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高中數學一題(三倍角公式的應用)

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高中數學一題(三倍角公式的應用)

求滿足方程式
  y = 4(x^3)  - 3x
{ z = 4(y^3)  - 3y   的實數 x,y,z.
  x = 4(z^3)  - 3z

答案為(x,y,z) = (cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ )  ,   a = kπ/13 或 kπ/14   k = 0 ,1,2,....13

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三倍角公式
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
假設x=cosΘ (但問題是,x的範圍限制在-1和1之間嗎?)
則可推得x,y,z之值分別為cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ
但最後一個式子得到 x=cos 27Θ=cosΘ
解出Θ即可
這是其中一組解
應該還有其他組~~!?

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求滿足方程組\( \displaystyle \cases{y=4x^3-3x \cr z=4y^3-3y \cr x=4z^3-3z} \)的實數\( (x,y,z) \)。
(北京市1990年奧賽集訓題)
分析:
方程組中的每一個方程式類似於三倍角公式\( cos 3 \alpha=4 cos^3 \alpha-3 cos \alpha \)。這就給我們提供了數學模型,但\( |\; x |\; \)、\( |\; y |\; \)、\( |\; z |\; \)均不能大於1。

解:
若\( |\; x |\;>1 \),由\( y=4x^3-3x=x^3+3x(x^2-1) \),知\( |\; y |\; > |\; x |\; \),同理\( |\; z |\;>|\; y |\; \),\( |\; x |\;>|\; z |\; \),則互相矛盾,所以\( |\; x |\; \)、\( |\; y |\; \)、\( |\; z |\; \)均小於等於1,設\( x=cos \theta \),\( \theta \in \left[ 0, \pi \right] \),則原方程式可化為\( \displaystyle \cases{y=cos 3 \theta \cr z=cos 9 \theta \cr x=cos 27 \theta} \)即\( cos \theta=cos 27 \theta \)。
解方程式\( cos \theta-cos 27 \theta=0 \)。\( sin 13 \theta sin 14 \theta=0 \)。\( sin 13\theta=0 \)或\( sin 14\theta=0 \),\( \displaystyle \theta=\frac{k \pi}{13} \),\( k=0,1,2,\ldots,13 \),\( \displaystyle \theta=\frac{k \pi}{14} \),\( k=1,2,\ldots,13 \)。
∴\( (x,y,z)=(cos \theta,cos 3 \theta,cos 9 \theta) \)共27個解。


103.8.7補充類題
這些都是輪換的聯立方程式,可是解法卻差很多,你能否比較其中的差異呢?
為什麼前面的題目知道用三角函數代換,而接下來的題目卻不用?那你能不能判斷什麼時候要用三角函數什麼時候不用?不用三角函數的話還有什麼方法可以解這類聯立方程式?
若\( \displaystyle \cases{x=\frac{12z^2}{1+36z^2} \cr y=\frac{12x^2}{1+36x^2} \cr z=\frac{12y^2}{1+36y^2}} \),則\( x+y+z= \)
(101中正高中,https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

解方程組\( \displaystyle \cases{1+x^2=2y \cr 1+y^2=2z \cr 1+z^2=2x} \)。

103.8.28補充
求聯立方程組\( \cases{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y \cr y+\frac{1}{y}=z \cr z+\frac{1}{z}=x} \)之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

109.5.23補充
已知實數\(a,b,c\)滿足\(\cases{a(4-b)=4 \cr b(4-c)=4 \cr c(4-a)=4}\),則\(a+b+c=\)   
(109中正預校,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3325&page=3#pid21184)

附件

數學教學1996年第5期.pdf (1.64 MB)

2014-8-6 22:03, 下載次數: 1932

數學奧林匹克教程.gif (10.68 KB)

2020-6-26 11:44

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