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拉馬努金的無窮根號問題

tsyr

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1^# 大中小發表於 2014-7-31 17:12 只看該作者

拉馬努金的無窮根號問題

求下面根式的值
\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)
這題好像要用數學歸納或夾擠定理之類的......
但我想不出來
於是算了前面幾項
考慮越多項則值越趨近於4
於是我認為答案為4

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2014-7-31 20:26 只看該作者

\(\begin{align}
& 4 \\
& =\sqrt{16} \\
& =\sqrt{6+10} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{25}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+18}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{36}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+28}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{49}}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \\
\end{align}\)

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tsyr

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3^# 大中小發表於 2014-7-31 20:32 只看該作者

佩服!不愧是鋼琴老師
所以如果這題出在"計算證明題"中
只要寫出倒推的算式就可以了嗎?
還是要另外證明此步驟可以無窮延續下去?

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2014-7-31 20:33 只看該作者

計算題的話，可用數學歸納法證明
\(\sqrt{\left( n+1 \right)+\left( n-3 \right)\sqrt{\left( n+2 \right)+\left( n-2 \right)\sqrt{\left( n+3 \right)+\left( n-1 \right)\sqrt{\left( n+4 \right)+\cdots }}}}=n-1\)

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tsyr

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5^# 大中小發表於 2014-7-31 20:38 只看該作者

原來如此~~
謝謝老師

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bugmens

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6^# 大中小發表於 2014-7-31 22:07 只看該作者

這是拉馬努金的貢獻,改天我再來整理關於他的資料

105.5.28補充
拉馬努金的手稿，http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NotebookFirst.htm

可以看到拉馬努金所寫下的
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

數學傳播的文章
探求「無限」奧秘的數學家一一 Srinivasa Ramanujan (上)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d273/27307.pdf
探求「無限」奧秘的數學家一一 Srinivasa Ramanujan (下)
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27405.pdf

底下的無窮根號.pdf提供了解法
(1)
令\(f(n)=n(n+2)\)
\(f(n)=n \sqrt{(n+2)^2}\)
　　\(=n\sqrt{n^2+4n+4}\)
　　\(=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}\)
　　\(=n\sqrt{1+f(n+1)}\)
反覆代入得到
\(n(n+2)=n \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+(n+4)\sqrt{1+\ldots}}}}}\)
\(n=1\)代入得到
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)

(2)
令\( f(n)=n(n+3) \)
\( f(n)=n \sqrt{(n+3)^2} \)
　　\( =n \sqrt{n^2+6n+9} \)
　　\( =n \sqrt{(n+5)+(n+1)(n+4)} \)
　　\( =n \sqrt{(n+5)+f(n+1)} \)
反覆代入得到
\( f(n)=n \sqrt{(n+5)+(n+1)\sqrt{(n+6)+(n+2)\sqrt{(n+7)+(n+3)\sqrt{(n+8)+\ldots}}}} \)
\( n=1 \)代入得到
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)

110.3.23補充
用Geogebra 動態展示拉馬努江的迭代根式，https://www.youtube.com/watch?v=shROhDfZJzw