今天正好在寫這一份試題，
順帶打一下
3.
先解 \( x+2=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\)，得 \( x=\pm2\)，
所以兩圖相交於 \(A(-2,0)\), \(B(2,4)\)。
取 P(0,1) 在 \( y=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\)。計算弓形面積 \( =\frac{4}{3}\cdot\triangle PAB=\frac{2}{3}|\left|\begin{array}{cc}
4 & 4\\
2 & 1\end{array}\right||=\frac{8}{3}\)。
直線 \(y=ax+1\) 與拋物線 \(y=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\) 、\(y=x+2\) 分別交於 \(P(0,1)\), \(C(\frac{1}{a-1},\frac{1}{a+1}+2)\)。
則 A 在 \(y=ax+1\) 右側的面積為 \( \triangle PCB \)+右邊的弓形( \( \overline{PB}\) 和拋物線所圍) (圖中著色部分)
右側面積 \( =\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
\frac{1}{a-1} & \frac{1}{a+1}+1\end{array}\right||+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
1 & \frac{5}{4}\end{array}\right||=\frac{4}{3}+\frac{1}{2(1-a)}>\frac{8}{9}\)。
所以右側面積 \(=\frac{16}{9}\)，解得 \(a=-\frac{1}{8}\)。
8. 令其中一非直角的內角為 \(\theta\)，可將三邊表示成 \(\frac{h}{\sin\theta}, \frac{h}{\cos\theta}, h(\tan\theta+\cot\theta)\)。
三邊相加 \(2s=h\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)，
令 \(t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\), 則 \(1\leq t\leq\sqrt{2}\)。
而 \(2s=h\cdot\frac{1+t}{\frac{t^{2}-1}{2}}=\frac{2h}{t-1}\)，
得當 \(t=\sqrt{2}\) 即，\(\theta=\frac{\pi}{4}\) 時，\(s\) 有最小值 \(\frac{h}{\sqrt{2}-1}\)，此時三邊長為 \(\sqrt{2}h, \sqrt{2}h, 2h\)。
另外提供個人算的答案
1. \( \sqrt2 \)
2. (1) \( -\frac32 \) (2) \( \frac23 \sqrt{78} \)
3. \( -\frac18 \)
5. \( \frac12 \)
6. \( \frac12 \)
7. \( 2-\sqrt2 \) 或 \( 8 - 5\sqrt2 \)
8. 最小半周長 \( (\sqrt2+1)h \)，此時三邊長 \( \sqrt{2}h, \sqrt{2}h, 2h \)
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本帖最後由 tsusy 於 2014-4-12 09:54 PM 編輯 ]
