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拉馬努金的無窮根號問題

本主題由 bugmens 於 2017-7-22 17:01 合併
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拉馬努金的無窮根號問題

求下面根式的值
\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)
這題好像要用數學歸納或夾擠定理之類的......
但我想不出來
於是算了前面幾項
考慮越多項則值越趨近於4
於是我認為答案為4

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\(\begin{align}
  & 4 \\
& =\sqrt{16} \\
& =\sqrt{6+10} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{25}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+18}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{36}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+28}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{49}}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \\
\end{align}\)

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佩服!不愧是鋼琴老師
所以如果這題出在"計算證明題"中
只要寫出倒推的算式就可以了嗎?
還是要另外證明此步驟可以無窮延續下去?

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計算題的話,可用數學歸納法證明
\(\sqrt{\left( n+1 \right)+\left( n-3 \right)\sqrt{\left( n+2 \right)+\left( n-2 \right)\sqrt{\left( n+3 \right)+\left( n-1 \right)\sqrt{\left( n+4 \right)+\cdots }}}}=n-1\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-31 08:35 PM 編輯 ]

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原來如此~~
謝謝老師

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這是拉馬努金的貢獻,改天我再來整理關於他的資料

105.5.28補充
拉馬努金的手稿,http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NotebookFirst.htm

可以看到拉馬努金所寫下的
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

數學傳播的文章
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (上)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d273/27307.pdf
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (下)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27405.pdf

底下的無窮根號.pdf提供了解法
(1)
令\(f(n)=n(n+2)\)
\(f(n)=n \sqrt{(n+2)^2}\)
  \(=n\sqrt{n^2+4n+4}\)
  \(=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}\)
  \(=n\sqrt{1+f(n+1)}\)
反覆代入得到
\(n(n+2)=n \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+(n+4)\sqrt{1+\ldots}}}}}\)
\(n=1\)代入得到
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)


(2)
令\( f(n)=n(n+3) \)
\( f(n)=n \sqrt{(n+3)^2} \)
  \( =n \sqrt{n^2+6n+9} \)
  \( =n \sqrt{(n+5)+(n+1)(n+4)} \)
  \( =n \sqrt{(n+5)+f(n+1)} \)
反覆代入得到
\( f(n)=n \sqrt{(n+5)+(n+1)\sqrt{(n+6)+(n+2)\sqrt{(n+7)+(n+3)\sqrt{(n+8)+\ldots}}}} \)
\( n=1 \)代入得到
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

附件

無窮根號.pdf (84.71 KB)

2014-7-31 22:07, 下載次數: 758

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哇!好壯觀呀!
原來這題有這樣的歷史......

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一個類似題:

證明  \(\displaystyle \sqrt{25-4\sqrt{36-4\sqrt{49-4\sqrt{64-4\sqrt{81-4\sqrt{\cdots}}}}}}=3\)

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4月26日是印度天才數學家拉馬努金的逝世周年日,游森棚教授寫了一篇關於拉馬努金的文章

彗星般的天才數學家—拉馬努金
http://www.cw.com.tw/article/article.action?id=5075951

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另類證明

小弟想用一次方的來證明看看結果有想到一個統一的小證明

附件

IMG_20161022_193946.jpg (1.19 MB)

2016-10-22 19:41

IMG_20161022_193946.jpg

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