政大附中掃描決賽總報告的題目
https://www.ahs.nccu.edu.tw/ischool/publish_page/3/?cid=2811

有一個半徑為6的實心球，其球心為(00221)；另有一個半徑為29的實心球，其球心為(001)。則兩球相交的區域內部共有　　　個格子點(坐標皆為整數的點)。

在密碼學中，我們將26個英文字母按順序分別對應整數0~25，例如：ABC對應0,1,2，Z對應25。現有4個英文字母構成的密碼單詞，這個單詞字母由左而右分別對應整數x1x2x3x4。已知：x1+2x23x2x3+2x47x4除以26的餘數分別為916232。則此密碼的單詞是　　　。
(97師大附中，https://math.pro/db/thread-743-1-1.html)

有一個直圓柱量筒，平放在桌面上，其底面直徑為4公分，現將3個直徑為2公分的鐵球放進量筒中，再將水注入量筒中，直到3個鐵球全部沒入水中，則量筒中水位高至少為　　　公分。

在空間座標中有一光源位於(022)，將xz平面上的圓：x2+(z−1)2=1，y=0照射在xy平面上，試問這個圓的所有的影像構成何種曲線？其方程式為何？
https://math.pro/db/thread-674-1-1.html

正方形ABCD內一點P滿足PA=3PB=23PD=6 ，求正方形ABCD的面積。
(99萬芳高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2220)

若=sin320−sin20=sin340−sin40=sin380−sin80，試求+−之值。

試證：1cos0cos1+1cos1cos2+1cos2cos3++1cos88cos89=cos1sin21

111.7.2補充
設f(x)為一個五次實係數多項式，如果f(x)+1能被(x−1)3整除，且f(x)−1能被(x+1)3整除，試求滿足上述條件之所有可能多項式f(x)。
[解答]
因為f(x)+1能被(x−1)3整除，且f(x)−1能被(x+1)3整除，可令f(x)−1=(x+1)3q(x)，其中q(x)為一實係數多項式。
所以f(-x)-1=(-x+1)^3q(-x)=-(x-1)^3q(-x)，
因此(x-1)^3|\;[f(x)+1]+[f(-x)-1]\Rightarrow (x-1)^3|\;f(x)+f(-x)
同理可證：(x+1)^3|\;f(x)-1，(x+1)^3|\;f(-x)-1\Rightarrow (x+1)^3|\;f(x)+f(-x)
所以(x+1)^3(x-1)^3|\; f(x)+f(-x)。
但deg f(x)=5\Rightarrow deg[f(x)+f(-x)]\le 5\Rightarrow f(x)+f(-x)=0
因此可得f(x)的偶數項係數為0。
令f(x)-1=(x+1)^3(ax^2+bx+c)=(x^3+3x^2+3x+1)(ax^2+bx+c)
=ax^5+(3a+b)x^4+(3a+3b+c)x^3+(a+3b+3c)x^2+(b+3c)x+c
又\displaystyle c=-1\Rightarrow a=-\frac{3}{8},b=\frac{9}{8}\Rightarrow f(x)=-\frac{3}{8}x^5+\frac{5}{4}x^3-\frac{15}{8}x。

f(x)是一五次多項式函數，若(x-1)^3|\; f(x)+1、(x+1)^3 |\; f(x)-1，試求f(3)。
(107武陵高中，https://math.pro/db/thread-2948-1-1.html)
(107高雄女中，https://math.pro/db/thread-2953-1-1.html)

此密碼的單詞是HOPE

這有公式的。
正方形ABCD內有一點P，P到頂點A,B,C,D的距離分別是a,b,c,d，正方形面積為X，則
①a²+c²=b²+d²
② 2X²-2(b²+d²)X+(a²-b²)²+(a²-d²)²=0
此題正方形的面積為9+5√3