填充2.
有一撞球臺如右圖所示，曲線部分Γ是一個拋物線，若\( \overline{AB} \)與Γ的軸垂直，\(\overline{AB}=20\)，今
小明自\(P\)處將球平行Γ之軸向\(Q\)，經反彈到\(R\)，最後再反彈到\(S\)，若\(\overline{AP}=2\)，\(\overline{BS}=8\)，則拋物線Γ的焦距為
。
[解答]
不妨設坐標, 原點在頂點, \(x\) 軸在對稱軸上, 拋物線開口向右
拋物線方程式可設為 \(y^2=4cx\), 焦點 \( (c,0)\).
又 \(\overline{AB} =20\), \(\overline{AP}=2\), \(\overline{BS}=8\), 故 \(P\), \(Q\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(8\); \(R\), \(S\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(-2\).
由光學性質可知, \(\overline{PQ}\) 通過焦點, 可設直線方程式為 \(y=m(x-c)\)
將 \(y^2=4cx\) 與 \(y=m(x-c)\) 聯立消去 \(x\), 可得 \( y^2 -\frac{4c}{m}y -4c^2 =0\)
且此方程式兩根為 \(8\) 與 \( -2\)
故兩根之積 \( -16 = -4c^2\), 可得 \(c=2\).
填充3.
函數\(f(x)=(sinx+cosx)^3+(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)+2\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)-\)
。
[解答]
設 \(t=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x+45^\circ) \), 故 \( -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\).
令 \(g(t) = t^3 + t^2 - t +2 \),
可利用微分找出 \( g(t) \) 在 \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) 之間的最大最小值.
填充4.
求：\( \displaystyle 1 \times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +3 \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +5\times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+\ldots+ \)
\( \displaystyle +197 \times \left(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+199 \times \frac{1}{100} \)的值為
。
其他類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317
[解答]
原式重新整理可得
\( \displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1+3}{2} + \frac{1+3+5}{3} + \frac{1+3+5+7}{4} + \cdots + \frac{1+3+\cdots+199}{100}\)
\(\displaystyle =\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{2} +\frac{3^2}{3} + \cdots + \frac{100^2}{100}\)
\(=1+ 2+ 3+ \cdots + 100=5050\)
