發新話題
打印

97高中數學能力競賽

推到噗浪
推到臉書

97高中數學能力競賽

題目下載
https://math.pro/temp/hs_math_97.rar


如下圖,A、C在以O為圓心,半徑為\( \sqrt{50} \)的圓周上,若\( ∠ABC=90^o \),\( \overline{AB}=6 \),\( \overline{BC}=2 \),則\( \overline{OB}= \)?
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
(1983AIME第4題,http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

-----------------------------
求方程式\( x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45} \)所有實根的乘積。
(97高中數學能力競賽台南區筆試二)
(1983AIME第3題,http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=1983)

-----------------------------
某綜藝節目舉辦抽獎遊戲,遊戲規則是參加者從四個門中選一個,三個是「銘謝惠顧」,一個是「進口轎車」。當選了其中一個門之後,主持人會從沒選的三個門中,隨機把一個未中獎的門打開,參加者可以決定要不要換別的門。如果參加者的策略是不管如何都一定要換,則獲得進口轎車的機率為?
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)
蒙提霍爾問題
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... E%E5%95%8F%E9%A1%8C

-----------------------------
設函數\( y=x+4+\sqrt{5-x^2} \)之極大值為M,極小值為m。則有序數對(M,m)?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二,高中數學競賽教程P183)

2010.7.4補充
函數\( \displaystyle \sqrt{9-x^2}+\frac{4}{3}x+2 \)的最大值為何?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(99臺北縣國中聯招) 

設a,b,c為整數且a≠0。若方程式\( ax^2+bx+c=0 \)的根為有理數,試證:a,b,c中至少有一個是偶數。
(97高中數學能力競賽第二區筆試一,高中數學競賽教程P386)

設α,β都是實數,若不論α值為何,方程式\( x^4-2x^2+αx+β^2=0 \)的四個根都是實根,試證:\( \big| β \big| \le 1 \)。
(97高中數學能力競賽台北市口試試題,高中數學競賽教程P386)

-----------------------------
在密碼學中,對於英文,人們將26個字母按順序分別對應整數0到25(例如A對應0,B對應1,C對應2,...,Z對應25)。現有一個密碼單詞是由4個字母構成,記此4個字母由左而右對應的數值分別為\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),\( x_4 \)。已知:整數\( x_1+2x_2 \),\( 3x_2 \),\( x_3+2x_4 \),\( 3x_4 \)除以26的餘數分別為9,16,23,12則密碼的單詞是?
(97高中數學能力競賽第一區筆試二,97師大附中第二次教師甄選試題,HOPE)

-----------------------------
設\( \big| x \big| \)為小於或等於x之最大整數,試解方程式\( x^2-97\big| x \big|+7=0 \)。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)

解\( 2x^2-11\big| x \big|+12=0 \)。
( \( \big| x \big| \)為小於等於x的最大整數,例:\( x=3.8 \)→\( \big| x \big|=3 \);\( x=-0.4 \)→\( \big| x \big|=-1 \);\( x=7 \)→\( \big| x \big|=7 \) )
(建中通訊解題第24期)

若是x實數,定義\( \big| x \big| \)表示小於或等於x的最大整數,試求方程式\( 2x^2-5\big| x \big|+1=0 \)的解。
(建中通訊解題第52期)

-----------------------------
使得\( 4^{97}+4^{2008}+4^n \)為完全平方數的最大正整數n為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

求最大自然數n,使得\( 4^{2009}+4^{2008}+4^n \)是完全平方數
(建中通訊解題第68期)

-----------------------------
已知\( x+y+z=0 \)且\( x^2+y^2+z^2=2 \),試求\( x^4+y^4+z^4 \)的值。
(97高中數學能力競賽高屏區筆試二)
提示:使用遞迴式
\( x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}=(x+y+z)(x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2})-(xy+yz+zx)(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})+xyz(x^n+y^n+z^n) \)

3個實數x,y,z,滿足下列三個等式\(  \matrix{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \),試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值?
(建中通訊解題第70期)

-----------------------------
設a,b,c都是正實數,若11,21,31是方程式\( \displaystyle a^{\frac{1}{x}} b^{\frac{1}{x+3}} c^{\frac{1}{x+6}}=10 \)的三個根,則\( log(abc)= \)?
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)
提示:可整理出x的一元三次方程式,三根為11,21,31,利用根與係數的關係求三根之和為\( log a+log b+log c-9 \)

若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \),則\( a+b+c \)?
(A)18 (B)24 (C)27 (D)30
(96苗栗縣國中聯招.http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=27821)
提示:可整理出x的一元三次方程式,三根為8,9,10,利用根與係數的關係求三根之和求\( a+b+c \)

2010.7.4補充
若實數a,b,c滿足\( \displaystyle \frac{a}{1}+\frac{b}{4}+\frac{c}{7}=\frac{a}{2}+\frac{b}{5}+\frac{c}{8}=\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{c}{9}=1 \),則\( a+b+c \)?
(A)13 (B)15 (C)17 (D)18
(99臺北縣國中聯招)

-----------------------------
在連續投擲一均勻銅板10次的實驗中,反面未曾連續出現2次或2次以上的機率為。
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

投擲一公正銅板6次,在投擲過程中曾經連續出現兩次正面的機率有多少?
(97高中數學能力競賽嘉義區筆試二)

把一枚硬幣連擲次,在投擲過程中接連出現兩次正面向上的機率等於多少?
(95士林高商,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21970)

投擲一枚公正硬幣n次,求至少連續出現兩次正面的機率。
(96學年度第2學期中山大學雙週一題第2題)
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008s/2Q.pdf
https://math.pro/db/thread-491-1-4.html

連續投擲一枚公正的硬幣,直到出現連續兩次正面才停止投擲,並計算投擲的次數,試問:
(1)投擲到第15次才出現連續兩次正面的機率為何?
(2)平均而言為了獲得連續兩次正面的期望值投擲次數為何?
(89高中數學能力競賽高雄市筆試一)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aohsiungCity_01.pdf

-----------------------------
已知有1,\( \displaystyle \frac{1}{2} \),\( \displaystyle \frac{1}{3} \),...,\( \displaystyle \frac{1}{2008} \)共有2008數,規定「運算一次」如下:消去其中二數a,b,再加入另一數\( a+b+ab \),經過2007這樣的運算後只剩一數,試問此數為何?
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題)

已知有1、\( \displaystyle \frac{1}{2} \)、\( \displaystyle \frac{1}{3} \)、\( \displaystyle \frac{1}{4} \)、...、\( \displaystyle \frac{1}{2001} \)共有2001個數,規定“操作”一次如下:拿掉其中任兩數a,b後,其餘不動,再加入一數\( a+b+ab \),經過2000次這樣的操作之後只剩一數,求此數。
(2001TRML個人賽)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-13 09:13 AM 編輯 ]

TOP

若三正數x,y,z滿足\( xyz(x+y+z)=25 \),則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

已知x,y,z是正数,且满足\( xyz(x+y+z)=1 \),则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为?
(新奧數教程高二卷第2講 平均不等式和科西不等式,高中數學101 P353)

-----------------------------
設n為正整數,a為大於1之實數。試解不等式
\( \displaystyle log_a x-4log_{a^2} x+12log_{a^3}x+...+n(-2)^{n-1}log_{a^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}log_a (x^2-a) \)
(97高中數學能力競賽第四區筆試一,1991大陸高考試題)

105.5.28補充
已知\(n\)為正偶數,求關於下列\(x\)不等式
\( \displaystyle log_2 x-4log_{2^2} x+12log_{2^3}x+...+n(-2)^{n-1}log_{2^n}x>\frac{1-(-2)^n}{3}log_2 (x^2-2) \)
的解為
(105鳳山高中,https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)
-----------------------------
將81個正實數\( a_{ij} \)( \( i,j=1,2,3,...,9 \) )排成9行9列,其中每一橫列的數均成等差數列,每一直行的數均成等比數列,且所有的公比相等。若\( a_{24}=1 \),\( \displaystyle a_{33}=\frac{3}{8} \),\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \),則\( \displaystyle \sum_{k=1}^9 a_{kk}=a_{11}+a_{22}+...+a_{99}= \)?
(97高中數學能力競賽臺北市筆試二)

\( n^2 \)个正数排成n行n列,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知\( a_{24}=1 \),\( \displaystyle a_{42}=\frac{1}{8} \),\( \displaystyle a_{43}=\frac{3}{16} \),求\( a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+...+a_{nn} \)
(1990大陸高中數學競賽)

-----------------------------
平面上有一個六邊形,其中四個邊的邊長為\( \sqrt{10} \),而其餘兩個邊的邊長為1。若此六邊形有一個外接圓,則此圓的半徑為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)

一圓內接六邊形的相鄰三條邊,每邊長為3,另外的相鄰三條邊,每邊長為5,若圓半徑為r,則下列何者正確?(1)\( 2 \le r < 3 \) (2)\( 3 \le r < 4 \) (3)\( 4 \le r < 5 \) (4)\( 5 \le r < 6 \) (5)\( 6 \le r < 7 \) 
(RB540.swf)

-----------------------------
將2008分解成一些正整數之和,使得這些正整數之乘積有最大值,求這最大值,並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一)
提示:
(1)若M ≡ 0(mod 3),則\( M=3n \),積\( 3^n \)最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3),則\( M=3n+1=3(n-1)+2 \cdot 2 \),積\( 3^{n-1}\cdot 2^2 \)最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3),則\( M=3n+2 \),積\( 3^n \cdot 2 \)最大。

有n個正整數,其總和為19。請問這n個數最大可能的乘積為何?
(2006澳洲AMC高級卷)

101.4.29補充
考慮正整數n的所有正整數分割,將其分割乘積的最大值定義為\( f(n) \),
[例:\( 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 \),
( \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \) )<( \( 2 \times 1 \times 1 \) )<( \( 3 \times 1 \) )<( \( 2 \times 2 \) )=(4),
得\( f(4)=4 \)]。問\( f(2012) \)(以十進位表示)是幾位數。
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.13補充
Determine the greatest number, who is the product of some positive integers, and the sum of these numbers is 1976.
(1976IMO,http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_4)

101.5.21補充
若干個正整數之和為2012,試求它們乘積的最大值。(以指數表示,不必乘開)
(101台中二中,https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)

105.5.28補充
試將2017分成若干個正整數的和,且令\(x\)表每一種表示法的所有正整數乘積。
(例如:\(2017=2+5+2010\),則\(x=2 \times 5 \times 2010=20100\))。若\(x\)的最大值為\(a\),則試求下列各題之值:
(1)\(a\)為何?(以質因數分解表示)
(2)\(a\)為幾位數?首位數字是多少?
(105豐原高中,https://math.pro/db/thread-2518-1-1.html)

-----------------------------
101.5.13補充
設方程式\( x^2+(k-4)x+k=0 \)有兩個整數根,以較大的整數根為直徑作圓O,自圓O外一點作切線\( \overline{PA} \)及割線交圓於B、C,若\( \overline{PA} \)、\( \overline{PB} \)、\( \overline{PC} \)均為整數且都不是合數,則\( \overline{BC}= \)?
(97高中數學能力競賽第二區筆試二)

設a為實數,已知方程式\( x^4-2ax^2+x+a^2-a=0 \)的根都是實數,則a的範圍為?
(97高中數學能力競賽第一區筆試二)

在平面上,設\( L_1 \)、\( L_2 \)兩直線交於O點且夾角為\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3} \),已知一點P至直線\( L_1 \)的垂足為A點,至\( L_2 \)的垂足為B點。若\( \overline{PO}=\sqrt{6} \),\( \overline{PA}=1 \),則\( \overline{AB} \)的長為?
(97高中數學能力競賽第一區筆試二)

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形,頂點A、D分別在扇形的兩半徑上,頂點B、C在扇形的弧上,而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r,而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角,則正方形ABCD的面積為?(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二)

四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形,頂點A、D分別在扇形的兩半徑上,頂點B、C在扇形的弧上,其中扇形的半徑為1,圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為?
(101台中女中,https://math.pro/db/thread-1327-1-1.html)

以上四題已由thepiano回答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-21 05:44 PM 編輯 ]

附件

新奧數教程高二卷 高中數學101 P353.gif (13.03 KB)

2010-4-26 23:28

新奧數教程高二卷 高中數學101 P353.gif

中學數學奧林匹克競賽輔導.gif (81.67 KB)

2010-4-26 23:28

中學數學奧林匹克競賽輔導.gif

97高中數學能力競賽補充資料.rar (356.85 KB)

2010-4-26 23:28, 下載次數: 2853

TOP

第二區筆試二的第 6 題,題目似乎有誤,原題如下

6. 設方程式 \( x^{2}+(k-4)x+k=0 \) 有兩個整數根,已較大的整數根為直徑作圓 \( O \),自圓 \( O \)  外一點 \( P \) 作切線 \( \overline{PA} \) 及割線交圓於 \( B \)、\( C \),若 \( \overline{PA} \)、\( \overline{PB} \)、\( \overline{PC} \) 均為整數且都不是合數,則 \( \overline{BC}=\underline{\qquad (六)\qquad} \) 。

之所以認為有錯,是由圓冪性質可得 (以下 PA, PB, PC 簡記為 a,b,c) \( a^2=bc \),而  \( a > \min ( \overline{PB},\overline{PC} ) \),又不為合數,因此 \( a \) 為質數。如此一來,a 和 b, c 中較小者互質,而 \( a^2 \) 整除較大者,此與三數皆非合數矛盾。

"推測" 因將 \( \overline{PC} \) 改為 \( \overline{BC} \) 才對。
文不成,武不就

TOP

97高中數學能力競賽

設\( f(x) \)為整係數多項式。若\( f(7)=f(208)=-1000 \),且\( f(0)>0 \),則\( f(0) \)的可能值中最小為   
(97高中數學能力競賽 第四區筆試二試題)
[解答]
令\( f(x) = (x - 7)(x - 208)q(x) - 1000 \)
\(q(0) = 1 \)時,\(f(0) \)有最小值 456

TOP

發新話題