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100麗山高中第二次

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100麗山高中第二次

題目和答案請見附件

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100麗山高中第二次.rar (126.75 KB)

2011-6-26 07:49, 下載次數: 2312

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1.
空間坐標中,光源自點\( P(-1,0,4) \)發出,球\( S:x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)在xy平面上的影子形成一個橢圓,則此橢圓的短軸長為?

空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2,由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的影子輪廓的方程式
(98國立臺中一中期中考試題)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid2946


5.
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \),求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)?

設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \),試求\( a_1+a_2+...+a_{99}= \)?
(97台中高工)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \sqrt{n+2}+(n+2) \sqrt{n+1}}= \)?
(1)\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (2)1 (3)\( 2 \sqrt{2} \) (4)2

(98桃園縣國中聯招)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 08:12 AM 編輯 ]

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想請教第1題的部份

引用:
原帖由 bugmens 於 2011-6-26 08:06 AM 發表
1.
空間坐標中,光源自點\( P(-1,0,4) \)發出,球\( S:x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)在xy平面上的影子形成一個橢圓,則此橢圓的短軸長為?

空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2,由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的 ...
bugmens 您好~
請問您檔案中最後一步...
相似形的那裡不太懂@@
為什麼光源(0,4,4)  球心(0,2,2)
但您相似三角形那個部分長度寫2呢
不是(2根號2)嗎
想不通@@
感謝您指點!!

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你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸,y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4),球心視為(0,0,2)故兩點距離2

當初製作時忽略到這細節的部份,希望這樣的解釋能讓你了解

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 02:26 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 bugmens 於 2011-6-26 02:22 PM 發表
你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸,y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4),球心視為(0,0,2)故兩點距離2

當初製作時忽略到這細節的部份,希望這樣的解釋能讓你了 ...
原來是這樣~
懂了!
謝謝您!!

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第一題
弄懂bugmens老師的解法
還有解題過程中投影的想法再去找資料
有找到另一種解答
不過有很多記號

將定點\(P\)往球\(S\)投影的情形看成圓錐面\(\Omega\)
\(\Omega\)與球\(S\)的切圓記為圓\(C\)
包含圓C的平面記為\(E_1\)
將\(xy\)平面記為\(E_2\)
則題目中提到的投影形狀,就是平面\(E_2\)截圓錐面\(\Omega\)所得的橢圓\(\Gamma\)

令圓錐\(\Omega\)的頂角為\(\theta\),\(E_1\)與\(E_2\)所夾兩面角為\(\phi\)
由離心率的定義可得
\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sin\phi}{\cos\theta}\)

以上是對一般平面截圓錐所得的橢圓都成立的。

針對這個題目
光源\( P(-1,0,4) \)和球心\( O(0,0,1) \)剛好都在\(xz\)平面上
把整個圖形投影到\(xz\)平面(附件圖)
頂角\(\theta\)和兩面角\(\phi\)都標記在上面
\(\sin\phi\)即\( \overrightarrow{PO}\)和\(\overrightarrow{OH}\)夾角餘弦值,得\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\cos\theta\)則利用\( \overrightarrow{PO}\)和\(\overrightarrow{PF}\)去計算,得\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
所以離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sin\phi}{\cos\theta}=\frac{1}{3}\)

計算切線\(\overleftrightarrow{PE}: z=-\frac{4}{3} x+\frac{8}{3}\)
可得\(2a=\overline{EF}=3\),\(a=\frac{3}{2}\),由\(e=\frac{1}{3}\)得\(c=\frac{1}{2}\)
最後\(b^2=a^2-c^2\),\(b=\sqrt{2}\),短軸長\(2\sqrt{2}\)

[ 本帖最後由 fortheone 於 2012-2-19 01:26 PM 編輯 ]

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2012-2-19 13:26

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想請問填充第2,3,4 題

想請問填充第2,3,4 題,以及計算題的題目,謝謝。

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填充2.
有一撞球臺如右圖所示,曲線部分Γ是一個拋物線,若\( \overline{AB} \)與Γ的軸垂直,\(\overline{AB}=20\),今小明自\(P\)處將球平行Γ之軸向\(Q\),經反彈到\(R\),最後再反彈到\(S\),若\(\overline{AP}=2\),\(\overline{BS}=8\),則拋物線Γ的焦距為   
[解答]
不妨設坐標, 原點在頂點, \(x\) 軸在對稱軸上, 拋物線開口向右
拋物線方程式可設為 \(y^2=4cx\), 焦點 \( (c,0)\).
又 \(\overline{AB} =20\), \(\overline{AP}=2\), \(\overline{BS}=8\), 故 \(P\), \(Q\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(8\); \(R\), \(S\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(-2\).
由光學性質可知, \(\overline{PQ}\) 通過焦點, 可設直線方程式為 \(y=m(x-c)\)
將 \(y^2=4cx\) 與 \(y=m(x-c)\) 聯立消去 \(x\), 可得 \( y^2 -\frac{4c}{m}y -4c^2 =0\)
且此方程式兩根為 \(8\) 與 \( -2\)
故兩根之積 \( -16 = -4c^2\), 可得 \(c=2\).


填充3.
函數\(f(x)=(sinx+cosx)^3+(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)+2\)的最大值為\(M\),最小值為\(m\),則數對\((M,m)-\)   
[解答]
設 \(t=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x+45^\circ) \), 故 \( -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\).
令 \(g(t) = t^3 + t^2 - t +2 \),
可利用微分找出 \( g(t) \) 在 \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) 之間的最大最小值.


填充4.
求:\( \displaystyle 1 \times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +3 \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +5\times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+\ldots+ \)
\( \displaystyle +197 \times \left(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+199 \times \frac{1}{100} \)的值為   
[解答]
原式重新整理可得
\( \displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1+3}{2} + \frac{1+3+5}{3} + \frac{1+3+5+7}{4} + \cdots + \frac{1+3+\cdots+199}{100}\)
\(\displaystyle =\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{2} +\frac{3^2}{3} + \cdots + \frac{100^2}{100}\)
\(=1+ 2+ 3+ \cdots + 100=5050\)

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回復 8# scale 的帖子

利用微分算出最大值為1,但解答的最大值為\(4+\sqrt{2}\),不知是哪裡有問題? 請指教

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引用:
原帖由 Jacob 於 2012-5-23 01:15 AM 發表
利用微分算出最大值為1,但解答的最大值為4+根號2,不知是哪裡有問題? 請指教
g'(t)=0 ,所解出的t=-1,1/3 ,這些代入g(t)後只能求出極大值,極小值
要算最大值還要將端點值(t=-2^0.5,t=2^0.5)代入g(t)
當t=2^0.5時,g(t)有最大值4+2^0.5

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