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104新北市高中聯招

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104新北市高中聯招

今年沒有計算題。
但80分鐘我還是有很多題沒算到,
只有我太弱覺得跟往年比起來今年很難嗎....> <

thepiano寫的解答
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 48a5b60aa4f58359c4c

附件

104新北聯招試題.pdf (265.48 KB)

2015-5-31 15:30, 下載次數: 3137

104新北聯招答案.pdf (240.83 KB)

2015-5-31 15:30, 下載次數: 2611

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題目是不是有問題

請問大家填充題第三題
如果用y=(2-x)/2替換掉後
f(x,y)不就變成x的三次多項式
但是三次多項式根本沒有最大值和最小值不是嗎?
這樣這題題目是不是有問題阿?

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選擇1.
設\( S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \),\( m \)表示\( S \)中任意兩個非空互斥子集合的總對數,若\( m \)除以10000的餘數為四位數\( abcd \),則\( a+b+c+d \)之值為何?
(A)13 (B)13 (C)12 (D)10
(2002AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_9)


填充1.
已知\( P \)為正方形\( ABCD \)內部一點,若\( \overline{AP}=7 \),\( \overline{BP}=5 \),\( \overline{CP}=1 \),則正方形ABCD之面積為?
(95北港高中,97玉井工商,100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)


填充7.
已知存在一正整數\( n \),使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5} <\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)?
[解]
\( f(x)=cos(x) \)的泰勒展開式為\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} \ldots \),\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.8254 \)
因為題目只要小數點以下第一位,所以代\( \displaystyle f(x)=1-\frac{x^2}{2!} \),\( \displaystyle f(\frac{3}{5})=0.82 \)也是正確的

\( \displaystyle \frac{2 \pi}{7} \)是特別角,所以有特別的方法
若\( \displaystyle \frac{n}{100}<2cos \frac{2 \pi}{7}<\frac{n+1}{100} \),\( n \in N \),則\( n= \)
(99建國中學,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


填充8.
設正實數\( x \)、\( y \)、\( z \)滿足\( \displaystyle x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}} \),\( \displaystyle y=\sqrt{x^2-\frac{1}{64}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{64}} \),\( \displaystyle z=\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{81}} \),則\( x+y+z= \)?

設實數x、y、z滿足,\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \),且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \),其中m、n是正整數,且n不能被任何質數的平方整除,試求\( m+n \)之值。
(2006AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)


填充10.
在環\( Z[x] \)上,因式分解\( x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18 \)

方程式\( 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 \),方程式的最大實根為?
(101松山工農,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644)


104.7.5補充
填充4.
已知\( \alpha>0 \),且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數,求\( \alpha= \)?
(出自99高中數學能力競賽 第二區(新店高中)筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)

104.12.6補充
填充5.
假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何?
(出自100高中數學能力競賽 第二區(新店高中)口試試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html)

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回復 2# tim 的帖子

填充第3題的確有問題,忘了給 x 和 y 是非負實數


填充3.
若\( f(x,y)=x^2y \),則在平面\( x+2y=2 \)上,\( f(x,y) \)的最大值與最小值之和為   

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第3題我一開始也覺奇怪
用三次多項式的微分求出極大極小值的確可解出16/27,
但他問最大值和最小值...
所以我當下沒寫答案
一直到打鐘前才死馬當活馬醫

感謝第七題回復作答方式
用泰勒真的太漂亮了(題目練習不夠,還無法想到泰勒展開是><)

我是用30度跟45度去看他的範圍發現答案介於約7.0(根號2/2)到8.5(根號3/2)之間
還在想要不要用內插法...
然後發現沒時間了
就猜7...
然後回家內插之後發現是8...

[ 本帖最後由 rueichi 於 2015-5-31 06:29 PM 編輯 ]

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回復 5# rueichi 的帖子

填充 7.
已知存在一正整數\( n \),使得\( \displaystyle \frac{n}{10}<cos \frac{3}{5}<\frac{n+1}{10} \)。求\( n= \)?

泰勒展開式 (Taylor Expansion)

\( \cos \frac35 = 1 - \frac12 \cdot 0.6^2 + \ldots = 0.82 + \frac{\cos(\xi)}{4!} \cdot 0.6^4\)

因此 \( |\cos \frac35 - 0.82 | \leq \frac{1}{4!}\cdot 0.6^4 < 0.006 \)

故 \(  0.814 < \cos \frac35 < 0.826 \),故所求 \( n = 8 \)
文不成,武不就

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想請教選擇2(D選項)、選擇3、選擇5、填充4
先謝謝版上的老師們,謝謝。

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回復 7# EZWrookie 的帖子

選擇2.
下列何者對質數的敘述為真?
(A)最大的質數大約是\( 10^{2^{37}} \)位數
(B)\( 7663 \)為一質數
(C)存在一奇質數\( p \),使得\( p \)和\( p+2 \)不互質
(D)對所有奇質數\( p \),存在整數對\( (a,b) \),使得\( 6a+bp=3 \)成立
[解答]
(D)原式移項後\( bp=-3(2a-1) \),對任意奇實數\( p \),可以選\( \displaystyle a= \frac{p+1}{2} \),\( b=-3 \)


選擇3.
設直線\( y=kx+1 \)與曲線\( x^2+y^2+kx-y=4 \)的兩個交點\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)對於直線\( y=x \)對稱,且\( x_1 \neq x_2 \),則\( x_1+x_2+y_1+y_2= \)?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
[解答]
\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \)對稱於\( y=x \),表示\( y=kx+1 \)與\( y=x \)垂直,可得\( k=-1 \)
代入\( k=-1 \)即可求出\( x_1,x_2,y_1,y_2 \)

選擇5
有一圓半徑為1,圓心為\( O \),線段\( \overline{AB} \)切圓於\( A \),已知\( ∠AOB=\theta \),若\( ∠ABO \)之角平分線\( \overline{BC} \)交\( \overline{OA} \)於\( C \),則\( \overline{OC} \)長為?
(A)\( sec \theta-tan \theta \) (B)\( \displaystyle \frac{tan \theta}{1+sin \theta} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{1+sin \theta} \) (D)以上皆非
[解答]
如圖,因內分比,\( \overline{OC}:\overline{CA}=\overline{BO}:\overline{BA}=sec \theta:tan \theta \)
所以\( \displaystyle \overline{OC}=\frac{sec \theta}{sec\theta+tan \theta}=\frac{1}{1+sin \theta} \)

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想請問一下,填充九的答案是否有兩個?

我查過有關舒爾分解的部分,好像並不唯一?

詳解目前只缺這題,偏偏我線代苦手,請求板上大大協助!


填充9.
給定矩陣\( A=\left[ \matrix{5 & -3 \cr 4 & -2} \right] \),若存在么正矩陣\( U \)(Unitary Matrix)及三角矩陣\( T \)(Triangular Matrix)使得\( U^{-1}AU=T \),則\( U= \)   ,\( T= \)   
千金難買早知道,萬般無奈想不到

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回復 7# EZWrookie 的帖子

填充第4題
已知\( \alpha>0 \),且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數,求\( \alpha= \)?
[解答]
令\(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{\alpha }},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{\alpha }},a+b=k\ ,\ k\in N\)
\(\begin{align}
  & ab=\sqrt[3]{4-\alpha }<\sqrt[3]{4}<2 \\
&  \\
& {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}=4 \\
& {{k}^{3}}-3abk=4 \\
& ab=\frac{{{k}^{3}}-4}{3k}=\frac{{{k}^{2}}}{3}-\frac{4}{3k}<2 \\
& k=1\ or\ 2 \\
&  \\
& k=1,ab=-1,\alpha =5 \\
& k=2,ab=\frac{2}{3},\alpha =\frac{100}{27} \\
\end{align}\)

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