想先問一下填充6和計算2,3....感恩

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-19 07:12 AM 編輯 ]

6. 坐標平面上三角形ABC﹐其中A(2, 1)，......，試問直線BC方程式 。
直線L1：x+y=1
直線L2：x-2y=2
A對L1做對稱點(0,-1)
A對L2做對稱點(14/5,-3/5)
所作之對稱點會在BC直線上

另外小弟想要請教一下第一題，我相減之後>0討論a、b、c三者為正或負或0的情形之下。
不知有無更快作法?

計算 1. 秒證，展開 \( (a-b)(b-c)(c-a) < 0 \)，移項得證

順帶放幾個填充 6 的類題

(1) 101文華高中：\( \triangle ABC \) 中，\( A(2,-4) \)，若 \( \angle B \)、\( \angle C \) 之角平分線分別為 \( L_{1}:\, x+y-2=0 \) 及 \( L_{2}:\, x-3y-6=0 \)，則 \( \overleftrightarrow{BC} \) 之方程式為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。     

(2) 98曉明女中：\( \triangle ABC \) 中，\( A \) 坐標為 \( (-7,15) \)，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分線方程式各為 \( 2x-y+4=0 \), \( x+7y+2=0 \)，求 \( B \) 點和 \( C \) 點的坐標。

填充 8 類題

(1) 100文華高中代理：\( \lim\limits _{x\to4}\frac{\int_{4}^{x}\frac{1}{t+\sqrt{t}}dt}{x-4} \)。

(2) 100文華高中代理：若 \( f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}dt \)，試求 \( f''(1) \)。

(3) 98台北縣聯招：設 \( F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}t}dt \)，則導函數 \( F'(x) \) 為何？

(4) 99家齊女中： \( \lim\limits _{x\to0}\frac{\int_{x^{2}}^{x^{3}}\sqrt{1+t^{2}}dt}{x^{2}}=\underline{\qquad\qquad} \)。

填充 9 類題

(1) 100中正高中：已知平面上一點 P，其到正 \( \triangle ABC \) 的三個頂點距離分別為 1, 2, 3，試求正 \( \triangle ABC \) 的面積。

(2) 99松山高中、102南科實中：正 \( \triangle ABC \) 內部一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=6 \), \( \overline{PB}=8 \), \( \overline{PC}=10 \)，求 \( \triangle ABC \) 面積。

(3) 100師大附中、100苑裡高中：設 \( \triangle ABC \) 為等邊三角形，\( D \) 為 \( \triangle ABC \) 內的點。已知 \( \overline{DA}=13 \), \( \overline{DB}=12 \), \( \overline{DC}=5 \)，求 \( \triangle ABC \) 的邊長 。

(4) 99萬芳高中：\( ABCD \) 為正方形, \( P \) 為內部一點, \( \overline{PA}=3 \), \( \overline{PB}=4\sqrt{2} \), \( \overline{PD}=5\sqrt{2} \)，求正方形 \( ABCD \) 的面積。

(5) 100彰化藝術暨田中高中：已知 \( P \) 為正方形 \( ABCD \) 內部的一點，若 \( \overline{AP}=7,\,\overline{BP}=5,\,\overline{CP}=1 \)，試求正方形 \( ABCD \) 的面積。

(6) 正方形 \( ABCD \) 中一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=7,\,\overline{PB}=3,\,\overline{PC}=5 \)，求此正方形的的面積。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 ]

計算3：
提供一個無美感的硬算：
\(f'\left( x \right)=\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}g\left( x \right)\), 其中\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)\)
(1) 觀察\(x=b\)跟 \(g\left( x \right)=0\) 的兩根為產生極值的地方
(2) 由勘根知\(g\left( x \right)=0\) 的兩根分別落在區間 \(\left( a,b \right),\left( b,c \right)\), 故可推知 \(b=0\)
(3) 最後，\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)=6\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\)
代 \(x=0\Rightarrow ac=-3,x=a\Rightarrow a\left( a-c \right)=6\left( {{a}^{2}}-1 \right)\), 解出 \(a=\frac{-3}{\sqrt{5}},c=\sqrt{5}\)

計算2：
令\(P\left( i \right),P'\left( i \right)\)分別代表甲乙擲到最大點數為\(i\)之機率，則
\(P\left( i \right)=\frac{2i-1}{{{6}^{2}}},P'\left( i \right)=\frac{3{{i}^{2}}-3i+1}{{{6}^{3}}},1\le i\le 6\), 則甲獲勝之機率為
\(\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( P\left( k \right)\sum\limits_{i=1}^{k}{P'\left( i \right)} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( \frac{2k-1}{{{6}^{2}}}\cdot {{\left( \frac{k}{6} \right)}^{3}} \right)}=\frac{1}{{{6}^{5}}}\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( {{k}^{3}}\left( 2k-1 \right) \right)}>\frac{1}{2}\)
最後面的計算我是先寫開，然後估計一下分子分母的千位數得知，不知道有沒有更好的估計法，故本題甲獲勝的機率較大。


若手殘算錯也請大家幫小弟指證~遇到這種問題好像都很常算錯~唉

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 02:14 PM 編輯 ]

感恩 謝謝

填 7.

第一個方程移項可得 \( 2^x = 4 -x \)，由 \( y = 2^x,  y=4-x \) 兩函數圖形知方程式有唯一解 \( x = \alpha \)

\( 2^{4-x} = x \)，令 \( x' = 4-x \)，則 \( 2^{x'} = 4-x' \)，故此方程式之解亦為 \( x' = \alpha \Rightarrow \beta = 4 - \alpha \Rightarrow \alpha + \beta  =4 \)

填 8. 微積分基本定理，積分均值定理

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 ]

想請問計算第三題 為何當x=c時不可能發生極值

因為極值會發生在一階導數由正轉負或由負轉正的瞬間
這是一階導數測試法的精神，而本題在x=c的附近f'(x)為同號，
故不會產生極值

舉例來說 , y=x^3 在x=0 的附近就是這個情況
希望這樣能解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 11:21 PM 編輯 ]

填充第十題，我算出來的答案是241，正確答案是241/4，想請問哪邊我沒有考慮到？

\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)\left( x-\gamma  \right)\left( x-\delta  \right)\)

是不是前面這個2 ?