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103高中數學能力競賽

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103高中數學能力競賽

網頁http://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/103hsm/index.php?menu=exam

歷屆試題下載https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

104.1.5補充
新竹高中公布部分試題解答h ttp://b001.hchs.hc.edu.tw/files/15-1001-7430,c403-1.php (網址已失效)

附件

103高中數學能力競賽決賽試題.pdf (147.37 KB)

2015-1-3 08:45, 下載次數: 3158

103高中數學能力競賽-口試試題.zip (758.17 KB)

2015-1-3 08:45, 下載次數: 2675

103高中數學能力競賽-複賽筆試一試題.zip (1.09 MB)

2015-1-3 08:45, 下載次數: 2797

103高中數學能力競賽-複賽筆試二試題.zip (1.17 MB)

2015-1-3 08:45, 下載次數: 2800

103高中數學能力競賽-新竹區複賽試題.pdf (289.88 KB)

2015-1-5 17:18, 下載次數: 2632

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若兩正數\( \alpha \)和\( \beta \)滿足\( log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) \),試求\( \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} \)之值。
(103複賽口試-台南)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=808&page=1#pid1518


對任意正整數\( n \),試證:\( n^5-n \)必為\( 30 \)的倍數。
(103複賽口試-高雄市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1593&page=1#pid8065


請問整數\( \displaystyle \left[ \frac{10^{20000}}{10^{100}+3} \right] \)以十進位表示出來時的個位數字為何?其中\( [x] \)表示不大於\( x \)的最大整數。
(103複賽筆試(一)-中投)
類題https://math.pro/db/thread-708-1-1.html


設\( n \)是大於1的正整數且使得\( (31.5)^n+(32.5)^n \)為正整數,求所有\( n \)的可能值為何?
(103複賽筆試(一)-台南)

求所有的正整數\( n \),使得\( (108.5)^n+(147.5)^n \)是正整數。
(建中通訊解題第76期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


袋中有黑白球各一顆,每次從袋中任取一球,取出的球不放回,但再放進一顆黑球,令\( a_n \)為第\( n \)次取到黑球的機率。
(1)寫出\( a_n \)的遞迴關係式。
(2)求\( a_n \)的一般式。
(103複賽筆試(一)-花蓮市)

如右圖,已知\( \overline{AM} \)為\( \Delta ABC \)邊\( \overline{BC} \)上的中線,任作一直線交\( \overline{AB} \),\( \overline{AC} \),\( \overline{AM} \)於P,Q,N三點。求證:\( \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AP}},\frac{\overline{AM}}{\overline{AN}},\frac{\overline{AC}}{\overline{AQ}} \)成等差數列。
(103複賽筆試(一)-屏東)
(建中通訊解題第78期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


試求方程式\( \displaystyle x^4+4^x+4^{-x}=\frac{21}{4} \)的所有實數解。
(103複賽筆試(一)-高雄市)

證明:對任意正實數\( a,b,c \),不等式\( \sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-\sqrt{3}ca}\ge \sqrt{3}a \)恆成立,並給出等號成立的充要條件。
(103複賽筆試(一)-新北市)
類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371


如圖,\( A,B,C,D,E \)是半徑為1的半圓周上之相異點,其中\( \overline{AE} \)為直徑。設\( \overline{AB}=a \),\( \overline{BC}=b \),\( \overline{CD}=c \),\( \overline{DE}=d \)。試證:\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<4 \)。
(103複賽筆試(一)-臺北市)

[解答]初中數學競賽教程P296
連\( \overline{AC} \),\( \overline{DE} \)。
∵\( ∠B=180^{\circ}-∠AEC \),
∴\( \overline{AC}^2=a^2+b^2-2ab cos B=a^2+b^2+2ab cos ∠ AEC  \)。
而\( 2 cos ∠AEC=\overline{CE}>c \)(∵\( ∠D是鈍角 \))
∴\( \overline{AC}^2>a^2+b^2+abc \)。同理,\( \overline{CE}^2>c^2+d^2+bcd \)。
再由勾股定理,得\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<\overline{AC}^2+\overline{CE}^2=\overline{AE}^2=4 \)。


對每一正整數\( n \),\( f(n)+f(n+3)=n^2 \)恆成立,若\( f(93)=93 \),求\( f(30) \)。
(103複賽筆試(二)-中投)

袋子裡有5個紅球,6個白球,7個黑球,每次隨機抽出一球不放回,直到抽完袋中所有的球。求下列各事件的機率:
(1)最後抽出的球是紅色的。(2)紅球最先被抽完。
(103複賽筆試(二)-中投)

實數\( \alpha \)與\( \beta \)滿足方程式\( \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=4 \)及\( \beta^3-3\beta^2+5\beta=2 \),求\( \alpha+\beta= \)?
(103複試筆試(二)-台南)
[提示]
\( (\alpha-1)^3+2(\alpha-1)-1=0 \)
\( (1-\beta)^3+2(1-\beta)-1=0 \)

已知\( x,y \)是實數,且\( \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} \),則\( x+y= \)?
(建中通訊解題第53期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \),求\( x \)的整數部分。
(103複賽筆試(二)-屏東)
類題https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


設\( \alpha \)、\( \beta \)為正整數,且\( \displaystyle \frac{52}{303}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91} \),試求當\( \beta \)為最小時,則\( \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \)的值為何。
(103複賽筆試(二)-高雄市)


設\( \Delta ABC \)中,最大角\( A \)為最小角\( B \)的2倍。若\( \Delta ABC \)三邊長為連續的正整數,則其三邊長的和為。
(103複賽筆試(二)-新竹市)
解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078


設\( \displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2} \),求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{2014}f \left( \frac{n}{1007} \right) \)。
(103複賽筆試(二)-嘉義)
[提示]
\( \displaystyle f(2-x)=\frac{2^{2-x}-2}{2^{2-x}+2}=\frac{2^{1-x}-1}{2^{1-x}+1}=\frac{2-2^x}{2+2^x} \)
\( \displaystyle f(x)+f(2-x)=0 \)


已知\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}} \)為有理數,則此有理數為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
(建中通訊解題第88期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


已知\( \Delta ABC \)中,\( \overline{AB}=6 \),\( \overline{BC}=5 \),\( \overline{CA}=7 \);\( P \)為其三邊上或內部的任一點,\( D,E \)及\( F \)分別在\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)及\( \overline{CA} \)三邊上且\( \overline{PD}⊥ \overline{AB} \)、\( \overline{PE}⊥ \overline{BC} \)及\( \overline{PF}⊥ \overline{CA} \);則\( \overline{PD}+\overline{PE}+\overline{PF} \)的最小值為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(104松山家商,https://math.pro/db/thread-2284-1-1.html)

108.5.18補充
長方體\(ABCDEFGH\)中,對角線\(\overline{CE}\)與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\),求此長方體體積。
(新北市口試試題)

一長方體的最長對角線,與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\),求此長方體體積。
(108新北市高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)

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引用:
原帖由 bugmens 於 2015-1-3 08:46 AM 發表
若兩正數\( \alpha \)和\( \beta \)滿足\( log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) \),試求\( \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} \)之值。
(103複賽口試-台南)

對任意正整數 ...
好多考古題~(在歷屆教甄題目中)
出題老師要更用心~

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回復 2# bugmens 的帖子

請教:對所有整數n, n^5-n恆為30的倍數
怎麼證明?  我試用"歸納法",可是最後
不知如何證明k(k+1)(k+2)(k^2+2k+2)為30的倍數

謝謝

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回復 4# arend 的帖子

103. 高雄市口試

質因數分解 \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

證明,該分解式分別被 2,3,5 整除即可。

2,3 的情況很容易證

而 5 的情況,以費馬小定理得證,或分成 \(n \equiv 0,1,2,3,4 \) (mod 5) 討論亦可

P.S. 麻煩補個分區題號,以方便以後的人查詢
文不成,武不就

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對任意(正)整數 n ,試證:n⁵ - n
必為 30 的倍數。



n⁵ - n


= n (n⁴ - 1)


= (n-1) n (n+1) (n²+1)


= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)


= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)


必為 30 的倍數。



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引用:
原帖由 cefepime 於 2015-1-9 08:16 PM 發表
對任意(正)整數 n ,試證:n⁵ - n
必為 30 的倍數。


n⁵ - n


= n (n⁴ - 1)


= (n-1) n (n+1) (n²+1)


= (n-1) n (n+1) (n²-4+5)


= (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)


必為 30 的倍數。



...
謝謝

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(103複賽筆試(二)-臺北市)
首帖最後一題
小弟解法為座標化,但碰到一些問題,想請教版友
A擺在座標原點,\(\overline{AB}\)在正x軸
\( \overset{\longleftrightarrow }{AC}  \)直線方程: \(2 \sqrt{6}x-5y=0        \)
\(\overset{\longleftrightarrow }{BC}  \)直線方程: \( 2 \sqrt{6}x+y-12\sqrt{6}=0    \)
\(\displaystyle \{P \in \{(x,y)| y=mx, 0\leq m \leq \frac{2\sqrt{6}}{5},0 \leq x \leq\frac{12\sqrt{6}}{m+2\sqrt{6}}\}  \)
\(d(P, \overline{AB} )=mx   \)
\(\displaystyle d(P,\overline{BC})=\frac{12\sqrt{6}-y-2\sqrt{6}x}{5}   \)
\(\displaystyle d(P,\overline{AC})=\frac{2\sqrt{6}x-5y}{7}                \)
所求=\(\displaystyle \frac{(3m-4\sqrt{6})x+84\sqrt{6}}{35}   \)   如何最小化呢?

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回復 8# 瓜農自足 的帖子

103複賽筆試(二)-臺北市 第四題

換一個想法,承 #8 坐標的想法,坐標化之後,三個距離 \( \overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF} \) 可以表示成 \( x,y \) 的一次式,其中 \( (x,y) \) 為 \( P \) 點之坐標 (由位置可去絕對值)

故此求極問題轉換後為線性規劃問題,僅需帶入三頂點,可得最大值、最小值分別為 \( \frac{6\sqrt{21}}{5}, \frac{6\sqrt{21}}{7} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-1-10 01:28 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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請教:
袋中有黑白球各一顆,每次從袋中任取一球,取出的球不放回,但再放進一顆黑球,令an為第n次取到黑球的機率。
(1)寫出an的遞迴關係式。

答案是否為a_n=(3/4)a_(n-1)

謝謝

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