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想請教填充7和問答2 謝謝

填充7.
\(x,y,z\)為正實數，\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\)，求\(x+y+z=\)？

105.5.6補充
若三正實數\(x,y,z\)滿足\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=25 \cr y^2+yz+z^2=49 \cr z^2+zx+x^2=64}\)，則\(x+y+z\)之值為何？
(建中通訊解題　第97期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

115.5.2補充
設\(x,y,z>0\)且滿足\(\begin{cases}x^{2}+y^{2}+xy=2\\y^{2}+z^{2}+yz=3\\z^{2}+x^{2}+zx=5\end{cases}\)，試求\(x+y+z\)之值　　　。
(115桃園市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-4090-1-1.html)

填充第 7 題，方法同【100師大附中】第三題，可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2：乙生算出來的是 \(f(2013)\) 的值。利用差分的方法，代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字：巴貝奇（Babbage）定理、差分

想再請教問答6錯在哪裡 謝謝

問答6

當圓周上有六個相異點時，此六點連接所成的弦，最多可以將圓內部分成 \(31\) 塊而已。

如下圖：

qq.png (24.51 KB)

2012-7-31 22:17

至於正確的公式，可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
另外想請教填充第4題..我分解好久分不出來..懇請大師提點...
感謝~

小弟填充第 7 題聯想點：

\(x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ\)

聯想到餘弦定理，

聯想到～～～三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 \(120^\circ\)，

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 \(x,y,z\)

可知此點為費馬點。


填充第 4 題：

先整係數一次因式檢驗法，可知 \(2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=(x+1)(2x^4-10x^3+13x^2-3)\)

再來研究看看 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\)

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積～

最有可能的「猜測」有～～～

\((x^2+ax-1)(2x^2+bx+3)\)

或是  \((x^2+ax+1)(2x^2+bx-3)\)

或是  \((x^2+ax-3)(2x^2+bx+1)\)

或是  \((x^2+ax+3)(2x^2+bx-1)\)

此四種情況，分別都乘開，與  \(2x^4-10x^3+13x^2-3\) 比較係數，

看看哪一個可以解出正確的 \(a,b\)。

（實際上： \(2x^4-10x^3+13x^2-3=(x^2-2x-1)(2x^2-6x+3)\)）

剩下的就容易了。

引用:

原帖由 idontnow90 於 2013-3-22 04:19 PM 發表
想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??

這些題目本來就是精心設計過的，看不出來也是很正常的
但假若題目看得多的話，就能識破其中的端倪
不外乎將幾何問題改為代數問題，或將代數問題改成幾何問題
我找一些題目讓你練習看看

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
(99屏北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2024)

正數x,y,z滿足方程組\( \cases{\displaystyle x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)

設實數x、y、z滿足，\( \matrix{\displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \)，且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \)，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求\( m+n \)之值。
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)

104.5.31補充
104新北市高中聯招終於考了這題。
https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html

有興趣的話可以去圖書館找"構造法解題"這本書來看

填充第8題中

矩陣A的特徵值是重根的，所以A的特徵向量是…？
題目中矩陣P的行向量我猜就是矩陣A的特徵向量了(有2個)
請問矩陣P若題目沒有給的話，要怎麼自己求出來呢？

Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \)。

則有 \( A^n = r(A) \)