今天是中華民國99年國慶，我將99松山高中的試題放上來，讓各位網友在國慶日也能準備教甄

學校沒有公佈試題，這是我從試場一句不漏抄出來的，題目內文和順序都和原來的考卷相同
另外我將有些題目的出處也寫進去，這是考試時沒有的

98松山高中　https://math.pro/db/thread-827-1-1.html

100.2.5
感謝blue329456指正,將\( [100 \sqrt{x} ]=120 \)修改成\( [10 \sqrt{x} ]=120 \)。

請問一下~~

第5題有什麼解法比較漂亮

我目前只能用參數式去算

不知道還有沒有其他方法

謝謝

我考試的時候是用\( x+y=a \)，\( xy=b \)去解的

恩恩~~謝謝bugmens大~~

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昨天算了一下~~
有比設圓的參數快~~~

想請教各位大大

第7題: 設x,y為實數，若 \(x+y=x^2 +y^2\) ，求  \(x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y\)  之最大值?
  (這題我怎麼換好像都無法換到可以用的東西><...)

第12題:在一圓周上有20個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，
            請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)
  (這題感覺很複雜...一點也不知道如何算起)

第17題:經過原點的直線L與函數 \(f(x)=x^2(3-x)\)  的圖形在第一象限交於兩相異點P,Q。試求:
            (2) 設A(3,0)，則 三角形APQ之最大面積?

請各位大大不吝賜教,小弟感謝先...

第7題，設 \(x,y\) 為實數，若 \(x+y=x^2 +y^2\) ，求  \(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y\)  之最大值？

解答：

令 \(t=x+y\)，則 \(\displaystyle xy=\frac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2}=\frac{t^2-t}{2}\)，

一、先求一下 \(t\) 的範圍，

　　（1）：\(t=x^2+y^2\geq0\)

　　（2）：由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \frac{t}{2}\geq\left|\frac{t^2-t}{2}\right|\)，且由（1）的 \(t\geq0\)，可得 \(0\leq t\leq2\)

　　故，\(0\leq t\leq2\)

二、\(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\frac{9}{2}\left(x+y\right)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)

　　令 \(\displaystyle f(t)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)，

　　由 \(f'(t)=0\) 及 \(f''(x)=0\)，找出臨界點，可描繪此一元三次函數的圖形，

　　再由 \(0\leq t\leq2\)，可得當 \(t=2\)時，\(f(t)\) 有最大值為 \(11.\)

第12題，在一圓周上有 \(20\) 個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)

解答：任取圓周上的四點，連接之後，可以形成一個圓內的交點，

　　　所以答案是 \(C^{20}_4=4845.\)

謝謝老師的解答...原來第12題的想法這麼妙^^

另外..不知道第7題有沒有其他解法....我自己在解的時候,是偷吃步

令x^2=x , y^2=y ,這樣可以解出11...不過應該不是很適當的解法!

構造長方形
分別以X ,Y為邊長的原長方形,再各延長1單位而成新的大長方形
將 xy+x+y 再加1  即是新的大長方形的面積 3+3根號2
提出3得到  3(1+根號2) = (x+1)*(y+1)
所以 (x,y) = (2,根號2) 或 (根號2,2)
有錯請各位大大指教

想請教第1題,第13題和第17題,謝謝