找2x2+y2+(2x−y+3)2的最小值。

我是把它全部乘開整理，不過好像觀察不出結果。

想請問該如何解？

[x^2 + x^2 + y^2 + (2x - y + 3)^2][(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 1^2] ≧ (-x - x + y + 2x - y + 3)^2

解一：

令 z=2x−y+3，題目相當於…

已知 2x−y−z=−3，求 2x2+y2+z2 的最小值。

可用柯西不等式，求得最小值。

註：感謝 thepiano 老師提醒小弟的筆誤（已修正）。

若令 x=2x ，則所求＝原點(000)到平面
2x−y−z=−3  距離的平方值。


解二：直接用柯西不等式，

2x2+y2+2x−y+32−22+12+12 

解三：

完全展開，以 x 為未知數降次排列，配方，剩下的有 y 的部份，再以 y 為未知數，再配方，可得最小值。

解四：

將 2x2+y2+(2x−y+3)2 完全展開，令其為 f(xy)，解 xf(xy)=0xf(xy)=0，可得極值發生時的 xy 值，帶回 f(xy) 可得極值。

解五：

同解一的開頭，找出限制方程式與欲求極值的函數，但改用 Lagrange 乘數法（可 google，維基百科應該有介紹）。

我了解了！！謝謝你們的回答～

解六：令原式為 k，展開寫成 x 的一元二次方程式，因為 x 為實數，所以判別式 0，可得 y 的一元二次式恆非負，再由 y 的一元二次式的判別式恆非正，可得 k 的範圍。

另，應該可以再由二元二次式的旋轉與平移（橢圓）下手也來個另解，交給有緣人了。 :p

weiye 老師的另，寫起來其實和解四一樣，只是觀點不同。

展開平移旋轉後為 Ax2+By2+C ，易知 AB0 (不需要計算 AB)

故 Ax2+By2+CC，最小值即為 C。而 C 的值即解 4 的計算 (將橢圓中心點坐標代入目標函數)