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100高中數學能力競賽

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100高中數學能力競賽

100學年度 數學 能力競賽 決賽 試題 暨 參考解答

如附件 請參考

101.10.2補充
高雄中學數學科有決賽總報告
h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam.htm (連結已失效)
我將各地複賽題目分割出來,請下載附件

附件

100math.zip (1.77 MB)

2012-5-8 12:38, 下載次數: 2919

100學年度 數學能力競賽決賽

100高中數學能力競賽各區複賽.rar (1.77 MB)

2012-10-2 22:03, 下載次數: 2748

三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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活動網頁http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/index.php

可惜高師大只有提供決賽題目,只是決賽題目難度高且算式多,教師甄試比較少採用
前幾屆我就可以整理出很多相關試題,100年就沒有相關題目可以整理
97高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html
98高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-911-1-1.html
99高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html
看各位網友有沒有是高師大的校友,能幫忙反應系上公佈各地區複賽試題

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決賽總報告後面就有當年的全部的複賽試題
去年找的結果都沒寫,輕鬆佳作

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求\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}} \)的值。
(100台中區複賽試題二試題)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
提示:\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \)


\( \displaystyle \frac{tan1^o}{cos2^o}+\frac{tan2^o}{cos4^o}+\frac{tan4^o}{cos8^o}+…+\frac{tan(2^n)^o}{cos(2^{n+1})^o}= \)?(答案僅能以tan表示)
100台中區複賽試題(二)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

在區間(0,1)當中,隨機任選兩個相異點x和y,即可將此區間分成長度各為a,b和c的三個子區間。
已知每一個序對(a,b,c)出現的機率均等,試問a,b和c可以作為一個三角形的三邊長的機率為何?
(100台中區複賽試題二試題)
另解http://www.funlearn.tw/redirect. ... 5135&pid=203139

可形成銳角三角形的機率
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12015
文章中的兩個圖檔



101.11.28補充
將一線段分成三份能構成三角形的機率,http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=12

設f為一個2010次的多項式,且滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \),k=1,2,3,…,2011。試求f(2012)的值。
(100台中區複賽試題二試題)
https://math.pro/db/thread-1195-1-1.html

平面上,由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \),\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \),\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何?
(100台中區複賽試題二試題)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=826&page=1#pid1580
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101.10.13補充
已知一個\( 9 \times 10 \times 11 \)大長方體積木是由990個每邊1單位的白色小正立方體積木所併成。若將大長方體積木的表面全部著上紅色後再拆開成原來的990個小正立方體積木,則恰有兩面著上紅色的小正立方體積木共有  個?
(100臺北市筆試二試題)

在下列的三角形陣列中,對k=1,2,3,…,由上而下的第k列是由k個數所排成,其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1,而中間的數都是上一列相鄰兩數之和,則第100列的數之總和除以100的餘數為?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100臺北市筆試二試題)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

若\( \alpha \)是\( \displaystyle \frac{1}{3}x+3^x=8 \)的一個根,\( \beta \)是\( x+log_3(x+1)=24 \)的一個根,\( \alpha+\beta= \)?
(100臺北市筆試二試題)

101.11.11補充
設a與b為實數且\( a>0 \),已知\( a+log a=8 \)且\( b+10^b=8 \),則\( a+b \)之值為?
(98全國高中數學能力競賽 台北市筆試二,https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)
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已知x為不等於零的正實數且滿足\( \displaystyle 3f(5x^2)+2f(\frac{1}{5x^2})=25x \),求\( f(5) \)之值?
(100台南區筆試二試題)

設P(x)為實係數多項式,且\( P(x^2)=P(x+2)P(x+6 \)對於任意實數x均恆成立,求滿足這些條件的所有\( P(x) \)。
(100台南區筆試二試題)
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設\( x_0=2\sqrt{3} \),\( y_0=3 \),對於任意一個正整數n,\( \displaystyle x_n=\frac{2x_{n-1}y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}} \)且\( \displaystyle y_n=\sqrt{x_n y_{n-1}} \)。證明:對於所有正整數n,\( y_{n-1}<y_n<x_n<x_{n-1} \)。
(100高雄區筆試一試題)

從平面上的一點\( S=(a,b) \),\( 0<b<a \)出發,並依下列規則\( \displaystyle x_0=a \),\( y_0=b \),\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \),\(  \displaystyle \frac{2x_n y_n}{x_n+y_n} \)構造出一連串的點\( (x_n,y_n) \),試問當\( n \to \infty \),\( (x_n,y_n) \)是否會收斂?若是,則其極限點為何?
中山大學雙週一題96學年度第一學期第5題
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/961Q&A.htm
https://math.pro/db/thread-420-1-1.html

a,b,c為任意三正數,令\( \displaystyle a_1=\frac{a+b+c}{3} \),\( b_1=\root{3}\of{abc} \),\( \displaystyle c_1=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \),
對所有自然數i滿足\( \displaystyle a_{i+1}-\frac{a_i+b_i+c_i}{3} \),\( \displaystyle b_{i+1}=\root{3}\of{a_i b_i c_i} \),\( \displaystyle c_{i+1}=\frac{3}{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{b_i}+\frac{1}{c_i}} \)
試證:
(1)\( a_n \ge b_n \ge c_n \)。
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}c_n \)。
(95基隆高中,https://math.pro/db/thread-865-1-1.html)
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設\( \{\; x_n \}\;_{n=1}^\infty \)是一個實數數列,\( x_1=1 \),\( x_2=2 \)且滿足對於所有正整數n,\( x_{n+2}=\frac{1}{2}(x_{n+1}+x_n) \)。證明:\(  \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (x_{2k+1}-x_{2k-1})=\frac{2}{3} \)。
(100高雄區筆試二試題)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

已知函數\( f(x) \)滿足\( f(x+5)f(x)-f(x)+f(x+5)+1=0 \),且\( f(1)=3 \),求\( f(2011) \)之值?
(100高雄區筆試二試題)

從正整數1,2,3,…,20中任意取出四個數令為\( a_1,a_2,a_3,a_4 \),並將其排序,使得\( a_1<a_2<a_3<a_4 \),且滿足\( a_2-a_1\ge 3 \),\( a_3-a_2\ge 4 \),\( a_4-a_3\ge 5 \),則滿足這些條件的數共有多少種取法?
(100高雄區筆試二試題)

滿足\( 1\le a\le b<c\le d\le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組?
(95新竹高商)

若從1,2,...,13中任選出相異三數x,y,z,且\( x<y<z \),則\( y-x\ge3 \)且\( z-y\ge 3 \)成立之機率為
(100中科實中,https://math.pro/db/thread-1107-1-9.html)
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在邊長為1的正方形內任給5點,證明:其中必有2點,他們的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
(100第一區口試試題)

在邊長為1的正立方體內任取9點,證明:其中必有二點,距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)。
(數學傳播 第6卷第4期 彭志帆 抽屜原理)

設正三角形邊長為1,試證:由此正三角形內部任取5點,至少有兩點的距離小於或等於1/2。
(99全國高中聯招,https://math.pro/db/thread-978-1-1.html)
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有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數,將這四位數的各位數字重新排列,可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後,最大數為9732,最小數為2379),如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數,試求所有這種四位數。
(100第一區筆試一試題)

將一個四位數更動其個、十、百、千位,得一最大數與最小數,取兩者之差得一新數。將此新數更動其位數,取其大數減小數之差得另一新數,將此新數反覆作同樣的操作,最後結果,只要原來四位數之個、十、百、千位不盡相同,都是6174。為什麼?請將以上事實給予嚴格的證明。
數學傳播 第3卷第2期 謝聰智,6174妙題巧解
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求\( x^{50}+x^5+1 \)除以\( x^3+x \)的餘式為。
(100第一區筆試二試題)

若p為質數且\( x^2+px-444p=0 \)之兩根均為整數,則p=。
(100第一區筆試二試題)

設p為△ABC所在平面上一點,滿足\( 2\vec{PA}+\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0} \),△BPC面積:△APC面積的比值為。
(100第一區筆試二試題)

設\( f(x)=|\; x^2-3x |\;-x+1 \),則方程式\( f(f(x))=-2 \)的實數有多少個?
(100第一區筆試二試題)

The graph of the function  is shown below. How many solutions does the equation \( f(f(x))=6 \) have?

(A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7
(2002AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=2002)

一個公正的骰子擲n次,若至少出現一次6點的機率大於0.95,則n之最小值為?

將一個半徑為5公分的鐵球,放入一個邊長10公分的正方體容器,再放入另一個小鉛球,然後蓋上正方體容器的蓋子,使蓋子與正方體完全密合,則這個鉛球的最大半徑為  公分
其他類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1118&page=2#pid3471

在空間中,球面S:\( x^2+y^2+z^2=10 \)有兩點\( A(3,0,1) \),\( B(1,\sqrt{5},2) \)。設γ為連接A點到B點的最短球面路徑,則γ的中點坐標為

假設地球為一球體。今以地球球心為原點,地球半徑為單位長,建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地,甲、乙兩地的坐標分別為
\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \),而丙地正好是甲乙兩地之間最短路徑的中點,則丙地的坐標為何?
(90指考自然組)
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若一多項式\( f(x) \)滿足\( f(x+2)-f(x+1)=6x^2+1 \),且\( f(0)=1 \),則此\( f(x)= \)?
(100第二區筆試二試題)

已知實數a,b滿足\( 2a^2-3ab+2b^2-7=0 \),若\( a^2+b^2 \)的最大值和最小值分別為p,q,則\( p+q= \)?
(100第二區筆試二試題)
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證明:\( \displaystyle sin\frac{\pi}{13}sin\frac{2\pi}{13}…sin\frac{6\pi}{13}=\frac{\sqrt{13}}{2^6} \)
(100第十區筆試一試題)

令x為大於零的實數,試求\( \displaystyle \frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x} \)的最大值
(100第十區筆試一試題)

X為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?
(101新竹女中,https://math.pro/db/thread-1358-1-2.html)

設方程式\( x^3-x-1=0 \)的三個根為\( \omega_1 \)、\( \omega_2 \)、\( \omega_3 \)。試求\(  \omega_1^8+\omega_2^8+\omega_3^8 \)的值。
(100第十區筆試一試題)
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試求\( (1+x)^{2011} \)被\( 1+x+x^2 \)除的餘式。
(100第十區筆試二試題)
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三角形的三邊長各為\( \sqrt{89} \),\( 4\sqrt{5} \),5,請問此三角形的面積為何?
(100第四區口試試題)
我的教甄筆記 三角形面積,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779

設數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足\( a_1=0 \),且\( a_{n+1}=a_n+1+2\sqrt{1+a_n} \),\( n=1,2,3,... \)。試求一般項\( a_n \)的公式。
(100第四區口試試題)
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(1)設數列\( a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \),其中n是自然數。試證:對所有的自然數n,\( a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \)均成立。
(2)試求\( [\; (1+\sqrt{2})^{100} ]\; \)的個位數字(其中\( [\; x ]\; \)表示不超過實數x之最大整數)。
(100第四區筆試一試題)
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方程式\( x^2-y^2=2011^2 \)共有  組整數解。
(100第四區筆試二試題)

有相同大小的20顆紅球、20顆黑球、20顆白球,分成各30顆的兩堆,共有  種分法。
(100第四區筆試二試題)

已知實數x,y,z滿足\( x+2y+3z=14 \),\( x^2+y^2+z^2=196 \)。則z的最大可能值為  
(100第四區筆試二試題)
提示:
\( (x^2+y^2)(1^2+2^2)\ge (x+2y)^2 \) , \( (196-z^2)(5)\ge (14-3z)^2 \)

設△ABC為等腰三角形,其中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)。設∠ABC的角平分線交\( \overline{AC} \)邊於D點,並且滿足\( \overline{BC}=\overline{AD}+\overline{BD} \)。則∠BAC=  度。
(100第四區筆試二試題)
(96斗南高中,99中壢家商,https://math.pro/db/thread-932-1-3.html)
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國慶煙火在施放後升空700公尺時爆炸,煙火半徑為300公尺,則站立於距煙火施放處多少公尺可以看得最清楚(提示,此時有最大視角)?
(100嘉義區筆試一試題)

實數a,b,c,d,e滿足\( a+b+c+d+e=8 \),\( a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 \),則e的最大值為何?
(100嘉義區筆試一試題)
提示:
\( (a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)\ge (a+b+c+d)^2 \) , \( (16-e^2)(4)\ge (8-e)^2 \)
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方程式\( \displaystyle log_{\frac{x}{2}}x^2-14log_{16x}x^3+40log_{4x}\sqrt{x}=0 \)的所有實數解為  
(100嘉義區筆試二試題)

方程\( |\;|\;|\;|\;|\; x^2-x-1|\;-2|\;-3|\;-4|\;-5|\;=x^2+x-30 \)的所有實數解為  
(100嘉義區筆試二試題)

方程式\( (x+1)(x+3)(x+6)(x+7)=y^2 \)有  組整數解\( (x,y) \)。
(100嘉義區筆試二試題)

設賭徒A有賭本m元,賭徒B有賭本n元。兩人擲骰子決定勝負,每次擲兩粒骰子,點數和若不大於7點則B須給A一元,反之則A須給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為  
(100嘉義區筆試二試題)

滿足\( x^2+y^2=\sqrt{m^2+35} \)的所有自然數解\( (x,y,m) \)為  
(100嘉義區筆試二試題)

在△ABC中,\( \overline{AB}=5 \),\( \overline{BC}=6 \),\( \overline{CA}=7 \),E為外心且\( \vec{AE} \)交直線\( \overline{BC} \)於D。若\( \vec{AD}=x \vec{AB}+y \vec{AC} \),則\( x= \)  ,\( y= \)  
(100嘉義區筆試二試題)

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假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何?
(100第二區(新店高中)口試試題)
(104新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-12-6 11:37 AM 編輯 ]

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高中數學能力競賽2題

想問請問各位高手

1. 100台北市第六題(附件1)
2. 100第二區第七題(附件2)



謝謝


102.09.12, weiye 註:相同主題合併討論,刪除附件節省空間(如需附件,請見首篇。)

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回復 1# nathan 的帖子

100台北市複賽筆試二-6
以斜坐標表示之,令 A 為原點,B 點坐標為 (4,0), C 點坐標為 (0,5),
則有以下坐標 F(0,2), G(0,1), H(1,0), \( D(\frac{8}{3},\frac{5}{3}) \),

而 \( \overleftrightarrow{DG}:\, x-4y=-4 \), \( \overleftrightarrow{FH}:\,2x+y=1 \),

聯立解得 \( P(\frac{4}{9},\frac{10}{9})\Rightarrow\overline{FP}:\overline{PH}=4:5 \)。

100二區筆試二-7
\( 26\mid18n-16\Leftrightarrow13\mid9n-8\Leftrightarrow n\equiv11 \)  (mod 13);

\( 36\mid33n+12\Leftrightarrow12\mid11n+4\Leftrightarrow n\equiv4 \) (mod 12 );

\( 42\mid27n-36\Leftrightarrow14\mid9n-12\Leftrightarrow n\equiv6 \) (mod 14 )。

\( \begin{cases}
n & \equiv11\,(\mbox{mod }13)\\
n & \equiv4\,(\mbox{mod }12)\\
n & \equiv6\,(\mbox{mod }14)
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
n & \equiv11\,(\mbox{mod }13)\\
n & \equiv1\,(\mbox{mod }3)\\
n & \equiv6\,(\mbox{mod }7)\\
n & \equiv0\,(\mbox{mod }4)
\end{cases}
\Rightarrow n\equiv4\cdot84+364+3\cdot156\equiv2260 \) (mod 1092)。
文不成,武不就

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回復 6# nathan 的帖子

相同主題,合併討論。

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機率/優勝率問題

設賭徒A有賭本m元,賭徒B有賭本n元。兩人擲骰子決定勝負,每次擲兩粒骰子,點數和若不大於7點則B須給A一元,反之則A給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為_________。

這題似乎和優勝率問題類似
如果改成像下面這題
設賭徒A有賭本m元,賭徒B有賭本n元。兩人擲硬幣決定勝負,若為正面則B須給A一元,反之則A給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為_________。
則答案應為m/(m+n)

腦筋轉不過來~~
附註:上面那題答案是(1.4^(m+n)-1.4^n)/(1.4^(m+n)-1)

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-16 09:34 PM 編輯 ]

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回復 1# tsyr 的帖子

這題是 100年 高中數學能力競賽 嘉義區筆試二的試題

可參考許介彥教授的大作 跌跌撞撞的機率.pdf (39.09 KB)

另一題的答案應是 \(\frac{m}{m+n}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-16 09:42 AM 編輯 ]

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