星期二考的

有很多問題晚一點來請教>"<

請參閱附件

計算3.
設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
[解答]
(1)
假設\( \displaystyle f(x)=\frac{(x-a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-c)^2}{(c-a)(c-b)} \)
\( deg(f(x)) \le 2 \)
\( \displaystyle f(a)=\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-c)^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a-b}{-(b-c)}+\frac{a-c}{-(c-b)}=1 \)
同理\( f(b)=1 \)，\( f(c)=1 \)，可知\( \forall x \in R \)，\( f(x)=1 \)
\( \displaystyle f(0)=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)

這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)
\( =\displaystyle \frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
用數學軟體因式分解可得
\( =\displaystyle \frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( =a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \)
\( =45+(-18)=27 \)

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021


類題
Simplify：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)
[答案]
\( a+b+c \)

\( a、b、c \)為相異三實數，試證\( \forall x \in R \)，\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(x-b)^2}{(c-b)(a-b)}+\frac{(x-c)^2}{(a-c)(b-c)} \)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)

104.5.2補充
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)


計算4.
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)；\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數，
求證：\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
[提示]
(1)
\( \displaystyle \Bigg(\; \root n \of{a_1}^n+\root n \of{b_1}^n \Bigg)\; \Bigg(\; \root n \of{a_2}^n+\root n \of{b_2}^n \Bigg)\; \times \ldots \times \Bigg(\; \root n \of{a_n}^n+\root n \of{b_n}^n \Bigg)\; \ge \Bigg(\ \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \Bigg)\; ^n \)

感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021

(2)
\( \displaystyle
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5 \)

(我的教甄準備之路　廣義的科西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 ]

想問填充1.5 計算3

填充1. 用牛頓一次因式檢驗...只能這樣嗎?因為他的可能還滿多的...

        5.可以硬把a d算出來...但是我想一定有更好的做法

計算3  (2)要怎麼因式分解阿...

以上  謝謝

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-4-25 10:29 PM 編輯 ]

填充1
觀察係數
\(\displaystyle 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6 \)
\(\displaystyle =6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+6x^2+5x^2-6x+5x-6 \)
\(\displaystyle =(6x^6+6x^3+6x^2)+(5x^5+5x^2+5x)-(6x^4-6x-6) \)
\(\displaystyle =(x^4+x+1)(6x^2+5x-6) \)

計算3(2)
\(\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0 \)

所以求值式
\(\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}-\frac{c^4}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^4}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{a-c)(a^3+a^2c+ac^2+c^2)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{(a^3-b^3)+(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2)}{a-b} \)

\(\displaystyle =a^2+ab+b^2+ac+bc+c^2 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 08:19 AM 編輯 ]

填充5.
可將數列分成三段:

前段 \(a_1,a_2,...,a_{2013}\)，共2013項

中段 \(a_{2014},a_{2015},...,a_{3102}\)，共1089項，和為 \(\displaystyle 1302 - 3102 =-1800\)

後段 \(a_{3103},a_{3104},...,a_{5115}\)，共2013項

可看出中段的平均就是全部 (\(a_1\) 到 \(a_{5115}\)) 的平均

故所求 \(\displaystyle S_{5115}=\frac{-1800}{1089}\cdot 5115=-\frac{93000}{11}\)


附帶一提，計算3 (2) 若是填充題，湊出 \(a=6\)，\(b=-3\)，\(c=0\) 代入即可!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-26 06:54 AM 編輯 ]

計算 3(2) 提供一個另解

令 \( \alpha=\frac{c-b}{\Delta}, \beta=\frac{a-c}{\Delta}, \gamma=\frac{b-a}{\Delta} \)，其中 \( \Delta=(a-b)(b-c)(c-a) \)。

再令 \( x_{n}=\alpha a^{n}+\beta b^{n}+\gamma c^{n}, y=abc \)，則 \( a, b, c \) 滿足三次方程式 \( t^{3}-3t^{2}-18t-y=0\Rightarrow t^{3}=3t^{2}+18t+y \)。

故有 \( x_{n+3}=3x_{n+2}+18x_{n+1}+yx_{n} \)。

而 \( x_{0}=0, x_{1}=\frac{ac-ab+ba-bc+cb-ca}{\Delta}=0, x_{2}=1 \) by (1)

因此\( x_{3}=3+0+0, x_{4}=3\cdot3+18\cdot1+0=27 \)。

其中 \( x_3, x_4 \) 即為 \( \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \) 和 \( \frac{a^4}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^4}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)

填充5
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \) 為 n 的二次函數
推廣成 x 的二次函數, \(\displaystyle f(x) \) 滿足 \(\displaystyle f(2013)=3102,f(3102)=1302,f(0)=0 \)
於是
\(\displaystyle f(x)=3102 \times \frac{x(x-3102)}{2013(2013-3102)}+1302 \times \frac{x(x-2013)}{3102(3102-2013)} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 04:38 PM 編輯 ]

分享填充一的另一種看法!
觀察方程式\( 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6=0 \)
其中\( 6x^6+5x^5-6x^4=x^4(2x+3)(3x-2) \)
所以猜測接下來的\( 6x^3+11x^2-x-6 \)是否有相關因式
就可以檢測出來!

填充題第一題。以下是我的算法。
若\(f(x)=(ax+b)Q(x)\) ， \( \Rightarrow \)   \(     
\begin{array}{l}
(a + b)|f(1) \\
(a - b)|f( - 1) \\
\end{array} \)
1、\(
6x^6  + 5x^5  - 6x^4  + 6x^3  + 11x^2  - x - 6 = 0
    \)
一次因式檢驗法，可能的一次因式有，
\(     
\begin{array}{l}
x + 1,x - 1,x + 2,x - 2,x + 3,x - 3,x + 6,x - 6, \\
2x + 1,2x - 1,2x + 3,2x - 3,3x + 1,3x - 1,3x + 2, \\
3x - 2,6x + 1,6x - 1 \\
f(1) = 6 + 5 - 6 + 6 + 11 - 1 - 6 = 15 \\
f( - 1) = 6 - 5 - 6 - 6 + 11 + 1 - 6 =  - 5 \\
\end{array}

    \)
用 \(     
\begin{array}{l}
a + b|f(1) = 15 \\
a - b|f( - 1) =  - 5 \\
\end{array}

    \)篩選
剩下可能的一次因式有， \(
x + 2,2x + 1,2x + 3,2x - 3,3x + 2,3x - 2
    \)
在使用綜合除法檢查，可得有理根為  \(     \frac{{ - 3}}{2},\frac{2}{3}    \)

所以此兩個有理根相加， \(     
\frac{{ - 3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 5}}{6}


    \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-20 05:00 PM 編輯 ]

感謝各位強者老師

我還是需要多多加油阿!!