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103台中二中

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103台中二中

已公布試題,請各位老師享用

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-25 08:15 AM 編輯 ]

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103臺中二中題目.pdf (74.92 KB)

2014-5-24 19:18, 下載次數: 2380

103臺中二中答案.pdf (57.41 KB)

2014-5-24 19:18, 下載次數: 1991

103臺中二中LibreOffice檔.zip (69.62 KB)

2014-5-25 08:15, 下載次數: 1283

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4.
設有一奇數n以及角度\( \theta \),使得聯立方程式\( \displaystyle \cases{3^n y+(sin 2\theta)^n z=0 \cr (1+sec \theta)^n x+z=0 \cr -x+(1+csc \theta)^n y=0} \)的解\( (x,y,z) \)不只一組,則\( sin\theta+cos \theta \)為  
(98筆試一,臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)


5.
設\( 0 \le x \le 2 \pi \),\( 0 \le y \le 2 \pi \),則方程式\( \displaystyle cos4x+2sin^2 \frac{y}{2}=1 \)之圖形所圍成的區域面積為  
(92筆試二,臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)


9.
4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4,不能缺少也不能重複,粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4,不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則,則共有  種不同的方法。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897


10.
木匠師父把一個邊長2公分的正方體,雕琢成一個實心的物體,由上方俯視為邊長2公分的正方形,前視圖及右視圖皆是半徑1公分的圓,則此物體的最大體積為 (10) 立方公分。
牟合方蓋

求計算\( x^2+y^2\le 1 \),\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)



GGB檔下載


計算4.
甲袋裝有1個黑球和\( (k-1) \)個白球,而乙袋裝有k個白球(\( k \ge 2 \))。今從甲袋與乙袋同時取出一球放入對方袋中,這動作稱為換球一次。對每個正整數n,令\( P_n \)表示換球n次後,黑球仍在甲袋的機率。
試求:(1)\( P_n \)  (2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)
(96筆試一,臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)
(103桃園高中,https://math.pro/db/thread-1881-1-1.html)
解答下載

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-24 09:00 PM 編輯 ]

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填3:  (98南一中類似考題)
下面度省略
如附件圖,假設O(0,0)
A1:z1=(1/2)(cos60+i*sin60)     ,a1=OA1=1/2
A2:z2=(z1)(1/2)(cos60+i*sin60)     ,a2=OA2=1/4
A3:z3=(z2)(1/2)(cos60+i*sin60)      ,a3=OA3=1/8
.......
(A1A2)²=(1/2)²+(1/4)²-2(1/2)(1/4)cos60
A1A2=√3 /4
易知所求為首項=√3 /4,公比=1/2 的無窮等比級數和
=(√3 /4) / (1-1/2)
=√3 / 2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 09:04 PM 編輯 ]

附件

複數線段和.png (209.84 KB)

2014-5-24 14:37

複數線段和.png

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填充8:
如附件.gif
[(x-3)²+(y-2)²]^0.5 +(y+4) =10
整理得(x-3)²= -8(y-4)
-5<x<11

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 04:03 PM 編輯 ]

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拋物線軌跡2e.gif (1.88 MB)

2014-5-24 16:03

拋物線軌跡2e.gif

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請問填充2和5,感恩!

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第5題
\(\begin{align}
  & \cos \left( 4x \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \frac{y}{2} \right) \\
& \cos \left( 4x \right)=\cos \left( y \right) \\
\end{align}\)
......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-24 09:41 PM 編輯 ]

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因為也是算到這卡住,能否請鋼琴老師再詳細說明一下,謝謝。

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引用:
原帖由 loveray 於 2014-5-24 09:58 PM 發表
因為也是算到這卡住,能否請鋼琴老師再詳細說明一下,謝謝。
幫忙回答,如附件
cos(4x)=cosy
case(i) :
4x=y+2kπ (k= -1,0,1,2,3,4)
case(ii):
4x= -y+2kπ (k=0,1,2,3,4,5)
易知所求紅色面積占正方形ABCD的3/8
所求=(2π)*(2π)*3/8=3π²/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 10:57 PM 編輯 ]

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cos4x=cosy區域面積.png (269.29 KB)

2014-5-24 22:45

cos4x=cosy區域面積.png

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請問填充2和7,感恩!

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回復 5# loveray 的帖子

填充第2題:
只能提供庶民法:
因這題統計的範圍涵蓋全班,故以下我所用的估計全以母體為基準
假設全班有n人,每個人的選擇題為x分,計算題為y分,則根據題意,
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{n}=52,\frac{\sum{{{y}_{i}}}}{n}=18,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{x}_{i}}^{2}}-{{52}^{2}}}=8,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{y}_{i}}^{2}}-{{18}^{2}}}=15\), 可推知
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}={{8}^{2}}+{{52}^{2}},\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}={{15}^{2}}+{{18}^{2}}\) 及每個人的數學平均 \(\frac{\sum{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}}{n}=70\)
又由相關係數已知 \(0.6=\frac{\frac{1}{n}\sum{\left( {{x}_{i}}-52 \right)\left( {{y}_{i}}-18 \right)}}{8\cdot 15}\Rightarrow \frac{\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}=18\cdot 56\)
故所求為\[\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}^{2}}}-{{70}^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{2\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}-{{70}^{2}}}=\sqrt{433}\]

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:34 PM 編輯 ]

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