以把手邊各版本課本的電子檔上傳分享
準備的時候用平板就可以了

另外建立讀書會行事曆，上面定出討論、試教日期
考季到時，也可以把各學校報考日期放上去

平時溝通的平台是透過facebook
在上面會隨時更新讀書會的動態，在上面也可以放很多東西
例如試教完後會把照片放上去
h ttp://i.imgur.com/1lZuBaz.jpg　(連結已失效)

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讀書會目前，幾乎都上榜了，算是還蠻成功的
所以是建議各位如果已經要準備明年的教甄
現在就要開始準備組讀書會，規劃這一年的計劃了

以下是我的補充說明
　　math pro和美夢成真就有看不完的資料了，那為什麼還要組讀書會，但就我這幾年的觀察其實大多數的人都只是默默下載題目和看現成的解答而已，遇到看不懂或是解題時卡住的，除非身旁有人可以問否則就只能先擱著，看別人的解答不求甚解的吞下去，不僅容易忘掉而且考試時改個條件就解不出來了。而我在回答問題時也會將步驟寫的比較精簡，反正沒人提問就當你已經懂了。

　　但在讀書會可以互相討論，在討論的過程中大家腦力激盪，或許會有不一樣的想法出來。為什麼你會想到這個方法，這個方法要注意些什麼，題目換一下條件這個方法還能不能用，有哪些題目是適用這個方法…討論要能擦出火花就代表讀書會成員要慎選，只想收獲不想付出的、常常藉故不到的、還要分心準備教育科目的、搞不清楚是來交朋友還是準備考試的…所以在PTT的實習老師版在徵求讀書會成員時，可以寄站內信先了解彼此的需求，但是否是個好咖就要實際相處過才會知道。

附件: 讀書會.zip (2014-8-28 21:09, 2.61 KB) / 該附件被下載次數 34876
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2536&k=7ae6326550555111dbe5e0c707300c12&t=1781372928

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作者: bugmens 時間: 2016-7-25 06:02

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僅節錄和筆試有相關的部份，其餘請參閱附件

三、筆試
第一關的專業筆試相較於國中而言真的是難很多很多，而且高中大多獨招，每間學校的出題方向都不一致，不過考了很多很多間之後就會發現，其實大多學校仍採中規中矩的方式，就是填充題再搭配兩三題計算證明題，在教甄的筆試裡，考試時間短則90分鐘，長則120分鐘，我的作法是：拿到題目後我會先簡單瀏覽一下題目，看看哪些是不需要想就可以算的題目先做記號，然後看一下配分，舉個例子，如果計算證明有3題各10分，那填充有14題各5分，當然是先把握住計算題，當增加了基本分數之後，自己的心裡也會比較踏實一點，就可以比較從容的往下做題目，衝高分數。

前輩們所提供的書目大致其實差不多，高中數學101，寸絲筆記，mathpro論壇等等，但我大多都是先寫考古題，然後如果有碰到不會的就去mathpro查，然後就相關的主題和題型在整理，因為其實準備的範圍很廣，有的是基本的課內題，模擬考題，競賽題，所以一定要就相關的主題自己整理題型；舉個例子：遞迴數列就有一階、二階、分式型、什麼都不是等等，那每一種都會有特定的作法，有的要找規律，有的要用算的，同時搭配一下數學傳播或是其他的期刊文章，就可以加深很多的知識，可以把一些特殊的結果記下來，考試的時候就會比別人快很多。

論壇上面很多題目都有很多強手會PO出他們的做法，在整理的時候其實可以把自己可以理解的做法都記下來，如果太技巧的做法就要適時評估自己的能力，有些做法很漂亮，可是考試當下壓根不可能想的到，那你硬要用也是白搭，所以一題多解在教學現場或是思考時固然重要，可是在教甄的考試現場時，最重要的是一看到題目你就要果斷知道用哪個方法可以算出來，或許不是最快的，但是拿到分數才是第一要務，這樣的經驗並非能一蹴可幾，都是要多看多整理，才能消化成自己的東西。

市面上有一些比較有名的競賽，例如TRML，AMC，ARML、學科能力競賽等等，其實在考完的不久網路上幾乎都會有人會分享題目，如果行有餘力，其實可以做做看，將自己的知識再加廣一些，如果碰到還不錯或是類似的題型，也可以加以整理，永遠不知道你會不會在下一份考卷裡遇到它，當你準備累積了一百題如果有考出一題就值得了，如果整張考卷都沒看過會做的，一、那就代表自己努力還不夠；二、那就代表那考卷太難啦！無論如何，當你距離最低錄取分數愈來愈接近時，離第二階段就不遠了。

附件: 105年高中數學教甄上榜心得分享.pdf (2016-7-25 06:02, 298.25 KB) / 該附件被下載次數 37292
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3612&k=6eb6c554bdb0f6261af8428d4579aab0&t=1781372928

作者: bugmens 時間: 2017-9-7 18:56

在空間坐標中，\(A(1,-1,2),B(1,1,0),C(1,0,4)\)，\(P\)為平面\(E\)：\(x+y+z=0上的動點\)，則\(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2\)之最小值為　　　。
(108麗山高中，https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
求證\(\displaystyle\frac{1}{\sin24^{\circ}}+\frac{1}{\sin48^{\circ}}+\frac{1}{\sin96^{\circ}}=\frac{1}{\sin168^{\circ}}\)。
(115高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-4121-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
The function \(f\) has the property that, for each real number \(x\), \(f(x)+f(x-1)=x^2\).
If \(f(19)=94\), what is the remainder when \(f(94)\) is divided by 1000?
(1994AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_3)

函數\(f(93)=93\)，每一正整數\(n\)使得\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，求\(f(30)=\)　　　。
(99彰化藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=952&page=1#pid2507)

設\(f\)為定義域為正整數的函數，已知\(f(115)=115\)，若對每一正整數\(n\)使得\(\displaystyle f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，則\(f(70)=\)　　　。
(115彰化高中，https://math.pro/db/thread-4112-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
The sum\(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}\) equals
(A)\(\displaystyle \frac32\)　(B)\(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{65}}{4}\)　(C)\(\displaystyle\frac{1+\sqrt[6]{13}}{2}\)　(D)\(\displaystyle\sqrt[3]{2}\)　(E) none of these
(1980AHSME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_27)

Find the value of \((52+6\sqrt{43})^{3/2}-(52-6\sqrt{43})^{3/2}\).
(1990AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2)

化簡\(\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}=\)？
(99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)

化簡\((\sqrt{10+\sqrt{51}})^3+(\sqrt{10-\sqrt{51}})^3=\)？
(107中正高中，https://math.pro/db/thread-2947-1-1.html)

化簡\(\sqrt{64+32\sqrt{3}}-\sqrt{97+56\sqrt{3}}\)之值為下列何者？
(A)\(-3\)　(B)\(-4\)　(C)\(-5\)　(D)\(-6\)
(115香山高中國中部，https://math.pro/db/thread-4127-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
已知\(\displaystyle x>\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle y>\frac{1}{3}\)，試求\(\displaystyle \frac{4x^2}{3y-1}+\frac{9y^2}{2x-1}\)的最小值。
(2006TRML團體賽，mathpro沒有連結)

設\(a,b\)為兩個大於2的數，則(1)\(\displaystyle \frac{b^2}{a-2}+\frac{a^2}{b-2}\)的最小值為何？　(2)承(1)，此時\((a,b)\)為何？
(115宜蘭高中，https://math.pro/db/thread-4096-1-1.html)

已知\(x>1\)且\(y>4\)，則\(\displaystyle \frac{y^2}{x-1}+\frac{x^2}{y-4}\)之最小值為　　　。
(115台中女中，https://math.pro/db/thread-4067-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
若\(9^x+6^x=4^x\)，試求\(x=?\)
(115北市大理高中，https://math.pro/db/thread-4106-1-1.html)

設\(x\)為實數，試解\(2^x+4^x+8^x=39\)，求\(x=\)?
(115復興高中，https://math.pro/db/thread-4102-1-1.html)

已知\(x\in\mathbb{R}\)，證明方程式\(10^x+11^x+12^x=13^x+14^x\)恰有一個實數解並求此解。
(115彰化高中，https://math.pro/db/thread-4112-1-1.html)

設\(x\)為實數，試解\(2^x+4^x+8^x=39\)，\(x=\)　　　。
(115新竹成德高中，https://math.pro/db/thread-4064-1-1.html)
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在坐標平面上有一個橢圓的方程式為\(5x^{2}-6xy+5y^{2}=72\)，則此橢圓的正焦弦長為　3　。
(115成淵高中，https://math.pro/db/thread-4115-1-1.html)

已知\(\Gamma\)：\(15x^{2}-2\sqrt{3}xy+13y^{2}=144\)是一個橢圓，則此橢圓的正焦弦長為　　　。
(115彰化女中，https://math.pro/db/thread-4100-1-1.html)
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設\( P(4,3,1) \)，\( \displaystyle \Gamma：\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3} \)，\( Q \)為\( \Gamma \)上的一動點，求\( \overline{PQ} \)的最小值=　　　。
(100香山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692)
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112.1.6補充
在\(\Delta ABC\)中，\(\displaystyle \overline{AB}=\overline{AC},\overline{BC}=12,\angle A=\frac{2}{3}\pi\)。今將\(\overline{BC}\)等分成十段，其分點分別為\(P_1,P_2,\ldots,P_9\)，設\(x_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\times \overline{CP_i},i=1,2,\ldots,9\)，求\(\displaystyle \sum_{i=1}^9 x_i=\)？
(89高中數學能力競賽　屏東區試題(一))

113.4.29補充
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，\(\overline{BC}\)邊上有100個相異點\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{100}\)，若\(m_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\cdot \overline{CP_i}(i=1,2,\ldots,100)\)，則\(m_1+m_2+m_3+\ldots+m_{100}\)之值為何？
(113鳳新高中，https://math.pro/db/thread-3855-1-1.html)

114.5.5補充
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，如果\(\overline{BC}\)邊上有100個相異的點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\ldots\)、\(P_{100}\)，且設\(a_k=\overline{AP_k}^2+\overline{BP_k}\cdot \overline{P_kC}\)，其中\(k=1,2,\ldots,100\)，則\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{100}\)之值為下列何者？
(A)100　(B)200　(C)300　(D)400　(E)600
(114香山高中，https://math.pro/db/thread-3990-1-1.html)

115.5.28補充
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，如果\(\overline{BC}\)邊上有100個相異的點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\dots\)、\(P_{100}\)，且設\(a_k=\overline{AP_k}^2+\overline{BP_k}\cdot\overline{P_kC}\)，其中\(k=1,2,\dots,100\)，則\(a_1+a_2+a_3+\dots+a_{100}\)之值為　　　。
(115嘉科實驗高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=4122&page=1#pid28187)
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\( \Bigg\{\; \matrix{(x-1)^3+(x-1)(2016)=-105 \cr (y-1)^3+(y-1)(2016)=105} \)，求\( x+y= \)　　　。
(105師大附中代理，https://math.pro/db/thread-2543-1-4.html)

已知\(x,y\)是實數，且\( \Bigg\{\; \matrix{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^2+15(y-4)=-5} \)，則\( x+y= \)？
(建中通訊解題第53期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

110.2.11補充
若實數\(\alpha\)與\(\beta\)滿足\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha=2020 \cr \beta^3-3\beta^2+4\beta=-2008}\)，則\(\alpha+\beta=\)　　　。
(109高中數學能力競賽　台北市複試筆試二，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

設實數\(a\)、\(b\)滿足\(\cases{a^3+3a^2+3a=7\cr b^3+3b^2+3b=-9}\)，則\(a+b\)的值為　　　。
(114武陵高中，https://math.pro/db/thread-3968-1-1.html)

設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\alpha^3+6\alpha^2+14\alpha+11=0\)和\(\beta^3+6\beta^2+14\beta+13=0\)，則\(\alpha+\beta\)的值為　　　。
(114湖口高中，https://math.pro/db/thread-3969-1-1.html)

115.3.24補充
若兩實數\(\alpha\)與\(\beta\)滿足方程組\(\cases{\alpha^3-6\alpha^2+13\alpha-2030=0\cr \beta^3+15\beta^2+76\beta+2150=0}\)，則\(\alpha+\beta\)之值為　　　。
(115松山高中，https://math.pro/db/thread-4074-1-1.html)

115.5.4補充
若兩實數\(\alpha\)與\(\beta\)滿足方程式\(\begin{cases}\alpha^3-9\alpha^2+30\alpha+1990=0\\\beta^3-6\beta^2+15\beta-2040=0\end{cases}\)，求\(\alpha+\beta\)的值，並證明之。
(115建國中學二招，https://math.pro/db/thread-4093-1-1.html)
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已知方程式\( x^5-32=0 \)的四個相異虛根為\( \alpha,\beta,\gamma,\delta \)，設\( f(x)=x^3+x^2+1 \)，則\( f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)+f(\delta)= \)　　　。
(97松山家商，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=649&page=1#pid14073)

設方程式 \(x^4+x+1=0\) 的四個複數根為 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)。若 \(P(x)=x^2-3\)，則 \(P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)=?\)
(99萬芳高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254)

若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1)\times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)？
(101新化高中代理，https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html)

已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\delta\)為\(x^4+2x^3+x^2+2x+1=0\)的四個複數根，試求\((\alpha^2+\alpha+1)(\beta^2+\beta+1)(\gamma^2+\gamma+1)(\delta^2+\delta+1)\)的值。
(113復興高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3833&page=1#pid25769)

設方程式\(f(x)=x^3-x^2+3x+31=0\)的三個根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，則\((\alpha^3+27)(\beta^3+27)(\gamma^3+27)=\)　　　。
(115中正高中，https://math.pro/db/thread-4097-1-1.html)

設\(f(x)=3x^{20}+192x^{8}+3\)，\(g(x)=x^3-3x^2+4x-2\)，\(f(x)=0\)的二十個複數根為\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{20}\)，則\(g(\alpha_1)\times g(\alpha_2)\times\ldots \times g(\alpha_{20})=\)　　　。
(114文華高中，https://math.pro/db/thread-3953-1-1.html)

若方程式\(x^5+x^2+1=0\)之五根為\(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5\)，令\(P(x)=x^2-2\)，則\(P(r_1)P(r_2)P(r_3)P(r_4)P(r_5)\)之值為　　　。
(114新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3974-1-1.html)

令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根，求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何？
(112學年度第2學期中山大學雙週一題第3題，連結有解答https://www-math.nsysu.edu.tw/~problem/2024s/2024s3.pdf)
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Find the least positive integer \(n\) for which \(\displaystyle\frac{n-13}{5n+6}\) is a non-zero reducible fraction.
(A)45　(B)68　(C)155　(D)226　(E) none of these
(1985AHSME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_26)

設\(n\)為自然數，且\(\displaystyle \frac{n^3-3n^2+5n-13}{n-3}\)為質數，則滿足上述條件之所有自然數\(n\)的總和為
(A)10　(B)11　(C)12　(D)13
(99全國高中職聯招)

若\(n\)與\(\displaystyle \frac{n^2+7}{2n+3}\)都是整數，則\(n\)的最大值為　　　。
(2004TRML個人賽)

若整數\(n\)可使\(\displaystyle \frac{n^3+2024}{n+11}\)亦為整數，則\(n\)的最大值為　　　。
(113南港高工)

求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)　　　。
(108麗山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741)

設\(\displaystyle m,\frac{3m+25}{2m-5}\)皆為正整數。則所有符合條件的\(m\)的和為？
(115嘉義女中，https://math.pro/db/thread-4120-1-1.html)

若\(x\)為整數，且\(\displaystyle \frac{x^3-x+360}{(x-1)(x+1)}\)亦為整數，則符合條件的最大整數\(x\)為　　　。
(114內壢高中，https://math.pro/db/thread-3991-1-1.html)

已知\(\displaystyle \frac{n^5+2n^2+1}{n^2+3}\)為整數，則所有可能的整數\(n\)為　　　。
(114新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3974-1-1.html)

數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n-1}=a_n+a_{n-2}\)，\(n\ge 3\)，設此數列前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(s_{2023}=2024\)，\(S_{2024}=2023\)，則\(S_{2025}=\)？
(113彰化高中)

\(x\)為正整數，\(1\le x\le 210\)，有多少\(x\)，滿足\(4^x-x^4\)為7的倍數。
https://math.pro/db/thread-3701-1-7.html
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設\( p,q \in R \)且\( p>0,q>0 \)，若\( log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)，則\( \displaystyle \frac{q}{p} \)之值介於下列哪一各區間？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=1#pid3661

正整數的遞增數列，\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)符合\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)，其中\(n\ge 1\)。若\(a_7=120\)，求\(a_8=\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=1#pid1225

旋轉體體積相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652

設\(x\)為正實數，\(f(x)=x^2+4x+6+4x^{-1}+x^{-2}\)，試求\(f(x)\)之最小值。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid16166

設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1467&page=1#pid6924

若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \)，則\( a+b+c \)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1944

求所有函數\(f(x)\)，滿足\(\displaystyle \left(\frac{x-3}{x+1}\right)+\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)，則\(f(x)=\)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=4#pid7764

將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945

設空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{4-y}{2}=\frac{z+2}{-1}\)，若直線\(L\)過\(P(1,2,-1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點，則\(\overline{AB}\)長為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1358&page=1#pid5562

空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為？相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=3#pid3750

求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1561&page=1#pid7867

由\(1,2,3,\ldots,12\)十二個數字中隨機取出四個相異的數，每個數被取出的機會皆相等，令\(S\)表示此四數的乘積，求\(S\)為完全平方數的機率為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3952&page=2#pid27603

\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)為方程式\(x^4+x^3+1=0\)的四個根，試求\(\left|\ \matrix{\alpha&1&1&1\cr 1&\beta&1&1\cr 1&1&\gamma&1\cr 1&1&1&\delta} \right|=\)　　　。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2943&page=1#pid18331

設橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，則其外切矩形面積相關問題。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1161&page=1#pid3801

一平面上一正三角形\(ABC\)在另一平面的正射影為三角形\(A'B'C'\)，已知\(\Delta A'B'C'\)的三邊長分別為2，3，\(\sqrt{3}\)，求：(1)正三角形\(ABC\)的一邊長？(2)兩平面的夾角\(\theta\)，求\(cos\theta=\)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=945&page=1#pid23260

求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4684

若 \( f(x)=5－6x＋x^2 \)，求滿足 \( f(x)+f(y)\leq 0\) 及 \( f(x)－f(y)\geq 0\)  的 \(P(x, y)\) 所表區域面積。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=4#pid4233

平面上有一線段\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，動點\(M,N\)滿足\(\overline{AM}=\overline{MN}=\overline{NB}=1\)。將\(\triangle AMB\)與\(\triangle MNB\)的面積記為\(S\)與\(T\)，試求\(S^2+T^2\)最大值？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008

試問\(1!\times 2!\times \ldots \times 10!\)的正因數中是完全平方數的共有　　　個。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid17807

AABBBCCCC排列，同字不相鄰的方法數？相關問題
https://math.pro/db/thread-1097-1-1.html

若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600

已知圓內接六邊形的邊長依序為2、2、3、3、2、3，則此六邊形面積為　　　。相關問題
https://math.pro/db/thread-2735-1-1.html

在一單位圓上給定一點\(P\)，且\(A_1,A_2,\ldots,A_n\)是其內接正\(n\)邊形的頂點，試證\(\overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+\ldots+\overline{PA_n}^2\)是一常數。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=457

\( (cos10^{\circ})^2+(cos50^{\circ})^2-(sin40^{\circ})(sin80^{\circ})= \)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=2#pid5056

設\( z_1,z_2 \in C \)，\( |\; z_1 |\;=|\; z_1+z_2 |\;=3 \)，\( |\; z_1-z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，則\( log_3 |\; (z_1 \overline{z_2})^{2000}+(\overline{z_1}z_2)^{2000} |\;= \)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid9356

若\(A+B+C=180^{\circ}\)，則\(\displaystyle cosA cosB cosC\le \frac{1}{8}\)，\(\displaystyle\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。相關問題
https://math.pro/db/thread-1516-1-1.html

下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=1#pid6712

已知正方形 \(ABCD\) 的兩頂點 \(A,B\) 在拋物線 \(y^2=x\) 上,且 \(C,D\) 在直線 \(L:\,y = x+4\) 上求正方形的面積?相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2436

雙曲線\(4x^2-y^2=9\)之弦被點\((4,2)\)平分，則此弦所在的直線方程式為　　　。相關問題
https://math.pro/db/thread-232-1-1.html

坐標平面上，已知點\(Q(2,2)\)為橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1\)上一弦\(\overline{MN}\)的一個三等分點，求直線\(MN\)之斜率。相關問題
https://math.pro/db/thread-3433-1-1.html

若\(x^4+2\sqrt{3}(log_2k)x^2+1-(log_2k)^2=0\)有四個相異實根，則\(k\)的範圍為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=2#pid9386

某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進100公尺到達\(B\)，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進40公尺到達\(C\)，又測得山峰仰角為\(3\theta\)，則山高為　　　公尺。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6435

設\(x,y \in R\)，若\(x^2+(y-1)^2 \le 1\)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535

已知\(\triangle ABC\)，\(\overline{AB}=5\)，其外接圓半徑為10，試求\(\left|\ \matrix{-1&cosC&cosB\cr cosC&-1&cosA\cr cosB&cosA&1}\right|\ =\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3490&page=1#pid22346

若\(P,Q\)為\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上的兩個動點，\(O\)為原點且\(\overline{OP}⊥\overline{OQ}\)，試證明\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OP}^2}+\frac{1}{\overline{OQ}}^2\)為定值。相關問題
https://math.pro/db/thread-621-1-1.html

某樓梯有10階，小清自底部以每次1或2或3階方式向上，問共有幾種方式爬到頂端？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1017&page=1#pid7501

設 \(x,y\) 為整數，\(x\geq y\) 且滿足方程式 \(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)，求數對 \(\left(x,y\right)\)。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=865&page=1#pid1730

化簡\(sin^2 54^{\circ}+sin^2 66^{\circ}-sin54^{\circ}sin66^{\circ}\)。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=2#pid5056

設\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)為平面上兩個非零向量，且\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，令\(\displaystyle r=\frac{|\;\vec{a}+2\vec{b}|\;}{|\;2\vec{a}+\vec{b}|\;}\)，試求\(r\)的範圍為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2970&page=1#pid19032

正四面體的四頂點落在兩歪斜線\(L_1\)：\(\cases{x=4+t\cr y=-3-t\cr z=0}\)，\(t\in \mathbb{R}\)與\(L_2\)：\(\cases{x=2+s\cr y=2+s\cr z=1}\)，\(s\in \mathbb{R}\)上，求此四面體的稜長。相關問題
https://math.pro/db/thread-1115-1-1.html

空間中，\(x^2+y^2=3^2,z=0\)及\(x-z=0\)所圍成封閉區域的體積為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=1#pid5678

\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1151&page=2#pid3949

當方程式 \(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有 \(4\) 個相異實根時，\(k\) 值之範圍為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1018&page=1#pid2498

一個正八邊形，其頂點\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8\)皆落在單位圓\(C\)上，點\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)為圓\(C\)上一點，試求：\(\displaystyle \Bigg\vert\; \sum_{k=1}^8 \vec{PA_k}\Bigg\vert\;=\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=2#pid21796

設\(\displaystyle f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{4cosx+5}}\)，其中\(x\in \mathbb{R}\)，已知\(f(x)\)的值域為區間\([a,b]\)，則數對\((a,b)=\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=2#pid18454

\(\displaystyle f(\theta)=\frac{7+cos2\theta}{3+sin\theta}\)最大值最小值
(114建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3946&page=1#pid26896)

設\(x\in R\)，且\(\displaystyle y=\frac{4-3sinx}{2+cosx}\)，試求\(y\)值的範圍。
(113竹東高中，https://math.pro/db/thread-3883-1-1.html)

\(\displaystyle \frac{\sin x-2\cos x}{2+\sin x}\)的最小值為　　　。
(115和平高中，https://math.pro/db/thread-4103-1-1.html)

設[x]表示不大於x的最大整數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^{2010} \Bigg]\; \)除以7的餘數。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=967&page=1#pid2214

設方程式\(x^3-2x^2-3x+1=0\)之三根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{\alpha-1}{2\alpha+3}\)、\(\displaystyle \frac{\beta-1}{2\beta+3}\)、\(\displaystyle \frac{\gamma-1}{2\gamma+3}\)為三根之三次方程式。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3342&page=1#pid21387

平面上，設\( A(0,4) \)，\( B(0,9) \)，P在正向x軸上移動，設\( ∠APB=\theta \)，則\( tan \theta \)之最大值為，最大視角相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307

\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987，求\(3m+4n\)的最大值。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20433

\(\overline{AB}\)為圓\(x^2+y^2=37\)上的一弦，若點\(P(1,2)\)在\(\overline{AB}\)上，且剛好為\(\overline{AB}\)的其中一個三等分點，試求直線\(AB\)的方程式。
101國立陽明高中，https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html
110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html
113竹東高中，https://math.pro/db/thread-3883-1-1.html

在坐標平面上，\( \displaystyle \frac{|\; 3x+2y |\;}{5}+\frac{|\; 7x+y |\;}{8}=1 \)所圍成的區域面積為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904

求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652

設\(a\in R\)，若\(a+log_2 3\)，\(a+log_4 3\)，\(a+log_8 3\)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=952&page=1#pid2527

方程式\(\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}-1=0\)的正根個數有多少個相關題目
https://math.pro/db/thread-1348-1-1.html

求整數 \(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字。相關題目
https://math.pro/db/thread-708-1-1.html

設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求
\(a,b,c\)之值及切線方程式　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501

設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652

已知\(z\ne 1\)，且\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742

已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3350&page=1#pid21520

在直角\(\triangle ABC\)，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=c\)。沿向量\(\vec{AB}\)的方向，依序點\(M_1,M_2,\ldots,M_{n-1}\)將線段\(\overline{AB}\)分成了\(n\)等份，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}(\vec{CA}\cdot \vec{CM_1}+\vec{CM_1}\cdot \vec{CM_2}+\ldots+\vec{CM_{n-1}}\cdot \vec{CB})=\)　　　。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1377&page=1#pid5870

已知\(a,b,c,d\)為實數，且方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)有四個虛根，其中兩根的乘積為\(13+i\)，另外兩根的和為\(3+4i\)，求\(a,b\)之值？相關問題
https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

\(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值?相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268

設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2543&page=1#pid15832

設\( 0 \le x \le 2 \pi \)，求\( tan^2x-9tanx+1=0 \)之各根總和為多少？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1880&page=1#pid10245

化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？相關問題
https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html

袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?相關問題
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

空間中的曲面，\(S\)：\((2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1\) 所圍出的體積為多少?相關題目
https://math.pro/db/thread-1336-1-1.html

(1)請證明\(\displaystyle \lim_{\theta\to 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1\)　(2)用(1)的結果求正弦函數的微分，即\(\displaystyle \frac{d}{dx}sinx=\)？
(99明倫高中)
求證\(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
(98家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid4575)

正2n或2n+1邊形有幾個銳角三角形，直角三角，鈍角三角形，相關題目
https://math.pro/db/thread-519-1-1.html

設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684

\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？
https://math.pro/db/viewthread.p ... isplaystyle A=\Bigg

將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=1#pid5182

\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為　　　。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=3#pid5286

四邊形內切圓最大面積，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=6#pid5380

質點由點\((a,b,c)\)移到點\((b+c-1,c+a-1,a+b+3)\)稱為一次移動，相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1483&page=1#pid7092

\(\Delta ABC\)中，內部一點\(P\)，求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)最小值，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1990

空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)所圍成的平行六面體體積是多少，相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993

老鼠走迷宮有一定機率回到原地，相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\)，求\(k\)的範圍。相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567

在整數列\(\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]\)中，共有　　　個互不相等的整數。的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10256

一路領先的相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=2#pid11780

橢圓和拋物線相交，求\(a\)範圍的相關題目
https://math.pro/db/thread-1272-1-1.html

若線性方程組\(L\)：\(\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}\)在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)不全為0的相關問題。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

A有m元，B有n元，投硬幣正面A給B1元，投硬幣反面B給A1元，A輸光的機率的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1349&page=1#pid11870

所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251

\( f(x) \)為一2010次多項式，滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，其中\( k=1,2,3,...,2010 \)的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

\(\sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的相關題目
https://math.pro/db/thread-664-1-1.html

方程式\( (x^2-3x+1)^{x+1}=1 \)有幾個整數解相關題目？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294

\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)的最小值相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

表示成\( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)的相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=6#pid5380

長方形對角線折起來的相關題目
https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

螞蟻在正四面體的邊上爬行的相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071

甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽...相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=786&page=1#pid1446

滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847

丟番圖恆等式\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=629&page=1#pid1765

解循環方程式\( \displaystyle \cases{y=4x^3-3x \cr z=4y^3-3y \cr x=4z^3-3z} \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2020&page=1#pid11798

解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線相關題目
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html

空箱的期望值相關題目
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659

若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \)，求\(e\)的最大值相關題目
https://math.pro/db/thread-61-1-1.html

已知\( \cases{a+b=8 \cr ax+by=9 \cr ax^2+by^2=57 \cr ax^3+by^3=111} \)，求\( ax^4+by^4 \)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495

設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \)，\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{25}} \)，\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}} \)，且\(x+y+z= \)？相關題目
https://math.pro/db/thread-1968-1-1.html

\(x,y,z\)為正實數，\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\)，求\(x+y+z=\)？相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7036

正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139

聯立方程組\(\cases{3x^2+y^2-3xy=3+2\sqrt{2}\cr y^2+z^2-yz=9+6\sqrt{2}\cr z^2+w^2+\sqrt{3}zw=3+2\sqrt{2}\cr w^2+3x^2+\sqrt{3}wx=9+6\sqrt{2}}\)求\(\sqrt{3}xz+yw\)之值。
(112學年度第一學期中山大學雙週一題第三題，連結有解答https://www-math.nsysu.edu.tw/~problem/2023f/1121Q&A.htm)
(115嘉義女中，https://math.pro/db/thread-4120-1-1.html)

設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3596

設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值，最小值相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635

\([x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014\)，求\(x\)的範圍相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1892&page=3#pid10524

將\(n\)分解成一些正整數之和，求這些正整數乘積的最大值相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945

對稜相等的四面體體積相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

三平行線上的正三角形邊長相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6229

4個球兩兩相切，求第4個球半徑相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604

\(\displaystyle \sum_{x=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{x}}\)整數部分相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{2001}} \)相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=442&page=1#pid3915

環狀區域相鄰不同色相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid1890

將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列，使得前5個字母沒有A，中間5個字母沒有B，且最後5個字母沒有C，試問共有多少可能的排列相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=454&page=1#pid1779

若\( \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of 2 -1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c \)，則\( a+b+c= \)？相關問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，\(\angle A=2\angle B\)，則\(\triangle ABC\)之內切圓半徑為？
(112學年度第1學期中山大學雙週一題第2題)

令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根，求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何？
(112學年度第2學期中山大學雙週一題第3題)

下列方程組\(\cases{x+y=3(z+u)\cr x+z=5(y+u)\cr x+u=7(y+z)}\)的解\((x,y,z,u)\)，其中\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)皆為正整數，求\(x\)可能的最小值為何？
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第1題)

設\(x、y\in R\)，求\(\sqrt{x^2+y^2-6x+4y+17}+\sqrt{x^2+y^2+6x-8y+50}\)的最小值。
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第2題)

將一個圓分成12個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色塗上顏色，相鄰的扇形顏色不同，則有幾種塗色方法？(註：不考慮旋轉的情形)
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第5題)

試求函數\(f(x)\)，對任意實數\(x\)，\(|\;x|\;\ne 1\)，滿足\(\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)。
(110學年度第1學期中山大學雙週一題第6題)

\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，過\(A\)點作直線\(\overline{BC}\)的垂直線，設垂足為\(H\)，若\(\displaystyle \vec{AH}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}\)，求\(\triangle ABC\)的外接圓面積為何？
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第1題)

如下圖，將數字\(1\sim 14\)填入一個\(2\times 7\)的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？
☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)

將半徑為10公分的三個球放入一半球形碗中，發現此三球的頂端恰與此碗頂端位於同一水平面，請問此半球形狀的碗之半徑為多少公分？
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第5題)
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Canadian Mathematical Olympiad
https://cms.math.ca/competitions/cmo/
1978
Determine the largest real number \(z\) such that \(\matrix{x+y+z=5\cr xy+yz+xz=3}\) and \(x,y\) are also real.

1986
In the diagram line segments \(AB\) and \(CD\) are of length 1 while angles \(ABC\) and \(CBD\) are \(90^{\circ}\) and \(30^{\circ} \)respectively. Find \(AC\).
設\(P\)為\(\Delta ABC\)的\(BC\)邊上一點，且\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，若\(\displaystyle\angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=30^{\circ}\)，則\(\overline{PC}=\)　　　。
(95台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=987&page=2#pid22591)

1994
Evaluate the sum \(\displaystyle \sum_{n=1}^{1994}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}\).

試求級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2026} (-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)之值為　　　。
(115成德高中，https://math.pro/db/thread-4064-1-1.html)

Show that every positive integral power of \(\sqrt{2}-1\) is of the form \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some positive integer \(m\).
(e.g. \((\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}=\sqrt{9}-\sqrt{8}\)).
(相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237)

1996
Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
\(\cases{\displaystyle \frac{4x^2}{1+4x^2}=y\cr \frac{4y^2}{1+4y^2}=z\cr \frac{4z^2}{1+4z^2}=x}\)
(相關題目101中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6438)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
這裡有大量教甄試題解答，需要很多時間整理

《数学中国》，http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=forumdisplay&fid=5
陆元鸿老师的《数学中国》园地，h ttp://www.mathchina.net/dvbbs/index.asp
109.10.20補充
h ttp://www.mathchina.net/連結已失效

110.5.26
題目連結都已經失效，舊內容刪除，轉成相關題目網址索引

作者: BambooLotus 時間: 2021-9-20 02:24

.

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2021-9-20 08:37 編輯 ]

作者: bugmens 時間: 2021-9-20 06:58

本版設立的初衷是為了讓教甄網友在此交流分享，不希望有任何商業行為發生，請BambooLotus移除蝦皮購物連結，不然版主將協助刪除整篇文章，敬請配合。

作者: ruee29 時間: 2023-6-14 09:12

1.謝謝寸絲老師整理了很有系統、很精實的筆記！
整理了手寫解答，沒有詳細校對，應該會有不少筆誤。
若老師們有需要，可以自行下載~
https://drive.google.com/file/d/ ... view?usp=drive_link
2.高中數學教師甄試試題解答
111 & 109~106 & 101(131份解答)
https://drive.google.com/file/d/ ... view?usp=drive_link

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-7-17 16:09 編輯 ]

作者: zidanesquall 時間: 2024-1-24 10:44 標題: 回覆 33# ruee29 的帖子

請問一下，寸絲老師筆記的解答只供檢視嗎？

沒有辦法下載

作者: ruee29 時間: 2024-7-17 16:22

整理了112年高中數學教師甄試考古題試題解答(28份) 供參
https://drive.google.com/file/d/ ... cE/view?usp=sharing

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-7-17 16:25 編輯 ]

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