求x2+3xy+194(x+y)+972=0的所有整數解(x,y)

100.10.1版主補充
補上完整的題目並更改文章標題

98高中數學能力競賽
https://math.pro/db/thread-911-1-1.html
97高中數學能力競賽
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

100.11.2補充
99學年度高級中學數學科能力競賽決賽
連結已失效h ttp://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/index.php

題目：求 x2+3xy+194(x+y)+972=0 的所有整數解 (xy) 。

※　原題目有 =0。

解答：

x2+3xy+297(x+y)+972=0

先利用雙十字交乘法（先不考慮常數項，找出分解後 xy 的係數，然後再調整適當的常數項）分解成如下：

x+9732x+3y+9734=−972+97298 

3x+9723x+9y+974=−972 

因為 xy 為整數，所以左邊的兩個括弧都是整數，

因為 97 是質數，所以右邊的 −972 分解成兩整數相乘只有六種可能性，

分成六種情況解聯立方程式，可得有三組是 xy 兩者都是整數解的，

也就是 (xy)=(−970)(−651024) 或 (−32011024)



註：感謝老王老師於後方回覆中提醒我漏算的兩組！

我懂了~謝謝瑋岳老師的指教

還有(-65,1024)和(-3201,1024)

感謝，馬上修改＆加上漏掉的兩組！^__^

若二實數a與b滿足a3−3ab2=18與3a2b−b3=26，則a2+b2之值為？

Let abR s.t. a3−3ab2=29 and b3−3a2b=34. Compute a2+b2.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=253206


設數列an滿足，a1=3且2an+1=a2n−2an+4，n=234，求100i=11ai 之值為何？
([x]：表不大於x的最大整數)
(屏東區筆試二試題)
收錄到我的教甄準備之路　裂項相消
連結已失效h ttps://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
[提示]
2an+1=a2n−2an+4　，　2(an+1−2)=an(an−2)　，　1an+1−2=2an(an−2)
1an+1−2=1an−2−1an　，　1an=1an−2−1an+1−2

108.5.18補充
求21+222+323+424+之值。
(嘉義區複賽筆試二試題)


拋物線 y=x^2 上的兩點P、Q，在P、Q兩點的切線設為 L_1、L_2 ，如果 L_1、L_2 互相垂直，試證明： L_1 與 L_2 的交點落在準線上。
台南區筆試二試題
其他類似題目
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html


104.7.5補充
已知 \alpha>0 ，且 \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} 為一正整數，求 \alpha= ？
(104新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)


108.5.18補充
將長與寬分別為a,b(a>b)的長方形紙張ABCD沿著AC對摺，求對摺後的B點與D點的距離。
(嘉義區複賽筆試二試題)
對摺到同一平面上

將一塊邊長\overline{AB}=a公分(a>0)、\overline{BC}=b公分(b>0)的長方形鐵片ABCD沿對角線\overline{BD}對摺後豎立，使得平面ABD與平面CBD垂直，則A、C兩點(在空間)的距離\overline{AC}=　　　。
(107松山工農，https://math.pro/db/thread-2972-1-2.html\)
豎立成90^{\circ}

1. 設x,y,z,w 是四個不全為0的實數, 則(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值為______。Ans: [sqrt(2)+1]/2

2. 設甲乙丙三人共同負責12/1到12/10這10天中任意5天的工作，可以一人單獨值班，也可以兩人或三人一起值班，若
   確定甲單獨在12/1值班，而乙確定在12/10值班，則他們三人共有____ 不同的值班安排方式。  Ans:76832

第 1 題：

設 0\leq b\leq1, 0\leq c\leq1，

由算幾不等式，可得

x^2 + by^2 \geq 2 \sqrt{b}\cdot xy

(1-b)y^2+cz^2 \geq 2 \sqrt{(1-b)c}\cdot yz

(1-c)z^2 + w^2 \geq 2 \sqrt{(1-c)}\cdot zw


取 b,c 滿足 \displaystyle\frac{\sqrt{b}}{1} = \frac{\sqrt{(1-b)c}}{2} = \frac{\sqrt{1-c}}{1}

\displaystyle\Rightarrow b=\frac{(1-b)c}{4}=1-c

解得 b=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2,c=2(\sqrt{2}-1)


將滿足此條件的 b,c 帶入最上方列的三個不等式，再將三式相加，可得

\displaystyle x^2+y^2+z^2+w^2\geq 2(\sqrt{2}-1)xy+4(\sqrt{2}-1)yz+2(\sqrt{2}-1)zw

\displaystyle\Rightarrow \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2}\leq\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}

ps. 這招是之前在某篇ＰＯ文裡看老王老師跟 bugmens 老師有用過的，但是一時忘了到底是哪一篇ＰＯ文。

第 2 題：

先從 12/2 到 12/9 這八天中選出另外要輪值的三天，取法有 C^8_3 種



12/1 甲單獨值班，只有一種排班法，



對於另外選出來的三天中的每一天，三人都可以「參加」或「不參加」值班，但不可以三人都不參加，

所以這三天的每一天都有 2^3-1=7 種輪值的方法，



12/10 已知乙一定要值班，另兩人可以選擇「參加」或「不參加」值班，因此這天有 1\times2\times2=4 種排班法，



因此，所求＝C^8_3\cdot1\cdot7^3\cdot4=76832 種。

x,y,z 為正實數，則 \displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2} 的最小值為？
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)
(100臺北市陽明高中，https://math.pro/db/thread-1130-1-2.html)


設 x,y,z,w 是非零實數，求 \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} 的最大值
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)

奧數教程高一第6講函數的最大值和最小值.gif (46.77 KB)

2012-3-1 18:52