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104.1.5補充
新竹高中公布部分試題解答h ttp://b001.hchs.hc.edu.tw/files/15-1001-7430,c403-1.php　(網址已失效)

若兩正數和滿足log9=log12=log16(+)，試求log52+2之值。
(103複賽口試-台南)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=808&page=1#pid1518


對任意正整數n，試證：n5−n必為30的倍數。
(103複賽口試-高雄市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1593&page=1#pid8065


請問整數102000010100+3 以十進位表示出來時的個位數字為何？其中[x]表示不大於x的最大整數。
(103複賽筆試(一)-中投)
類題https://math.pro/db/thread-708-1-1.html


設n是大於1的正整數且使得(315)n+(325)n為正整數，求所有n的可能值為何？
(103複賽筆試(一)-台南)

求所有的正整數n，使得(1085)n+(1475)n是正整數。
(建中通訊解題第76期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


袋中有黑白球各一顆，每次從袋中任取一球，取出的球不放回，但再放進一顆黑球，令an為第n次取到黑球的機率。
(1)寫出an的遞迴關係式。
(2)求an的一般式。
(103複賽筆試(一)-花蓮市)

如右圖，已知AM為ABC邊BC上的中線，任作一直線交AB，AC，AM於P,Q,N三點。求證：ABAPANAMACAQ成等差數列。
(103複賽筆試(一)-屏東)
(建中通訊解題第78期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


試求方程式x4+4x+4−x=421的所有實數解。
(103複賽筆試(一)-高雄市)

證明：對任意正實數abc，不等式a2+b2−3ab+b2+c2−bc+c2+a2−3ca3a 恆成立，並給出等號成立的充要條件。
(103複賽筆試(一)-新北市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371


如圖，ABCDE是半徑為1的半圓周上之相異點，其中AE為直徑。設AB=a，BC=b，CD=c，DE=d。試證：a2+b2+c2+d2+abc+bcd4。
(103複賽筆試(一)-臺北市)

103複賽筆試(一)-臺北市.gif (3.75 KB)

2015-1-6 21:05

[解答]初中數學競賽教程P296
連AC，DE。
∵∠B=180−∠AEC，
∴AC2=a2+b2−2abcosB=a2+b2+2abcos∠AEC  。
而2cos∠AEC=CEc(∵∠D是鈍角)
∴AC2a2+b2+abc。同理，CE2c2+d2+bcd。
再由勾股定理，得a2+b2+c2+d2+abc+bcdAC2+CE2=AE2=4。


對每一正整數n，f(n)+f(n+3)=n2恆成立，若f(93)=93，求 f(30) 。
(103複賽筆試(二)-中投)

袋子裡有5個紅球，6個白球，7個黑球，每次隨機抽出一球不放回，直到抽完袋中所有的球。求下列各事件的機率：
(1)最後抽出的球是紅色的。(2)紅球最先被抽完。
(103複賽筆試(二)-中投)

實數 \alpha 與 \beta 滿足方程式 \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=4 及 \beta^3-3\beta^2+5\beta=2 ，求 \alpha+\beta= ？
(103複試筆試(二)-台南)
[提示]
(\alpha-1)^3+2(\alpha-1)-1=0
(1-\beta)^3+2(1-\beta)-1=0

已知 x,y 是實數，且 \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} ，則 x+y= ？
(建中通訊解題第53期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


若 \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} ，求 x 的整數部分。
(103複賽筆試(二)-屏東)
類題https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


設 \alpha 、 \beta 為正整數，且 \displaystyle \frac{52}{303}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91} ，試求當 \beta 為最小時，則 \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} 的值為何。
(103複賽筆試(二)-高雄市)


設 \Delta ABC 中，最大角 A 為最小角 B 的2倍。若 \Delta ABC 三邊長為連續的正整數，則其三邊長的和為。
(103複賽筆試(二)-新竹市)
解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078


設 \displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2} ，求 \displaystyle \sum_{n=1}^{2014}f \left( \frac{n}{1007} \right) 。
(103複賽筆試(二)-嘉義)
[提示]
\displaystyle f(2-x)=\frac{2^{2-x}-2}{2^{2-x}+2}=\frac{2^{1-x}-1}{2^{1-x}+1}=\frac{2-2^x}{2+2^x}
\displaystyle f(x)+f(2-x)=0


已知 \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}} 為有理數，則此有理數為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
(建中通訊解題第88期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


已知 \Delta ABC 中， \overline{AB}=6 ， \overline{BC}=5 ， \overline{CA}=7 ； P 為其三邊上或內部的任一點， D,E 及 F 分別在 \overline{AB} 、 \overline{BC} 及 \overline{CA} 三邊上且 \overline{PD}⊥ \overline{AB} 、 \overline{PE}⊥ \overline{BC} 及 \overline{PF}⊥ \overline{CA} ；則 \overline{PD}+\overline{PE}+\overline{PF} 的最小值為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(104松山家商，https://math.pro/db/thread-2284-1-1.html)

108.5.18補充
長方體ABCDEFGH中，對角線\overline{CE}與不相鄰邊之距離分別為\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}，求此長方體體積。
(新北市口試試題)

一長方體的最長對角線，與不相鄰邊之距離分別為\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}，求此長方體體積。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)

引用:

原帖由 bugmens 於 2015-1-3 08:46 AM 發表
若兩正數 \alpha 和 \beta 滿足 log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) ，試求 \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} 之值。
(103複賽口試-台南)

對任意正整數 ...

好多考古題~(在歷屆教甄題目中)
出題老師要更用心~

請教:對所有整數n, n^5-n恆為30的倍數
怎麼證明?  我試用"歸納法",可是最後
不知如何證明k(k+1)(k+2)(k^2+2k+2)為30的倍數

謝謝

103. 高雄市口試

質因數分解 30 = 2 \times 3 \times 5

證明，該分解式分別被 2,3,5 整除即可。

2,3 的情況很容易證

而 5 的情況，以費馬小定理得證，或分成 n \equiv 0,1,2,3,4 (mod 5) 討論亦可

P.S. 麻煩補個分區題號，以方便以後的人查詢

對任意(正)整數 n ，試證：n⁵ - n
必為 30 的倍數。


n⁵ - n


= n (n⁴ - 1)


= (n-1) n (n+1) (n²+1)


= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)


= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)


必為 30 的倍數。

引用:

原帖由 cefepime 於 2015-1-9 08:16 PM 發表
對任意(正)整數 n ，試證：n⁵ - n
必為 30 的倍數。


n⁵ - n


= n (n⁴ - 1)


= (n-1) n (n+1) (n²+1)


= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)


= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)


必為 30 的倍數。



...

謝謝

(103複賽筆試(二)-臺北市)
首帖最後一題
小弟解法為座標化，但碰到一些問題，想請教版友
A擺在座標原點，\overline{AB}在正x軸
\overset{\longleftrightarrow }{AC}  直線方程: 2 \sqrt{6}x-5y=0        
\overset{\longleftrightarrow }{BC}  直線方程: 2 \sqrt{6}x+y-12\sqrt{6}=0   
\displaystyle \{P \in \{(x,y)| y=mx, 0\leq m \leq \frac{2\sqrt{6}}{5},0 \leq x \leq\frac{12\sqrt{6}}{m+2\sqrt{6}}\}  
d(P, \overline{AB} )=mx   
\displaystyle d(P,\overline{BC})=\frac{12\sqrt{6}-y-2\sqrt{6}x}{5}   
\displaystyle d(P,\overline{AC})=\frac{2\sqrt{6}x-5y}{7}               
所求=\displaystyle \frac{(3m-4\sqrt{6})x+84\sqrt{6}}{35}      如何最小化呢?

103複賽筆試(二)-臺北市 第四題

換一個想法，承 #8 坐標的想法，坐標化之後，三個距離 \overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF} 可以表示成 x,y 的一次式，其中 (x,y) 為 P 點之坐標 (由位置可去絕對值)

故此求極問題轉換後為線性規劃問題，僅需帶入三頂點，可得最大值、最小值分別為 \frac{6\sqrt{21}}{5}, \frac{6\sqrt{21}}{7} 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-1-10 01:28 PM 編輯 ]

請教:
袋中有黑白球各一顆，每次從袋中任取一球，取出的球不放回，但再放進一顆黑球，令an為第n次取到黑球的機率。
(1)寫出an的遞迴關係式。

答案是否為a_n=(3/4)a_(n-1)

謝謝