填充7.
在三角形ABC的三邊BC、CA、AB上依次取D、E、F點，且使BD:DC=CE:EA=AF:FB=1:2，令AD與CF交於P點，BE與AD交於Q點，CF與BE交於R點，求ABC與PQR的面積比。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128

填充10.
設f(x)為定義於所有有理數上的函數，且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy對所有有理數xy皆成立。若f(4)=14，求f(32)。

設f(x)為定義於所有有理數上的函數，且f(x+y)=f(x)+f(y)+xy對所有有理數xy皆成立。若f(4)=14，則f(31)=　　　。
(102高中數學能力競賽　　北三區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

計算1.
求出此無窮根號之値：6+27+38+49+ 。
(只寫出答案部分給分，滿分須嚴謹計算證明過程)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html

令左式為f(x),則f(x)顯然為遞增函數
f(10)=150,f(10-)=146,故無147的函數值存在的空間

12.
設abc=-k,則 a,b,c為f(x)=x^3-9X^2+k=0 的三個實根,y=f(x)之圖形隨k值而上下平移
f`(x)=3x^2-18x=0 => x=0,6
欲使a+b=9-c最大,便要使最小的根c達到最小=>f(0)=k要最大,且具有三實根
=>f(6)=0,此時由圖易知a=b=6,故a+b 最大值=12

計算錯誤，修正後與laylay老師答案一樣

[ 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-19 16:26 編輯 ]

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9
以下證明 對於所有的有理數x,f(x)=(x^2+3x)/2 .......
    f(3x))=f(x)+f(2x)+x(2x)=f(x)+2f(x)+x^2+2X^2=3f(x)+(1+2)x^2
    f(4x)=f(x)+f(3x)+x(3x)=f(x)+3f(x)+(1+2)x^2+3X^2=4f(x)+(1+2+3)x^2 ........
可導出n為正整數時f(nx)=nf(x)+[n(n-1)/2]*x^2  => f(x)=nf(x/n)+[(n-1)/(2n)]*x^2
=>f(x/n)={f(x)-[(n-1)/(2n)]*x^2}/n
f(1)=f(4/4)=(f(4)-3/8*16)/4=2
p為正整數時 f(p)=f(p*1)=pf(1)+p*(p-1)/2*1^2=(p^2+3p)/2
q為正整數時 f(p/q)={f(p)-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q={(p^2+3p)/2-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q
={(1/2q)p^2+(3/2)p}/q=[(p/q)^2+3(p/q)]/2
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+x(-x)=>f(-x)=x^2-f(x)
=>f(-p/q)=(p/q)^2-[(p/q)^2+3(p/q)]/2=[(-p/q)^2+3(-p/q)]/2
又f(0)=0=(0^2+3*0)/2,故可知對於所有的有理數x, f(x)=(x^2+3x)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-20 02:38 編輯 ]

想問計算第3題

證明不存在實數x，使得[x]+[2x]+[4x]+[8x]=147。
幫補個計算第2題的連結
https://math.pro/db/thread-1892-3-1.html

小弟的作法是坐標化

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 09:09 編輯 ]

計算三
設正方形ABCD的邊長為1，在邊 及 上分別取一點E、F，使得AEF周長為2，求 角ECF
另作 :
以C為圓心BC為半徑畫圓
由E對圓作切線交AD 於H,G為切點
則EG=EB,HG=HD => AEH周長= AB+AD= 2 =AEF周長 => H=F
角ECF=角BCD/2=45度

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 11:28 編輯 ]

小弟算的參考答案，麻煩偵錯一下囉！感謝！

第1題 1289 (thepiano大校正)
第2題 2+3 
第3題 ln2
第4題 13m453
第5題 25810 
第6題   3128 (thepiano 大校正)
第7題 7:1
第8題 373   
第9題 P(n)=(−71)n−1(−114)+21n1
第10題 911
第11題 −15
第12題 12

笫1題
原式=sin2  sin4  sin178sin1  sin2  sin3  sin179    =(sin1  sin2  sin89  )2289  (sin1  sin2  sin89  )(cos1  cos2  cos89  )  =1289

第6題
  z1  =48  z2  =48(22)(cos30  +isin30  )  z3  =48(22)2(cos60  +isin60  )  zk+1  =48(22)k(cos6k+isin6k)由上述討論並觀察出等比數列  a1=z1=48a2=z7=48(22)6  (−1)a3=z13=48(22)12  1  k=1  ak=481−−226=3128

第12題 (另解 根與係數關係)
a+b=9−cab=−9c+c2  實數a、b為x2  +(−9+c)x+(c2  −9c)=0之根判別式D0，(−9+c)2−41(c2−9c)0令a+b=t−3t2+36t0可推得0t12故a+b最大值為12

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 14:50 編輯 ]