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102高中數學能力競賽

102高中數學能力競賽

2.
連續投擲一公正的骰子,直到點數1出現7次才停止。若出現的點數1其前後出現的點數都不是1時,我們稱這種1點為「孤立1」。例如:當投擲出現的點數依序為1,2,1,1,5,4,1,6,6,1,1,1時,其中投擲的第1次及第7次所出現的點數1都是「孤立1」。設隨機變數X表示投擲中出現「孤立1」的次數。則X的期望值為  

3.
已知正數xyz滿足x2+y2+2z2=10xy+3z 的最大值為  

出自102高中數學能力競賽複賽筆試(二)-北三區(新竹高中)試題


106.7.22
補上102高中數學能力競賽完整試題

106.7.24
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內,放置一顆半徑為1單位的黃球,然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求:小紅球的最大半徑為   單位。
提示
(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid4541)

108.5.18補充
a=777(有2013個7),試求a的末兩位數為   
(北二區(新竹高中)筆試二試題)

777總共2019個7,請問此數除以100的餘數為   
(108新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html)

109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈,每晚會點亮其中一種燈,且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈,則第6晚也點亮紅色燈的機率為   (以最簡分數表示)。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設集合A=123102共102個數,BC為另2個集合,滿足BC=A,則這樣的(BC)共有   
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內,放置一顆半徑為1單位的黃球,然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求:小紅球的最大半徑為   單位。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

附件

102高中數學能力競賽決賽.zip (615.71 KB)

2017-7-22 16:23, 下載次數: 12888

102高中數學能力競賽複賽口試.zip (531.86 KB)

2017-7-22 16:29, 下載次數: 12565

102高中數學能力競賽複賽筆試一.zip (1.3 MB)

2017-7-22 16:29, 下載次數: 12612

102高中數學能力競賽複賽筆試二.zip (966.92 KB)

2017-7-22 16:29, 下載次數: 13559

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回復 1# cally0119 的帖子

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試解第一題,請 指教。


就每次試驗而言,出現7個"1"是必然的。我們以這7個"1"為主角思考: 某個"1"是否為"孤立1",取決於其前後是否出現"非1"。
進一步而言,對於第一個與第七個"1",若且唯若其後面/前面為"非1",其成為"孤立1" (機率 = 5/6)。而中間五個"1",若且唯若前後皆為"非1",則成為"孤立1" (機率 = (5/6)²)。


利用期望值具有"和"的性質,所求期望值為:


2*(5/6) + 5*(5/6)² = 185/36 (次)







[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-10-25 12:15 PM 編輯 ]

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補個出處:

102 學年度台灣省北三區 (新竹高中) 高級中學數理及資訊學科能力競賽

http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html

多喝水。

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第一題另外的想法:


考慮 n≥2,當要求"點數1"由出現 n 次增為出現 (n+1) 次時,X的期望值將增加 5/6 - (1/6)*(5/6) = 25/36 (次)


說明: 緊接第 n 次"點數1",若為"非1" (機率 = 5/6),則X增加1; 而若為"1",則X可能不變(當第 n 次"點數1"之前緊接 "點數1"時),或減1(當第 n 次"點數1"之前不緊接 "點數1"時:  機率 = (1/6)*(5/6))。


因此,所求期望值為(由n=2出發):

2*(5/6) + 5*(25/36) = 185/36 (次)





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謝謝各位高手的提點,有方向了!!

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回復 3# cefepime 的帖子

cefepime 兄這個解法實在是太高妙了

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102高中數學能力競賽

老師們好,
想再請教一題高中學科能力競賽102年北三區新竹高中的題目。
x=23+13 ,則x10+x6+x4+1x10+x8+x2+1之値為   
化簡到x2=3x+1代入替換,可是這樣要做很久,想請問老師們有沒有更快的解法呢?謝謝。

102高中數學能力競賽題目下載
http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html

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x=23+13x33x1=0xx1=3 

x+x1=xx12+4=13 

x2+x2=xx12+2=11 

x3+x3=x+x133xx1x+x1=1013 

x5+x5=x3+x3x2+x2x+x1=10913 

所求=x10+x6+x4+1x10+x8+x2+1=x5+x+x1+x5x5+x3+x3+x5=110119

多喝水。

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回復 1# ycdye 的帖子

\begin{align}   & {{x}^{2}}=3x+1 \\ & x-\frac{1}{x}=3 \\ & {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=11 \\ & {{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}=119 \\ &  \\ & \frac{{{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{10}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+1} \\ & =\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{8}}+1 \right)}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{6}}+1 \right)} \\ & =\frac{{{x}^{8}}+1}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)} \\ & =\frac{{{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}}{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( {{x}^{2}}-1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)} \\ & =\frac{119}{110} \\ \end{align}

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