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101 台中一中

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101 台中一中

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101.4.29版主補充
以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 47分
取13名參加複試,錄取2名
61,61,55,55,52,52,51,51,49,48,48,47,47

其他,

40~46分 18人
30~39分 42人
20~29分 73人
10~19分 67人
0~9分   36人

共計 249 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-29 03:46 PM 編輯 ]

附件

數學科試題及解答.pdf (122.85 KB)

2012-4-29 08:51, 下載次數: 11038

101台中一中初試成績.rar (95.21 KB)

2012-4-29 15:45, 下載次數: 9140

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1.
計算\( \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^4 \)之值。
[解答]
\( f(0)=0 \),\( f(1)=1 \),\( f(2)=1^4+2^4=17 \),\( f(3)=1^4+2^4+3^4=98 \),\( f(4)=1^4+2^4+3^4+4^4=354 \)
\( f(5)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4=979 \),\( f(6)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4=2275 \)

\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 17 & & 98 & & 354 & & 979 & & 2275 \cr
& 1 & & 16 & & 81 & & 256 & & 625 & & 1296 & \cr
& & 15 & & 65 & & 175 & & 369 & & 671 & & \cr
& & & 50 & & 110 & & 194  & & 302 & \cr
& & & & 60 & & 84 & & 108 & & \cr
& & & & & 24 & & 24 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+15 \times C_2^n+50 \times C_3^n+60 \times C_4^n+24 \times C_5^n \)

5.
設\( x,y,z \in R \),且\( x+y+z=2 \),\( x^2-yz=4 \),求\( xy+3yz+zx \)的最大值。

已知x、y、z為實數,且\( x+y+z=2 \),\( 2x^2-yz=4 \),若\( xy+yz+zx \)之最大值為M,最小值為m,求數對\( (M,m)= \)?
(100建國中學二招)

6.
△ABC,\( ∠C=90^o \),\( \overline{AB} \)邊上的三等分點D,E,且\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \),已知\( \overline{CD}=3 \),\( \overline{CE}=4 \),求\( \overline{AC} \)。

直角△ABC中,\( ∠C=90^o \),\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)。已知\( \overline{CD}=7 \),\( \overline{CE}=9 \),則\( \overline{DE}= \)?
(高中數學101 P129)

△ABE中,\( ∠BAE=90^o \),C、D為邊\( \overline{BE} \)上的三等分點,令\( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=a \),\( \overline{AC}=7 \),\( \overline{AD}=9 \),求a?
(99育成高中,https://math.pro/db/redirect.php?tid=1094)

三角形ABC中,\( ∠C=90^o \),D、E為\( \overline{AB} \)之三等分點,且\( \overline{CD}=sinX \),\( \overline{CE}=cosX \),\( 0^o<X<90^o \),\( \overline{AB}= \)?
(97全國高中聯招)

7.
△ABC,若\( \vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{0} \),且\( \overline{PA}=3 \),\( \overline{PB}=4 \),\( \overline{PC}=5 \),求△ABC的面積。

已知三角形三中線分別為10,12,14,則此三角形的面積為多少?
(A)\( 32 \sqrt{6} \) (B)\( 30 \sqrt{5} \) (C)\( 36 \sqrt{3} \) (D)\( 40 \sqrt{2} \)
(99南台灣國中聯招)

已知△ABC的三條中線長為7,8,9,則△ABC的面積?
(100高師大附中,https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html)

10.
在圓上任取12個點,兩兩相連所得的直線,最多將此圓內區域分割成為幾個區域。

11.
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \),\( \forall n \ge 2 \),求一般項\( a_n \)(以n表示)。

這類題目還不會算嗎?趕快去數學傳播找那篇文章來看吧
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

12.
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \),當\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} \)有最小值時,求此時\( log_2(tanx) \)值。

若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{32}{\sqrt{cosx}} \)的最小值?
(96台南女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24076)
(我的教甄準備之路-廣義的科西不等式,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

13.
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發,設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為\( P_n \)。求滿足\( \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} \)之最小n值。

一隻青蛙在ABCDE五點上跳動,每次落點異於跳點,假設從A出發,跳n次後仍回到A之跳法有\( a_n \)種,若\( a_n=k a_{n-1}+m a_{n-2} \) \( (n \ge 3) \),k,m為常數,求數對\( (k,m)= \)?
(99台中一中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=2#pid2318)

14.
將n顆球,全部投入5個箱中,每球投入每箱的機率均為0.2,若已知空箱期望值小於0.1,求n最小值。
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html

15.
正整數a,b,c滿足\( a \cdot b \cdot c=420 \),考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \),問集合S的所有可能有幾種。

感謝thepiano提供解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2786

設a,b,c為相異正整數,則滿足\( abc=2310 \)之集合S={a,b,c}有幾個?
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32 (B)36 (C)40 (D)43 (E)45
(1995AMC12,高中數學101 P4,95台中家商,97家齊女中)

求\( xyz=360 \)有幾組整數解?
(99文華高中,https://math.pro/db/thread-924-1-5.html)

18.
考慮正整數n的所有正整數分割,將其分割乘積的最大值定義為\( f(n) \),
[例:\( 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 \),
( \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \) )<( \( 2 \times 1 \times 1 \) )<( \( 3 \times 1 \) )<( \( 2 \times 2 \) )=(4),
得\( f(4)=4 \)]。問\( f(2012) \)(以十進位表示)是幾位數。

將2008分解成一些正整數之和,使得這些正整數之乘積有最大值,求這最大值,並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

20.
實係數多項式\( f(x) \),若\( deg f(x)=2010 \),且\( \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} \),\( \forall k=1,2,3,...,2011 \),求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; \)值。
更多相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 10:26 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 t3712 於 2012-4-29 08:51 AM 發表
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1016
#20
答案應該是 -2吧
我還有用數學軟體驗算過
還有不明白題目為什麼要加deg f(x)=2010這條件?

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回復 3# Ellipse 的帖子

20 題

用巴貝琪定理,所求即為 \( f(2013) \) (有沒有差負,和它不熟)

給 2011 個值, deg 2010 ,恰好能唯一決定,該多項式,否則就不唯一唯了

橢圓兄是否題目看錯了什麼,Sigma 中有一項有 \( f(2012) \) 是題目沒給的

應該無法直接用軟體驗算
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-29 10:06 AM 發表
20 題

用巴貝琪定理,所求即為 \( f(2013) \) (有沒有差負,和它不熟)

給 2011 個值, deg 2010 ,恰好能唯一決定,該多項式,否則就不唯一唯了

橢圓兄是否題目看錯了什麼,Sigma 中有一項有 \( f(2012) \) 是題目沒給的

應該 ...
對喔! 剛剛有看到了
f(2012)沒有給
感謝您~

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回復 5# Ellipse 的帖子

補上計算...

\( xf(x)=2x+1\Rightarrow g(x)=xf(x)-(2x+1)=c\prod_{k=1}^{\infty}(x-k)\Rightarrow f(x)=\frac{c\prod_{k=1}^{2011}(x-k)+1}{x}+2 \), for \( x\neq 0\)

又 f 在 0 連續,所以 \( c=\frac{1}{2011!} \)

由差分,或巴貝琪定理,所求即 \( -f(2013)=-\frac{\frac{1}{2011!}2012!+1}{2013}-2=-1-2=-3 \)

有計算錯誤的話,麻煩指正一下

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-4-29 10:21 AM 編輯 ]
文不成,武不就

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#16
假設在一個圓內以圓心O向外(輻射狀)做出n個扇形(不重疊,且將圓分割完),
題目的p(n)相當於用6種不同顏色塗上述n個區域,相鄰區域塗不同顏色的機率

p(n)= [(6-1)^n +(-1)^n*(6-1)]/6^n = [5^n +5*(-1)^n*]/6^n
6*p(n+1)=[5^(n+1) +5*(-1)^(n+1)]/6^n
所求=p(n)+6*p(n+1)
=6*5^n / 6^n
=5^n/6^(n-1)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:33 PM 編輯 ]

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#18
假設a1+a2+.......+an=2012
可以證明ai(i=1,2,.....n)用2或3乘積最大(用其它正整數,乘積不會有最大值)
又2+2+2=3+3
但是2*2*2<3*3
用三個2與兩個3其和不變,但用兩個3乘積變大
所以2的數量不會超過兩個
又2012/3=670......2
因此將2012寫成3+3+..............+3+2 (3有670個)
則A=2*3^670乘積最大
LogA=Log2 +670*Log3=319........
所以A為319+1=320位數

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:49 PM 編輯 ]

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1~21解法(缺17,19)

[ 本帖最後由 shiauy 於 2012-5-5 09:54 PM 編輯 ]

附件

101台中一中.pdf (452.21 KB)

2012-5-5 21:54, 下載次數: 12824

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計算題我只會四種課本兩種,
第一,用兩個參數,然後分別與兩線方向內積為0,聯立求解。
第二,找一個包含L1且與L2平行的平面,然後變成求點到平面距離。
啊!!不是徐氏,是陸思明教的
第三種,在L1和L2上各取一點A和B,外積求兩直線公垂向量,距離即是AB向量在公垂方向的正射影長。

第四種,只設一個參數,然後計算到另一條直線的距離,找最小值。

有人可以教教還有其他方法嗎??
難道要用雙變數微積分??

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-29 10:28 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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