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請教一題二元二次函數求極值

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請教一題二元二次函數求極值

找 2*x^2+y^2+(2*x-y+3)^2 的最小值。

我是把它全部乘開整理,不過好像觀察不出結果。

想請問該如何解?

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[x^2 + x^2 + y^2 + (2x - y + 3)^2][(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 1^2] ≧ (-x - x + y + 2x - y + 3)^2

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回復 1# Amis 的帖子

解一:

令 \(z=2x-y+3\),題目相當於…

已知 \(2x-y-z=-3\),求 \(2x^2+y^2+z^2\) 的最小值。

可用柯西不等式,求得最小值。

註:感謝 thepiano 老師提醒小弟的筆誤(已修正)。

若令 \(x'=\sqrt{2} x\),則所求=原點\((0, 0, 0)\)到平面
\(\sqrt{2} x'-y-z=-3\) 距離的平方值。


解二:直接用柯西不等式,

\(\left(\left(\sqrt{2} x\right)^2+y^2+\left(2x-y+3\right)^2\right)\left(\left(-\sqrt{2}\right)^2+1^2+1^2\right)\geq\cdots\cdots\)

解三:

完全展開,以 \(x\) 為未知數降次排列,配方,剩下的有 \(y\) 的部份,再以 \(y\) 為未知數,再配方,可得最小值。

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回復 3# weiye 的帖子

解四:

將 \(2x^2+y^2+(2x-y+3)^2\) 完全展開,令其為 \(f(x, y)\),解 \(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=0\),可得極值發生時的 \(x, y\) 值,帶回 \(f(x, y )\) 可得極值。

解五:

同解一的開頭,找出限制方程式與欲求極值的函數,但改用 Lagrange 乘數法(可 google,維基百科應該有介紹)。

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我了解了!!謝謝你們的回答~

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回復 4# weiye 的帖子

解六:令原式為 \(k\),展開寫成 \(x\) 的一元二次方程式,因為 \(x\) 為實數,所以判別式 \(\geq0\),可得 \(y\) 的一元二次式恆非負,再由 \(y\) 的一元二次式的判別式恆非正,可得 \(k\) 的範圍。

另,應該可以再由二元二次式的旋轉與平移(橢圓)下手也來個另解,交給有緣人了。 :p

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回復 6# weiye 的帖子

weiye 老師的,寫起來其實和解四一樣,只是觀點不同。

展開平移旋轉後為 \( Ax^2 + By^2 +C\) ,易知 \( A, B >0 \) (不需要計算 \(A, B\))

故 \( Ax^2+By^2 +C \geq C \),最小值即為 \( C \)。而 \(C\) 的值即解 4 的計算 (將橢圓中心點坐標代入目標函數)
文不成,武不就

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