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想請教填充7和問答2 謝謝

填充7.
xyz為正實數，x2+xy+y2=9y2+yz+z2=16z2+zx+x2=25 ，求x+y+z=？

105.5.6補充
若三正實數xyz滿足x2+xy+y2=25y2+yz+z2=49z2+zx+x2=64 ，則x+y+z之值為何？
(建中通訊解題　第97期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

填充第 7 題，方法同【100師大附中】第三題，可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2：乙生算出來的是 f(2013) 的值。利用差分的方法，代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字：巴貝奇（Babbage）定理、差分

想再請教問答6錯在哪裡 謝謝

問答6

當圓周上有六個相異點時，此六點連接所成的弦，最多可以將圓內部分成 31 塊而已。

如下圖：

qq.png (24.51 KB)

2012-7-31 22:17

至於正確的公式，可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
另外想請教填充第4題..我分解好久分不出來..懇請大師提點...
感謝~

小弟填充第 7 題聯想點：

x2+xy+y2=x2+y2−2xycos120

聯想到餘弦定理，

聯想到～～～三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 120，

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 xyz

可知此點為費馬點。


填充第 4 題：

先整係數一次因式檢驗法，可知 2x5−8x4+3x3+13x2−3x−3=(x+1)(2x4−10x3+13x2−3)

再來研究看看 2x4−10x3+13x2−3

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積～

最有可能的「猜測」有～～～

(x2+ax−1)(2x2+bx+3)

或是  (x2+ax+1)(2x2+bx−3)

或是  (x2+ax−3)(2x2+bx+1)

或是  (x2+ax+3)(2x2+bx−1)

此四種情況，分別都乘開，與  2x4−10x3+13x2−3 比較係數，

看看哪一個可以解出正確的 ab。

（實際上： 2x4−10x3+13x2−3=(x2−2x−1)(2x2−6x+3)）

剩下的就容易了。

引用:

原帖由 idontnow90 於 2013-3-22 04:19 PM 發表
想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??

這些題目本來就是精心設計過的，看不出來也是很正常的
但假若題目看得多的話，就能識破其中的端倪
不外乎將幾何問題改為代數問題，或將代數問題改成幾何問題
我找一些題目讓你練習看看

假設直角三角形的三個頂點分別為A=(00)，B=(10)和C=(04)，令Q=(xy)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即 Q−A + Q−B + Q−C 的最小值)
(99屏北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2024)

正數x,y,z滿足方程組 x2+xy+3y2=253y2+x2=9z2+xz+x2=16 ，求xy+2yz+3xz的值。
(高中數學競賽教程P261)

設實數x、y、z滿足，x=y2−116+z2−116y=z2−125+x2−125z=x2−136+y2−136，且x+y+z=mn，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求m+n之值。
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)

104.5.31補充
104新北市高中聯招終於考了這題。
https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html

有興趣的話可以去圖書館找"構造法解題"這本書來看

填充第8題中

矩陣A的特徵值是重根的，所以A的特徵向量是…？
題目中矩陣P的行向量我猜就是矩陣A的特徵向量了(有2個)
請問矩陣P若題目沒有給的話，要怎麼自己求出來呢？

Jordan Canonical Form

另解. pA(x)=x2+8x+16

考慮 r(x) 為 x^n 除以 p_A(x) 之餘式。

則有 r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1}

以此二式解出 r(x) = ax+b 。

則有 A^n = r(A)