基女試題

一、填充題
4.
平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)　　　。

已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
(105全國聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288)

9.
設\(z\)為複數，且\(z\)為方程式\(x^5+x^4+1=0\)的根，則滿足\(|\;z|\;=1\)的所有根之和為　　　。

112武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3731&page=1#pid24860

12.
設\([\;x ]\;\)表示不超過\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2^1}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2024}}{3}\right]\)的末兩位數為　　　。

連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268

證明題
1.
設平面四邊形ABCD的四邊長\(a=AB,b=BC,c=CD,d=DA\)，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若\(a,b,c,d\)為四個連續的正整數。證明：四邊形\(ABCD\)面積的最大值不為整數。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

想請教版上老師
填充7、11
謝謝!

7. 作法偏硬幹
假設\(\displaystyle \vec a =(2,0,0), \vec b =(\displaystyle \frac{3}{2},\frac{3}{2}\sqrt{3},0), \vec c =(2,\frac{2}{3}\sqrt{3},\frac{4}{3}\sqrt{6})\)

令\(\displaystyle \vec u=(p,q,r), \vec v= (x,y,z)\)

因為\(\displaystyle \vec u \perp (\vec u +\vec a -\vec b) \Rightarrow (p,q,r) \cdot (p+\frac{1}{2},q-\frac{3}{2}\sqrt{3},r)=0\)
同理\(\displaystyle \vec v \perp (\vec v +\vec a-\vec c) \Rightarrow (x,y,z) \cdot (x,y-\frac{2}{3}\sqrt{3},z-\frac{4}{3}\sqrt{6})=0\)

故\(\displaystyle (p,q,r)\)的軌跡為球體 : \(\displaystyle (p+\frac{1}{4})^2+(q-\frac{3}{4}\sqrt{3})^2+r^2=\frac{7}{4}\)
\(\displaystyle (x,y,z)\)的軌跡為球體 : \(\displaystyle x^2+(y-\frac{1}{3}\sqrt{3})^2+(z-\frac{2}{3}\sqrt{6})^2=3\)

所求為兩球體的動點之距離最大值
故答案為球心距離加上兩個半徑為\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{7}+\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{13}\)

填充11.
解答如附件。

請問老師的三個向量假設是怎麼出現靈感的？好神奇！

第七題

謝謝老師們的回覆!

想請教老師們填充3與計算3
謝謝

回答你的第一個向量假設的問題
把ab兩向量先放在xy平面上去假設，之後很簡單就可以算出c向量

計算3
假設\(\displaystyle P(a,b), L=mx-y=0\)
\(P\)對\(L\)的投影點為\(\displaystyle P'(\frac{a+bm}{m^2+1},\frac{bm^2+am}{m^2+1})\)

\(\displaystyle \overline{PP'}\)的中點為\(\displaystyle M(\frac{a(m^2+2)+bm}{2m^2+2},\frac{am+b(2m^2+1)}{2m^2+2})\)

題意為矩陣\(T\)將\(P\)轉換到\(M\)
可以得出\(\displaystyle T=
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{m^2+2}{2m^2+2} & \frac{m}{2m^2+2}\\
\displaystyle \frac{m}{2m^2+2} & \frac{2m^2+1}{2m^2+2}
\end{bmatrix}\)


想順帶一問
文字敘述，符號皆不變，如果題目改成\(T\)是一個線性變換矩陣，將\(P\)換成\(P'\)，使得\(d(P,L)=2d(P',L)\)
是否應該追加一個答案
\(\displaystyle T=
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{1}{m^2+1} & \frac{m}{m^2+1}\\
\displaystyle \frac{m}{m^2+1} & \frac{m^2}{m^2+1}
\end{bmatrix}\)
最一開始想到的是可能有兩種情形，但題目要的「步驟順序」是第一種答案

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2024-1-9 09:29 編輯 ]