16 12
發新話題
打印

101松山工農(第二次)

推到噗浪
推到臉書

101松山工農(第二次)

請下載附件

附件

101松山工農.zip (45.48 KB)

2012-7-30 16:57, 下載次數: 3581

TOP

想請教填充7和問答2 謝謝

填充7.
\(x,y,z\)為正實數,\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\),求\(x+y+z=\)?

105.5.6補充
若三正實數\(x,y,z\)滿足\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=25 \cr y^2+yz+z^2=49 \cr z^2+zx+x^2=64}\),則\(x+y+z\)之值為何?
(建中通訊解題 第97期,http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

TOP

回復 2# 阿光 的帖子

填充第 7 題,方法同【100師大附中】第三題,可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2:乙生算出來的是 \(f(2013)\) 的值。利用差分的方法,代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字:巴貝奇(Babbage)定理、差分

TOP

想再請教問答6錯在哪裡 謝謝

TOP

回復 4# 阿光 的帖子

問答6

當圓周上有六個相異點時,此六點連接所成的弦,最多可以將圓內部分成 \(31\) 塊而已。

如下圖:



至於正確的公式,可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

TOP

想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
另外想請教填充第4題..我分解好久分不出來..懇請大師提點...
感謝~

TOP

小弟填充第 7 題聯想點:

\(x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ\)

聯想到餘弦定理,

聯想到~~~三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 \(120^\circ\),

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 \(x,y,z\)

可知此點為費馬點。


填充第 4 題:

先整係數一次因式檢驗法,可知 \(2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=(x+1)(2x^4-10x^3+13x^2-3)\)

再來研究看看 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\)

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積~

最有可能的「猜測」有~~~

\((x^2+ax-1)(2x^2+bx+3)\)

或是  \((x^2+ax+1)(2x^2+bx-3)\)

或是  \((x^2+ax-3)(2x^2+bx+1)\)

或是  \((x^2+ax+3)(2x^2+bx-1)\)

此四種情況,分別都乘開,與  \(2x^4-10x^3+13x^2-3\) 比較係數,

看看哪一個可以解出正確的 \(a,b\)。

(實際上: \(2x^4-10x^3+13x^2-3=(x^2-2x-1)(2x^2-6x+3)\))

剩下的就容易了。

TOP

引用:
原帖由 idontnow90 於 2013-3-22 04:19 PM 發表
想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
這些題目本來就是精心設計過的,看不出來也是很正常的
但假若題目看得多的話,就能識破其中的端倪
不外乎將幾何問題改為代數問題,或將代數問題改成幾何問題
我找一些題目讓你練習看看

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \),\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \),令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點,試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
(99屏北高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2024)

正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \),求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)

設實數x、y、z滿足,\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \),且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \),其中m、n是正整數,且n不能被任何質數的平方整除,試求\( m+n \)之值。
(2006AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)

104.5.31補充
104新北市高中聯招終於考了這題。
https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html

有興趣的話可以去圖書館找"構造法解題"這本書來看

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-31 07:37 PM 編輯 ]

TOP

填充第8題中

矩陣A的特徵值是重根的,所以A的特徵向量是…?
題目中矩陣P的行向量我猜就是矩陣A的特徵向量了(有2個)
請問矩陣P若題目沒有給的話,要怎麼自己求出來呢?

[ 本帖最後由 casanova 於 2013-5-15 11:16 PM 編輯 ]

TOP

回復 9# casanova 的帖子

Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \)。

則有 \( A^n = r(A) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-16 10:28 AM 編輯 ]
文不成,武不就

TOP

 16 12
發新話題