1. \(x^{2009}\) 除以 \( (x-1)^2(x^2+1) \) 所得餘式為何？
解：
\(x^{2009} = \left\{\left(x-1\right)+1\right\}^{2009}\) 用二項式定理展開，
得 \(x^{2009}\) 除以 \(\left(x-1\right)^2\) 之餘式為 \(2009x-2008\)，
設 \(x^{2009} = \left(x-1\right)^2(x^2+1) Q(x) + \left(x-1\right)^2(ax+b)+ 2009x-2008\)
\(x=i\) 帶入上式，找出 \(a,b\)，即可得所求.
2. 以 \(O\) 為圓心的圓上有 \(n\) 個相異點，依序為 \(A_1、A_2、A_3、\cdots、A_n\)，此 \(n\) 個點將圓分割為 \( A_1OA_2、A_2OA_3、A_3OA_4、\cdots、A_nOA_1\) 等 \(n\) 個扇形區域。在 \(m\) 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 \(S(n，m)\) ，若 \( S(n+2，m)=p\cdot S(n+1，m)+k\cdot S(n，m)\)，求 \(p-k\) 之值.
解：
為方便說明，令題目所述的 \(n\) 個區域為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，
i. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 同色，則
\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-2,m)\) 種塗法，
且 \(a_n\) 有 \(m-1\) 種上色法，
所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-1)\cdot S(n-2,m)\) 種塗法.
ii. 若 \(a_1\) 與 \(a_{n-1}\) 異色，則
\(a_1\) 到 \(a_{n-1}\) 有 \(S(n-1,m)\) 種塗法，
且 \(a_n\) 有 \(m-2\) 種上色法，
所以此 \(n\) 個區域共有 \((m-2)\cdot S(n-1,m)\) 種塗法.
由 i & ii，可得 \( S(n, m)=(m-2)\cdot S(n-1，m)+(m-1)\cdot S(n-2, m).\)
故，\(p=m-2,\; k=m-1 \Rightarrow p-k = -1.\)
註：其它相關資料
https://math.pro/db/thread-499-1-4.html
8. 擲一公正骰子，直到 \(6\) 點出現第 \(3\) 次才停止，設 \(X\) 表至停止時所投擲的次數，求 (1) \(P(X=5)=?\) ，(2) \(E(X)=?\)
解：
(1) \(P(X=5) = C^4_2 \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{25}{1296}.\)
(2) 出現 \(6\) 的點機率為 \(\displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.\)
\(\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.\)
10. (2) \(I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?\)
解：
令 \(S=I+A+A^2+A^3+\cdots\)，則 \(AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots\)，
兩式相減，可得 \(\left(I-A\right)S = I\)，
則可得 \(\displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}} \\
{\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}} \\
\end{array}} \right).\)
18. 求滿足 \((x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9\) 之所有點 \(P(x,y)\) 所表區域面積.
解：
\(P(x,y)\) 到 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) 的距離為 \(3.\)
\(\Rightarrow P\) 到圓 \(x^2+y^2=2^2\) 的距離為 \(3.\)
畫圖，可得 \(P\) 在圓 \(x^2+y^2=5^2\) 的邊界或內部區域，
並且位在圓 \(x^2+y^2=1^2\) 的邊界或外部區域，
可得面積為 \(\left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.\)
（感謝
p75545 老師提醒！）
