今年沒有計算題。
但80分鐘我還是有很多題沒算到，
只有我太弱覺得跟往年比起來今年很難嗎....> <

thepiano寫的解答
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 48a5b60aa4f58359c4c

請問大家填充題第三題
如果用y=(2-x)/2替換掉後
f(x,y)不就變成x的三次多項式
但是三次多項式根本沒有最大值和最小值不是嗎?
這樣這題題目是不是有問題阿?

選擇1.
設S=12345678910，m表示S中任意兩個非空互斥子集合的總對數，若m除以10000的餘數為四位數abcd，則a+b+c+d之值為何？
(A)13　(B)13　(C)12　(D)10
(2002AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_9)


填充1.
已知P為正方形ABCD內部一點，若AP=7，BP=5，CP=1，則正方形ABCD之面積為？
(95北港高中，97玉井工商，100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)


填充7.
已知存在一正整數n，使得n10cos5310n+1。求n=？
[解]
f(x)=cos(x)的泰勒展開式為f(x)=1−2!x2+4!x4，f(53)=08254
因為題目只要小數點以下第一位，所以代f(x)=1−2!x2，f(53)=082也是正確的

72是特別角，所以有特別的方法
若n1002cos72100n+1，nN，則n=
(99建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


填充8.
設正實數x、y、z滿足x=y2−149+z2−149 ，y=x2−164+z2−164 ，z=x2−181+y2−181 ，則x+y+z=？

設實數x、y、z滿足，x=y2−116+z2−116y=z2−125+x2−125z=x2−136+y2−136，且x+y+z=mn，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求 m+n 之值。
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)


填充10.
在環 Z[x] 上，因式分解 x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18

方程式 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 ，方程式的最大實根為？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644)


104.7.5補充
填充4.
已知 \alpha>0 ，且 \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} 為一正整數，求 \alpha= ？
(出自99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)

104.12.6補充
填充5.
假設 a=\sqrt{2}+1 、 \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} 、 \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} 。比較 a,b,c 大小為何？
(出自100高中數學能力競賽　第二區(新店高中)口試試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html)

填充第3題的確有問題，忘了給 x 和 y 是非負實數


填充3.
若 f(x,y)=x^2y ，則在平面 x+2y=2 上， f(x,y) 的最大值與最小值之和為　　　。

第3題我一開始也覺奇怪
用三次多項式的微分求出極大極小值的確可解出16/27，
但他問最大值和最小值...
所以我當下沒寫答案
一直到打鐘前才死馬當活馬醫

感謝第七題回復作答方式
用泰勒真的太漂亮了(題目練習不夠，還無法想到泰勒展開是><)

我是用30度跟45度去看他的範圍發現答案介於約7.0(根號2/2)到8.5(根號3/2)之間
還在想要不要用內插法...
然後發現沒時間了
就猜7...
然後回家內插之後發現是8...

[ 本帖最後由 rueichi 於 2015-5-31 06:29 PM 編輯 ]

填充 7.
已知存在一正整數 n ，使得 \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5}<\frac{n+1}{10} 。求 n= ？

泰勒展開式 (Taylor Expansion)

\cos \frac35 = 1 - \frac12 \cdot 0.6^2 + \ldots = 0.82 + \frac{\cos(\xi)}{4!} \cdot 0.6^4

因此 |\cos \frac35 - 0.82 | \leq \frac{1}{4!}\cdot 0.6^4 < 0.006

故   0.814 < \cos \frac35 < 0.826 ，故所求 n = 8

想請教選擇2(D選項)、選擇3、選擇5、填充4
先謝謝版上的老師們，謝謝。

選擇2.
下列何者對質數的敘述為真？
(A)最大的質數大約是 10^{2^{37}} 位數
(B) 7663 為一質數
(C)存在一奇質數 p ，使得 p 和 p+2 不互質
(D)對所有奇質數 p ，存在整數對 (a,b) ，使得 6a+bp=3 成立
[解答]
(D)原式移項後 bp=-3(2a-1) ，對任意奇實數 p ，可以選 \displaystyle a= \frac{p+1}{2} , b=-3


選擇3.
設直線 y=kx+1 與曲線 x^2+y^2+kx-y=4 的兩個交點 (x_1,y_1) 、 (x_2,y_2) 對於直線 y=x 對稱，且 x_1 \neq x_2 ，則 x_1+x_2+y_1+y_2= ？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3
[解答]
(x_1,y_1) , (x_2,y_2) 對稱於 y=x ，表示 y=kx+1 與 y=x 垂直，可得 k=-1
代入 k=-1 即可求出 x_1,x_2,y_1,y_2

選擇5
有一圓半徑為1，圓心為 O ，線段 \overline{AB} 切圓於 A ，已知 ∠AOB=\theta ，若 ∠ABO 之角平分線 \overline{BC} 交 \overline{OA} 於 C ，則 \overline{OC} 長為？
(A) sec \theta-tan \theta 　(B) \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} 　(C) \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} 　(D)以上皆非
[解答]
如圖，因內分比， \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta
所以 \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta}

5.png (217.02 KB)

2015-6-1 16:07

想請問一下，填充九的答案是否有兩個?

我查過有關舒爾分解的部分，好像並不唯一?

詳解目前只缺這題，偏偏我線代苦手，請求板上大大協助!


填充9.
給定矩陣 A=\left[ \matrix{5 & -3 \cr 4 & -2} \right] ，若存在么正矩陣 U (Unitary Matrix)及三角矩陣 T (Triangular Matrix)使得 U^{-1}AU=T ，則 U= 　　　， T= 　　　。

填充第4題
已知 \alpha>0 ，且 \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} 為一正整數，求 \alpha= ？
[解答]
令a=\sqrt[3]{2+\sqrt{\alpha }},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{\alpha }},a+b=k\ ,\ k\in N
\begin{align}   & ab=\sqrt[3]{4-\alpha }<\sqrt[3]{4}<2 \\ &  \\ & {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}=4 \\ & {{k}^{3}}-3abk=4 \\ & ab=\frac{{{k}^{3}}-4}{3k}=\frac{{{k}^{2}}}{3}-\frac{4}{3k}<2 \\ & k=1\ or\ 2 \\ &  \\ & k=1,ab=-1,\alpha =5 \\ & k=2,ab=\frac{2}{3},\alpha =\frac{100}{27} \\ \end{align}