拋物線 \(y=x^2\) 外一點 \(P\) 作兩條拋物線的切線，令兩切線銳夾角為 \(\alpha\)，且 \(\tan \alpha=4\)，求 \(P\) 點的軌跡方程式.

解答：

設 \(P(x_0,y_0)\) 且令過 \(P\) 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 \(m_1, m_2\).



對於拋物線 \(y=x^2\) ，其斜率為 \(m\) 的切線方程式為 \(y=mx - \frac{1}{4}m^2\).



所以，通過 \(P\) 的切線方程式為  \(y_0=mx_0 - \frac{1}{4}m^2\)，其中 \(m\) 的兩根為 \(m_1\) 與 \(m_2\).

化簡得 \( m^2 - 4 mx_0+4y_0=0.\)



由根與係數關係式，可以得到

\[m_1+m_2 = 4x_0 \mbox{   且    } m_1m_2 = 4y_0\]

利用 \(\left(m_1-m_2\right)^2 = \left(m_1+m_2\right)^2 - 4 m_1m_2\)，可得 \(\left|m_1-m_2\right| = 4\sqrt{x_0^2 - y_0}\).

且由

\[\tan\alpha = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\]
\[\Rightarrow 4 = \frac{4\sqrt{x_0^2 - y_0}}{1+4y_0}\]

化簡，可得 \(x_0^2 - 16 y_0^2 - 9 y_0 -1=0.\)

因此，可得 \(P(x,y)\) 的軌跡方程式為 \(x^2 - 16 y^2 - 9 y -1=0.\)





註：相同的方法可以用來證明

　　1. 設橢圓方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\)，則

　　　此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\).

　　　可以參考楊澤璿老師【閱讀橢圓】網站上的動態展示：

　　　連結已失效h ttp://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/tjy/edu-ellipse/square%28out-ellipse%29-ex.htm


　　2. 設雙曲線方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，則

　　　此雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 - b^2\).


　　3. 設拋物線方程式為 \(\displaystyle x^2=4cy\)，則

　　　此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線，即軌跡方程式為 \(y=-c\).

　　　可以參考王清德先生所做的動態展示：

　　　連結已失效h ttp://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/summer01/work/129/new_page_32.htm

瑋岳老師
你好,請教一個疑問
拋物線兩切線所夾的角的正切為一定值時
其軌跡方程為一雙曲線
不知是單邊曲線還是兩條曲線
在幾何上軌跡似乎只是單邊而已
實在想不出另一條曲線的軌跡
謝謝

雖然兩切線的交點似乎從右上到左下,但快到y軸時會經過左上右下
所以雙曲線都會經過

謝謝bugmens老師

補充相關問題
1.橢圓方程式為\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)，則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為\( x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2} \)。

試求與橢圓\( \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \)相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式為何？
(97大安高工，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771)
試求與橢圓\( \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1 \)相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式為何？
(97彰化藝術高中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47041)
平面上,直線L：\( 2x+y=5 \)，點\( P\in L \)，橢圓Γ：\( 4x^2+y^2=4 \)；自P向Γ做兩切線，若兩切線互相垂直，則點P坐標為？(A)\( (-1,7) \)　(B)\( (1,3) \)　(C)\( (2,1) \)　(D)\( (3,-1) \)
(97台南縣國中聯招)http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=1210
證明
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?p=202712


2.設雙曲線方程式為\( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)，則雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為\( x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2} \)。

A(0,t)不屬於雙曲線\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1 \)，若A點對雙曲線做兩切線，且兩切線互相垂直，試求t值與兩切線方程式？(98曉明女中)


\( a>b \)，試證：雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)上。
(98新港藝術高中)


給定雙曲線Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1 \)與直線L：\( 3x+4y=k \)，若在直線L上存在唯一的點P，使過P點對雙曲線可作二條互相垂直的切線，則P點座標=　　？
(99中一中，https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)


3.設拋物線方程式為 \( x^2=4cy \)，則此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線，即軌跡方程式為 y=−c。

切圓C:\( x^2+y^2=20 \)於點A(2,4)及點B(-4,2)的拋物線之頂點坐標為？(96台南女中)
https://math.pro/db/thread-573-1-1.html
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=22884

拋物線\( y=x^2 \)上的兩點P、Q，在P、Q兩點的切線設為\( L_1、L_2 \)，如果\( L_1、L_2 \)互相垂直，試證明：\( L_1 \)與\( L_2 \)的交點落在準線上。
99高中數學能力競賽　台南區筆試二試題
https://math.pro/db/thread-1051-1-8.html

給定坐標平面上的一錐線C：\( 5x^2-6xy+5y^2-16=0 \)。
(1)若直線L：\( x=3+\alpha t \)，\( y=1+\beta t \)(\( t \in R \))與錐線C相切，試求斜率\( \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} \)的所有可能值。(10分)
(2)若過點\( T(u,v) \)有一對垂直線與錐線C都相切，試證：\( u^2+v^2-10=0 \)。(10分)
(95台灣師大在職專班)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1834

想請教板上的各位大大，不知道此題該如何用比較簡易的方式可以快速的讓高中生了解
題目如下：
       求與橢圓x^2/9 +y^2/4 =1相切且互相垂直的兩切線交點之軌跡方程式


雖然小弟用硬算的方式有得到解答，但是實在覺得太累了
故還請大家不吝賜教!!!

引用:

原帖由 coabelian 於 2012-1-9 09:47 AM 發表
想請教板上的各位大大，不知道此題該如何用比較簡易的方式可以快速的讓高中生了解
題目如下：
       求與橢圓x^2/9 +y^2/4 =1相切且互相垂直的兩切線交點之軌跡方程式


雖然小弟用硬算的方式有得到解答，但是實在覺得太 ...

這個軌跡叫"蒙日圓"
是一位法國幾何學家:蒙日(G.Monge,1746-1818)發現的
當時是否用下面方式來證,就不得而知了
(若是知道的網友請補充)

假設L1,L2為互相垂直的兩切線,其率斜率分別為m,-1/m(不是水平線,也不是垂直線)
則 L1: y=mx+(9*m^2+4)^0.5 ----------------(1)
L2: y=(-1/m)x +(9*(-1/m)^2+4)^0.5-------------(2)

(1)=>  y-mx=(9*m^2+4)^0.5---------------(3)
(2)=>  my+x=(9+4*m^2)^0.5---------------(4)

(3)^2+(4)^2 得 (y-mx)^2+(my+x)^2 =9(m^2+1)+4(m^2+1)
(x^2+y^2)*(m^2+1)=13*(m^2+1)
解得x^2+y^2=9+4=13-------------(*)
又當L1為垂直線或水平線,與L2的交點為
(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)均為(*)的解

所求軌跡為一圓,其方程式為x^2+y^2=13

感謝Ellipse大大的精闢解法!!!
整個豁然開朗!!!!
感恩感恩!!!!

有個小筆誤

斜率的部分少了一個負號

這樣平方展開相加，交叉項才會消掉

記得數學傳播裡有某篇專談這類軌跡問題的

找了一下 連結已失效h ttp://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d292/29202.pdf

不過該主要是探討數學的嚴謹性，有興趣的再看看吧