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93台南女中

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93台南女中

第一次來這裡發文,試試看,想請教第6題

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93台南女中.pdf (93.95 KB)

2021-4-8 11:28, 下載次數: 256

93台南女中答案.pdf (29.56 KB)

2021-4-8 11:28, 下載次數: 206

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回復 1# chihming 的帖子

第 6 題

不大於 1000 的自然數中

除以 3 餘 1,且為 5 的倍數:10、25、40、......、1000,有 67 個

除以 3 餘 1,且為 25 的倍數:25、100、175、......、1000,有 14 個

除以 3 餘 1,且為 125 的倍數:250、625、1000,有 3 個

除以 3 餘 1,且為 625 的倍數:625,有 1 個

所求 = 67 + 14 + 3 + 1

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93年台南女中

謝謝喔,這套系統,果然快又好用。
想請教第四題,lagrange multiplier 的解法 ~~
感恩 ~~

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回復 3# chihming 的帖子

這種題目都是先移軸再轉軸成標準式
最近幾年教甄幾乎都不考這種題目了

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回復 3# chihming 的帖子

第四題
非 lagrange multiplier 的解法
設 \( (x,y)=(4+r\cos\theta,3+r\sin\theta), r \geq 0\)
代入 \(4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145=4(x-4)^{2}-24(x-4)(y-3)+11(y-3)^{2}-20=0\)
整理可得 \(\displaystyle 7\cos2\theta+24\sin2\theta=15-\frac{40}{r^2}\)
因此 \(r^2 \geq 1\)  (疊合)
得 \( r\geq 1\)

lagrange multiplier 的解法
設 \(f(x,y)=4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145\)
,\(g(x,y)=(x-4)^{2}+(y-3)^{2}\)
則 \(\nabla f(x,y)=[8x-24y+40,-24x+22y+30]\)
,\(\nabla g(x,y)=[2(x-4),2(y-3)]\)
若 \(g(x,y)\) 在條件 \(f(x,y)=0\) 上有極值,則 \(\nabla g(x,y)=\lambda \nabla f(x,y)\)
即 \(\displaystyle \frac{8x-24y+40}{2(x-4)}=\frac{-24x+22y+30}{2(y-3)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4x-12y+20}{x-4}=\frac{-12x+11y+15}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4(x-4)-12(y-3)}{x-4}=\frac{-12(x-4)+11(y-3)}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4-12\frac{y-3}{x-4}=11-12\frac{x-4}{y-3}\)
設 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t\),得 \(12t^{2}-7t-12=0\) 即 \(\displaystyle t=\frac{4}{3} \vee -\frac{3}{4}\)
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=\frac{4}{3}\),設 \((x,y)=(4+4s,3+3s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=-\frac{4}{65}\) 矛盾
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=-\frac{3}{4}\),設 \((x,y)=(4-3s,3+4s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=\frac{1}{25}\)
因此 \(g(x,y)\) 有極值 \(25s^{2}=1\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-4-18 22:54 編輯 ]

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93年台南女中

太讚了!! 謝謝! 樓上那位!!
       想再請教 第3題
            (1) 為啥 不是   C(4,4)*C(6,3)/C(10,7)  =1/6

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回復 6# chihming 的帖子

因爲取後不放回

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93年台南女中

那正確應該怎麼算呢?

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回復 8# chihming 的帖子

第 3 題 (1)

前 6 次 3 紅 3 白,第 7 次紅

前 6 次有 C(6,3) = 20 種情形
每一種的機率都等於 (4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)
第 7 次的機率是 1/4

所求 = 20 * [(4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)] * (1/4)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-9 13:21 編輯 ]

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不好意思想借這裡問一下第一題跟第七題
第一題我硬除爆開來的確是可以找到規律,不過有沒有更好的方法呢
第七題我看了答案然後把微分的結果代答案的確是沒錯,但就只是印證答案而已
謝謝!

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