112東石高中數學

一、填充題
3.
設\(f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2\)，當\(f(a,b)\)有最小值時，求數對\((a,b)=\)　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

8.
有一個袋子，裡面裝了2顆紅球，3顆白球，4顆黃球，5顆黑球(球的材質、大小都相同)，將袋中的球取出，一次取一顆，取後不放回，求白球先被取完之機率=　　　。
相關問題https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

10.
將\((a-2b+3c-4d)^{20}-(a+2b-3c-4d)^{20}\)展開後合併整理，最後會有　　　種不同類項。

將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？
(101臺南二中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=2#pid5304)

11.
給定空間中一封閉區面\(S\)：\((2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1\)，求所圍出的體積=　　　。

空間中的曲面，\(S:(2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1\) 所圍出的體積為多少?
連結有解答https://math.pro/db/thread-1336-1-1.html

12.
試化簡\(\displaystyle \sum_{k=0}^{100}\left(x+\frac{k}{100}\right)^2 \left(\matrix{100\cr k}\right)(1-x)^{100-k}=\)　　　。

15.
求\(\displaystyle sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{4\pi}{7}-sin\frac{\pi}{7}=\)　　　。

化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

二、計算題
2.
已知遞迴數列滿足，\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2a_n-4}\)，求一般式\(a_n=\)　　　。(以\(n\)表示)
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

想請教填充2及計算1
謝謝

計算1
求積分\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\)　　　。
[解答]
請參考:
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%A7%AF%E5%88%86#%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E7%9A%84%E7%A7%AF%E5%88%86

直接看最底下:
...應用萊布尼茲積分規則對參數進行微分...

填充2.
給定一擺線之參數式\(\cases{x=\theta-sin\theta \cr y=1-cos \theta}\)，\(\theta\)為實數，求其擺線圖形在完整一個週期的弧線與\(x\)軸所圍成封閉區間的面積=　　　。

計算1
求積分\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\)　　　。

謝謝兩位老師^^

想請教填充13、填充16，謝謝

第 13 題
當\(x>0,y>0\)且\(\displaystyle \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2y}=1\)，試求\(2x+y\)的最小值=　　　。
[解答]
a = x + 1 > 0
b = x + 2y > 0
題目轉化成 1/a + 1/b = 1
求 2(a - 1) + (b - x)/2 = (3a + b - 3)/2 的最小值
剩下的就簡單了


第 16 題
將2顆綠色珠子，4顆紅色珠子，3顆藍色珠子串成一個項圈，試求共有幾種不同方法(假設珠子大小一樣) =　　　。
[解答]
環狀排列數 = [9!/(2!4!3!)]/9 = 140 種

先算上面的 140 種中，有幾種是對稱的
珠子總數 9 顆，只有藍珠是奇數顆，故對稱軸上有 1 顆藍珠
其餘 8 顆分成兩邊，每一邊是 1 綠 2 紅 1 藍
對稱的環狀排列數 = 4!/2! = 12 種

非對稱的環狀排列數 = 140 - 12 = 128 種

珠狀排列數 = 對稱的環狀排列數 + (非對稱的環狀排列數/2) = 12 + (128/2) = 76

官方給的答案錯了

謝謝 thepiano 老師。

不好意思～想請問一下填充12、14。