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2012-4-28 19:27

請各位老師指教XD

101.4.30版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 50分
取12名參加複試，錄取2名
66,64,60,56,55,55,55,53,52,51,50,50

其他，
40~49分 25人
30~39分 62人
20~29分 148人
10~19分 160人
0~9分   32人
缺考    20人

共計 459 人

2.

反例：\(\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} x+1\) ，

　　　\(a_3=1, f(1)=3,f(0)=1\) 皆為奇數，

　　　且 \(f(x)=0\) 有有理根 \(x=-1.\)

題目可能有其他條件限制(整數系數？)，我忘記了。不好意思XD

是整數係，不過很遺憾的，我漏看的 \( a_n \) 也是奇數的條件

在響鈴後，才看到...天丫 6 分 飛了

還有，計算第一題，題目有點小瑕疪，應該要加上 \( a,b,c,d \in R \)

不然取 \( a = d = \omega \), \( b=c=0\), \( \omega \) 為 \( x^3=1 \) 之虛根

那就會是反例，還有 \( A^3 =I_2 \) ，下標不小心打錯了

感謝老師補充，題目修正如下。

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2012-4-28 21:24

才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教

AB=0，若A不等於O ，好像不能推導出B=O。

引用:

原帖由 tacokao 於 2012-4-28 11:07 PM 發表
才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教

題目說
A=[a    b ] 不等於 I_2 ----------(*1)
    [c     d ]
好像以為a≠1 ,b≠0 ,c≠0,d≠1----------------(*2)
可是[ 2     0 ]的矩陣也是不等於I_2----------(*3)
        [ 0     2 ]
但是c=0 呀



那如果c=0,那證明就有問題了

我認為那不是誤會，應該說題目的本意就不是(*2)

因為實際上，只要 a,b,c,d 是實數，該命題，便成立

證明的話可以從最小多項式著手，去說明最小多項式不會是 1 次以下

再利用 \( A^3 =I \) 的條件，構造最小多項式。

但由於構造出來是一個二次多項式，

而由 Cayley-Hamilton 定理特徵多項式為 0 多項式，

二者次數階 2，因此特徵即最小多項式，

直接從定義計算 \( A \) 的特徵多項式，再比較係數，即得證。

以上，用了一些大學線性代數的內容，不過應該也算超出範圍

底下這樣證不知道有沒有問題，不過我在考試的時候沒有討論到b=0,c=0不合的情形。