求滿足方程式
  y = 4(x^3)  - 3x
{ z = 4(y^3)  - 3y   的實數 x,y,z.
  x = 4(z^3)  - 3z

答案為(x,y,z) = (cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ )  ,   a = kπ/13 或 kπ/14   k = 0 ,1,2,....13

三倍角公式
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
假設x=cosΘ (但問題是，x的範圍限制在-1和1之間嗎?)
則可推得x，y，z之值分別為cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ
但最後一個式子得到 x=cos 27Θ=cosΘ
解出Θ即可
這是其中一組解
應該還有其他組~~!?

求滿足方程組y=4x3−3xz=4y3−3yx=4z3−3z的實數(xyz)。
(北京市1990年奧賽集訓題)
分析：
方程組中的每一個方程式類似於三倍角公式cos3=4cos3−3cos。這就給我們提供了數學模型，但x、y、z均不能大於1。

解：
若x1，由y=4x3−3x=x3+3x(x2−1)，知yx，同理zy，xz，則互相矛盾，所以x、y、z均小於等於1，設x=cos，0 ，則原方程式可化為y=cos3z=cos9x=cos27即cos=cos27。
解方程式cos−cos27=0。sin13sin14=0。sin13=0或sin14=0，=k13，k=01213，=k14，k=1213。
∴(xyz)=(coscos3cos9)共27個解。


103.8.7補充類題
這些都是輪換的聯立方程式，可是解法卻差很多，你能否比較其中的差異呢？
為什麼前面的題目知道用三角函數代換，而接下來的題目卻不用？那你能不能判斷什麼時候要用三角函數什麼時候不用？不用三角函數的話還有什麼方法可以解這類聯立方程式？
若x=12z21+36z2y=12x21+36x2z=12y21+36y2，則x+y+z=
(101中正高中，https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

解方程組1+x2=2y1+y2=2z1+z2=2x。

103.8.28補充
求聯立方程組x+x1=yy+y1=zz+z1=x之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

109.5.23補充
已知實數abc滿足\cases{a(4-b)=4 \cr b(4-c)=4 \cr c(4-a)=4}，則a+b+c=　　　。
(109中正預校，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3325&page=3#pid21184)

111.3.22補充
設a,b,c皆為整數，試求滿足方程組\cases{ab+5=c \cr bc+1=a \cr ca+b=1}的所有解(a,b,c)=　　　。
(110高中數學能力競賽第四區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

bugmens真是資料豐富，博學多聞!