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113全國高中職聯招

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2024-5-4 12:14, 下載次數: 1342

113教甄筆試試題疑義申復一覽表公告版.pdf (270.09 KB)

2024-5-6 16:49, 下載次數: 473

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第一部分:選擇題
二、複選題
9.
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)之圖形的所有切線中,以過切點\((1,0)\)之切線斜率為最小,且此切線亦通過原點,則下列哪些選項是正確的?
(A)\(f''(1)=0\) (B)\(f(x)\)沒有極大值 (C)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切 (D)方程式\(f(x)=1\)有三相異實根

設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\),若曲線\(y=f(x)\)上,以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小,且此時之切線通過原點,求\(a,b,c\)之值及切線方程式   
(98家齊女中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)

第二部分:綜合題
一、填充題
1.
設\(f(x)=x^2-16\),若\(P=\{\;x_0,x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots,x_{n-1},x_n \}\;\)為\([1,3]\)的\(n\)等分割,\(n\in N\),且知黎曼下和\(L_n\),且知黎曼上和\(U_n\),若\(\displaystyle |\;U_n-L_n|\;<\frac{1}{10000}\),試求最小之自然數\(n\)?

3.
設\(O\)為\(\Delta ABC\)的外心,若\(\vec{AO}=\vec{AB}+3\vec{AC}\),則\(sin\angle BAC=\)?

已知銳角\(\Delta ABC\)的外心為\(O\),\(\overline{AB}=6\),\(\overline{AC}=10\),若\(\vec{AO}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\),且\(2x+10y=5\),求\(cos(\angle BAC)=\)   
(104陽明高中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2260&page=3#pid13589)

5.
自\(P_1(1,0)\)作\(x\)軸的垂直線交拋物線\(y=x^2\)於\(Q_1(1,1)\),再由\(Q_1\)作此拋物線的切線交\(x\)軸於\(P_2\),又自\(P_2\)作\(x\)軸的垂線交此拋物線於\(Q_2\),如此依序進行,試求級數\(\overline{P_1Q_1}+\overline{P_2Q_2}+\ldots+\overline{P_nQ_n}+\ldots\)之和。
(110台南女中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=6#pid22659)

二、計算證明題
1.
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\),\(1\le i\le n\),若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\),試用高中數學的方法證明\(|\;r|\;\le 1\)。
(在99課綱中談相關係數\(-1\le r \le 1\),連結有解答https://web.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d364/36403.pdf)

2.
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明:已知點\(P(x_0,y_0)\),直線\(L\):\(ax+by+c=0\),則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(點到直線的13種證明方法https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183)

3.
令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根,求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何?

\(x^{18}-5x^{11}+1=0\),求\(\displaystyle \prod_{i=1}^{18}(x_i^2+x_i+1)=\)?
(103大同高中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=3#pid13180)

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謝謝老師提供資訊

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想請教第一部分選擇3、7、8

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回覆 4# lisa2lisa02 的帖子

3.等同求b>a^3/(1+a)  (填充題可能會有敘述疑慮...但這是選擇題)
7.[log_2 (N-1)]=log_2 (19+N) -1   因為左邊是高斯,所以19+N得是2的次方數,符合的2^6~2^7之間
8.用GGB跑了一下,他給的示意圖有大問題...

[ 本帖最後由 cut6997 於 2024-5-5 00:20 編輯 ]

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7. \(\displaystyle 2^{[log_2(2N-2)]}=log_2(N+19)\in \mathbb{Z}\)

因此可得\(\displaystyle N=13,45,109...\)

檢驗得知13不合,因此最小兩數為45,109,總和154

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回覆 5# cut6997 的帖子

第一題應該是等同\(\displaystyle b>\frac{a^3 }{a+1}\)
之後一個一個討論
a=1 , b=1~9
a=2 , b=3~9
a=3 , b=7~9
a=4, b>9不合,共9+7+3=19組,機率\(\displaystyle \frac{19}{81}\)

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謝謝cut6997、satsuki老師的回覆,有做出來了!
後來第七題我是直接用座標去算PQ的長度
P,Q應該一個在左、一個在右(?

[ 本帖最後由 lisa2lisa02 於 2024-5-6 23:27 編輯 ]

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回覆 8# lisa2lisa02 的帖子

選擇第 8 題
P(-12 + 10√2,-15 + 10√2)、Q(-12 - 10√2,-15 - 10√2)
F'(-3,0)

PF' + QF' = 30√2

題目有誤!

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回覆 9# thepiano 的帖子

我覺得這題圖形有給錯喔~我用desmos軟體畫出來的圖,點P、Q不會都在右半平面,而是一個在右半平面,另一個則在左半平面(第三象限)~

[ 本帖最後由 小呆 於 2024-5-5 07:39 編輯 ]

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