裂項相消
在數列與級數都會提到\( \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+...+\frac{1}{n \cdot (n+1)} \)這類的題目，將每一項分成一個加和一個減的兩項造成相消，所以才被稱為裂項相消。
歷屆教甄還考了很多題用到裂項相消的題目，這次的筆記值得各位網友用心準備。
2009.10.10補充
https://math.pro/db/thread-442-1-4.html
2009.10.27補充
\(1*1!+2*2!+3*3!+...+250*250! \pmod{2008}\)
https://artofproblemsolving.com/community/c4h304317
2009.11.29補充
數列\( \{y_n \} \)滿足\( y_1=1 \)且\( \displaystyle y_{k+1}=\frac{1}{2}y^2_k+y_k \)，\( k=1,2,3,... \)，已知\( \displaystyle A \le \frac{2}{y_1+2}+\frac{2}{y_2+2}+...+\frac{2}{y_{2008}+2}<A+1 \)，其中A為整數。試求A之值。
(97高中數學能力競賽 台灣省第二區筆試(一)試題)
2009.12.06補充
設一數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 a_4...a_n+1 \)試證明：\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}<1 \)
(中一中 合作盃數學金頭腦 第11次有獎徵答)
101.1.12修正
最後一項應該是\( \displaystyle \frac{1}{a_n} \)。
2010.1.22補充
Let \( S=1!(1^2+1+1)+2!(2^2+2+1)+3!(3^2+3+1)+...+100!(100^2+100+1) \). What is the value of \( \displaystyle \frac{S+1}{100!} \)
https://artofproblemsolving.com/community/h326518
2010.2.23補充
\( \displaystyle g(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)}= \)？
https://artofproblemsolving.com/community/c6h333174
2010.2.27補充
設\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n} \)，\( n=0,1,2,... \)。已知\( a_0=1 \)，則\( a_{2008}= \)？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
2010.3.21補充
Evaluate:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k \sqrt{k+2}+(k+2)\sqrt{k}} \)
https://artofproblemsolving.com/community/c4h339716
2010.4.18補充
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
104.4.29補充
求\( \displaystyle \sum_{k=3}^{2015}\frac{k}{k!+(k-1)!+(k-2)!} \)之值。
(104彰化高中預備試題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2235&page=1#pid13093)
111.2.1補充
令\(\displaystyle S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{8}{6!+7!+8!}=\frac{p}{q}\)，其中\(p,q\)互質，若\(p+1\)為五位數，則此五位數的五個數字總和為
。
(108中正預校國中部，
https://math.pro/db/thread-3130-1-1.html)
111.6.3補充
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\ldots+\frac{(n+2)}{n!+(n+1)!+(n+2)!}\right]=\)
。
(111彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html)
2010.5.27補充
求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{997}(-1)^k C_k^{1998} \)的值。
[提示]
\( \displaystyle C_k^n=C_{k-1}^{n-1}+C_k^{n-1} \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}5^{n-1} \)
[提示]
\( \displaystyle \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{5}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} \)
2010.7.5補充
求\( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{64\sqrt{63}+63\sqrt{64}} \)之值為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{5}{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{5}{6} \) (C)\( \displaystyle \frac{7}{8} \) (D)\( \displaystyle \frac{8}{9} \)
(99南台灣國中聯招)
2010.7.8補充
求\( \displaystyle \frac{1}{4 \times 1^4+1}+\frac{2}{4 \times 2^4+1}+\frac{3}{4 \times 3^4+1}+...+\frac{100}{4 \times 100^4+1} \)
第六屆培正數學邀請賽，決賽（中一組）
h ttp://www.mathdb.org/resource_sharing/c_resource_06.htm 連結已失效
[提示]
\( \displaystyle \frac{n}{4n^4+1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n^2-2n+1}-\frac{1}{2n^2+2n+1}) \)
110.2.11補充
設\(n\in N\)，\(n\ge 2\)，令\(\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{1+k^2+k^4}\)，\(\displaystyle B_n=\prod_{k=2}^n \frac{k^3-1}{k^3+1}\)，求\(A_n\cdot B_n\)。
(109高中數學能力競賽 中投區複試筆試一，
https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)
[提示]
\(\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{1+k^2+k^4}=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k^2-k+1)(k^2+k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{k^2+k+1}\right)\)
2010.7.19補充
級數\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1}= \)？
①\( \displaystyle \frac{1}{2} \) ②\( \displaystyle \frac{1}{4} \) ③\( \displaystyle \frac{1}{3} \) ④\( \displaystyle \frac{1}{6} \)
(99中區六縣市策略聯盟國中聯招)
112.7.7補充
計算\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{1+k^2+k^4}\)之值為
。
(112羅東高工，
https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html)
2010.10.3補充
Find sum of infinite series.
\( \displaystyle \frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+\frac{9}{400}+\frac{11}{900}+... \)
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=369797
2010.10.16補充
Let \( \displaystyle a_n=\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}+\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2} \)，\( n \ge 1 \). Evaluate \( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{20}} \).
h ttp://purplecomet.org/welcome/practice的Fall 2003 Meet 連結已失效
2010.11.25補充
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{4 \times 2^2}{(2^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 3^2}{(3^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 4^2}{(4^2-1)^2}}+......+\sqrt{1+\frac{4 \times 20^2}{(20^2-1)^2}}= \)？
2009年青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選決賽
2011.1.9補充
Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1968_IMO_Problems)
點題號有解答
2011.1.15補充
數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \)，求\( a_{100} \)的整數部分？
[提示]
\( \displaystyle a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2} \)，再證明\( \frac{1}{a_n^2}\le \frac{1}{2^2} \)，\( n \ge 2 \)
2011.1.16補充
設\( \displaystyle S_n=\frac{1}{3P_1^1}+\frac{1}{4P_2^2}+\frac{1}{5P_3^3}+...+\frac{1}{(n+2)P_n^n} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n \)。
(98士林高商，
https://math.pro/db/thread-890-1-1.html)
105.6.10補充
設\(a_n\)為\((3-\sqrt{x})^n\)展開式中\(x^2\)項的係數\((n \ge 4)\)，試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\frac{3^4}{a_4}+\frac{3^5}{a_5}+\frac{3^6}{a_6}+\ldots+\frac{3^n}{a_n})\)。
(105高雄餐旅大學附屬高中，
https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)
2011.3.2補充
Find the value of \( \displaystyle \frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+... \).
https://artofproblemsolving.com/community/c4h394473
2011.5.29補充
數列\( \displaystyle \frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2}，\frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2}，\frac{8 \cdot 3}{5^2 \cdot 7^2}，...，\frac{8 \cdot 8n}{(2n-1)^2 \cdot (2n+1)^2}，... \)，若\( S_n \)表前n項之和，且\( \displaystyle S=\lim_{n \to \infty}S_n \)，
(1)求\( S_n \)及S (2)求使\( \displaystyle S-S_n<\frac{1}{10000} \)成立的最小自然數n的值
(100嘉義女中，
https://math.pro/db/thread-1115-1-1.html)
2011.6.26補充
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13 (B) 23 (C) 29 (D) 49
(100全國高中聯招，
https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)
111.7.3補充
試求\(1!\times 1+2!\times 2+3!\times 3+4!\times 4+\ldots+101!\times 101\)除以1212之餘數為
。
(102大直高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1572&page=3#pid23678)
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
(100麗山高中第二次，
https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)
2011.6.30補充
已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？
(100台北市中正高中二招，
https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)
2011.8.13補充
已知數列\( <a_n> \)的一般式為\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，n為正整數，其前n項為\( S_n \)，則在數列\( S_1，S_2，...，S_{2011} \)中，有理數項共有幾項？
(建中通訊解題第74期)
2021.7.28補充
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\)
(110香山高中，
https://math.pro/db/thread-3532-1-1.html)
111.3.22補充
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{n(n+2)^2}+\sqrt{n^2(n+2)}}\)的值。
(110高中數學能力競賽嘉義區筆試二，
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
100.9.3補充
設\( \displaystyle A=\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}} \)，則不超過A的最大整數為何？
建中通訊解題 第88期
看題目寫答案\(\displaystyle 2012-\frac{1}{2012}=2011\frac{2011}{2012}\)
105.4.30補充
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}= \)？
(105彰化高中，
https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
看題目寫答案\(\displaystyle 2016-\frac{1}{2016}=2015\frac{2015}{2016}\)
109.5.3補充
求\( \displaystyle \sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2019^2}+\frac{1}{2020^2}} \)的值為
。
(109興大附中，
https://math.pro/db/thread-3318-1-1.html)
看題目寫答案\(\displaystyle 2020-\frac{1}{2020}=2019\frac{2019}{2020}\)
100.9.17補充
設\( a_0=1 \)，\( a_1=3 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2} \)，\( n \ge 1 \)，試求
\( \displaystyle \frac{1}{a_0+1}+\frac{1}{a_1+1}+...+\frac{1}{a_n+1}+\frac{1}{a_{n+1}-1} \)，\( n \ge 1 \)
(1001中山大學雙週一題 第一題)
100.10.1補充
設數列\( {a_n} \)滿足，\( a_1=3 \)且\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \)，\( n=2,3,4,... \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i} \Bigg]\; \)之值為何？
([x]：表不大於x的最大整數)
(99高中數學能力競賽 屏東區筆試二試題，
https://math.pro/db/thread-1051-1-8.html)
113.5.10補充
求值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{25}\left(\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+\ldots+n(n+1)}\right)=\)
。
(113中科實中，
https://math.pro/db/thread-3861-1-1.html)
100.10.7補充
求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)(k+5)} \)之值？
(100育成高中代理，
https://math.pro/db/thread-1204-1-1.html)
106.5.16補充
求值：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3+8k^2+15k}= \)
。
(106全國高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282)
109.6.15補充
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}\)之值為
。
(109中科實中國中部，
https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)
100.10.22補充
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{C_k^{10+k}}= \)？
http://blog.udn.com/ivan5chess/3978899
100.10.23補充
證明\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)k!}=1 \)
張福春、曾介玫，一般生成函數之應用，數學傳播
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{(k+2)k!}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{k+2}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
101.1.1補充
設\( \displaystyle f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \)，求\( f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2010) \)值。
(99臺中一中學術性向資賦優異學生鑑定數學科實作測驗試題)
h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm 連結已失效
h ttp://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf 連結已失效
107.1.28補充
若\( \displaystyle a_n=\frac{4n+\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}(n=1,2,3,\ldots) \)，則\(a_1+a_2+\ldots+a_{60}=\)？
(104高中數學能力競賽 臺北市筆試二試題，
https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)
101.1.31補充
數列的第n項等於\( n(n+1)(n+2)(n+3) \)，則該數列的前n項和為？
http://www.webezgo.com.tw/~tsea/ ... ei/2008theme/F4.pdf
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)= \)？
https://math.pro/db/thread-1281-1-1.html
101.5.20補充
\( <x_n> \)正實數數列，\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_3^3+x_k^2 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
(101板橋高中，
https://math.pro/db/thread-1366-1-1.html)
101.5.24補充
\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，\( n \in N \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9999}a_k= \)？
(101彰化高中，
https://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)
已知實數數列\( a_1,a_2,a_3,... \)滿足\( a_1=1 \)，\( 3a_{n+1}=a_n^2+3a_n \)，\( n=1,2,... \)，求級數\( \displaystyle \frac{1}{a_1+3}+\frac{1}{a_2+3}+\frac{1}{a_{2012}+3} \)之和的整數部分
(101彰化高中，
https://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)
[]表高斯符號，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{\root 3 \of{1^2}+\root 3 \of{1 \times 2}+\root 3 \of{2^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{3^2}+\root 3 \of{3 \times 4}+\root 3 \of{4^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{5^2}+\root 3 \of{5 \times 6}+\root 3 \of{6^2}}+...+\frac{1}{\root 3 \of{999^2}+\root 3 \of{999 \times 1000}+\root 3 \of{1000^2}} \Bigg]\; \)之值
(101彰化高中，
https://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)
101.6.9補充
\( \displaystyle \frac{1 \times 2}{2 \times 3}+\frac{2 \times 2^2}{3 \times 4}+\frac{3 \times 2^3}{4 \times 5}+...+\frac{10 \times 2^{10}}{11 \times 12} \)的最簡分數為
(101宜蘭高中，
https://math.pro/db/thread-1397-1-1.html)
(thepiano解答，
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2838)
101.6.19補充
若數列\( \langle\; \theta_n \rangle\; \)滿足\( cos \theta_n=1-\frac{1}{2n^2} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}tan^2 (\; \frac{\theta_n}{2} )\; \)
(101瑞芳高工，
https://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)
設\( a_n \)是\( (5-\sqrt{x})^n \)的展開式中x項的係數(n=2,3,4,…)，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(\; \frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+…+\frac{5^n}{a_n} )\; \)
(101嘉義家職，
https://math.pro/db/thread-1427-1-1.html)
101.10.2補充
求\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}} \)的值。
\( \displaystyle \frac{tan1^o}{cos2^o}+\frac{tan2^o}{cos4^o}+\frac{tan4^o}{cos8^o}+…+\frac{tan(2^n)^o}{cos(2^{n+1})^o}= \)？(答案僅能以tan表示)
(100全國高中數學能力競賽台中區複賽試題(二)，
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
101.10.14補充
設\( \{\; x_n \}\;_{n=1}^\infty \)是一個實數數列，\( x_1=1 \)，\( x_2=2 \)且滿足對於所有正整數n，\( x_{n+2}=\frac{1}{2}(x_{n+1}+x_n) \)。證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (x_{2k+1}-x_{2k-1})=\frac{2}{3} \)。
(100全國高中數學競賽 高雄區筆試(二)，
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
102.1.14補充
\( \displaystyle \frac{4}{1 \times 2 \times 3}+\frac{5}{2 \times 3 \times 4}+\frac{6}{3 \times 4 \times 5}+...+\frac{n+3}{n \times (n+1) \times (n+2)} \)
h ttp://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=5572&sc=1 連結已失效
111.8.7補充
假設：\(\displaystyle \frac{3^2-1^2}{1\times 2\times 3}+\frac{4^2-2^2}{2\times 3\times 4}+\frac{5^2-3^2}{3\times 4\times 5}+\ldots+\frac{111^2-109^2}{109\times 110\times 111}=a-\frac{1}{b}-\frac{2}{c}\)，則\(a+b+c=\)
。
(111建功高中國中部，
https://math.pro/db/thread-3648-1-1.html)
102.4.23補充
Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994，
https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)
111.3.21補充
試求出下列級數之值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)
(110高中數學能力競賽第五區筆試二，
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
111.4.10補充
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\)？
(111高雄中學，
https://math.pro/db/thread-3619-1-1.html)
103.6.7補充
化簡\( \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{100 \sqrt{99}+99 \sqrt{100}}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{9}{10} \) (B)\( \displaystyle \frac{10}{11} \) (C)\( \displaystyle \frac{12}{11} \) (D)\( \displaystyle \frac{11}{10} \)
(103臺北市國中聯招，
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3337)
103.10.14補充
求\( \displaystyle \frac{1}{C_3^3}+\frac{2}{C_3^4}+\frac{3}{C_3^5}+\ldots+\frac{n}{C_3^{n+2}}+\ldots= \)？
(101大安高工，
https://math.pro/db/thread-1468-1-1.html)
104.4.12補充
設數列\( a_n=\root 3 \of {n^2+2n+1}+\root 3 \of {n^2-1}+\root 3 \of {n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{2n+1}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\root 3 \of n^2}\left( \frac{1}{S_{n+1}}+\frac{1}{S_{n+2}}+\frac{1}{S_{n+3}}+\ldots+\frac{1}{S_{2n}} \right) \)。
(104台中女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872)
105.5.22補充
設數列，\(a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1}\)，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{105}}=\)？
(105中科實中，
https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)
105.1.17補充
\( \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k^4+3k^2+10k+10}{(k^4+4)2^k}= \)？
[解答]
\( \displaystyle =\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k^4+4)+(3k^2+10k+6)}{(k^4+4)2^k} \)
\( \displaystyle =\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{2^k}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{3k^2+10k+6}{(k^4+4)2^k} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{3k^2+10k+6}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)2^k} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{4(k^2+2k+2)-(k^2-2k+2)}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)2^k} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{4}{(k^2-2k+2)2^k}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k^2+2k+2)2^k} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k^2-2k+2)2^{k-2}}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k^2+2k+2)2^k} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{40}+\frac{1}{136}+\ldots \right)-\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{136}+\ldots \right) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10} \)
\( \displaystyle =\frac{11}{10} \)
(PTT數學版，2013.5.3 infinite sum)
109.6.22補充
級數\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}\)之和為有理數，此有理數最簡分數為
。
(109新北市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)
110.3.4補充
令無窮級數\(\displaystyle S=\frac{3}{1^2}+\frac{5}{1^2+2^2}+\frac{7}{1^2+2^2+3^2}+\ldots +\frac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2}+\ldots\)，試求\(S\)之值。
(109嘉義高中代理，
https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)
113.5.25補充
計算級數：\(\displaystyle \frac{2}{1^3}+\frac{6}{1^3+2^3}+\frac{12}{1^3+2^3+3^3}+\ldots+\frac{n(n+1)}{1^3+2^3+\ldots+n^3}\)到第35項之值為
。
(102北門高中，
https://math.pro/db/thread-1711-1-1.html)
111.4.19補充
化簡\(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}\)成一個最簡分數。
[提示]
\(\displaystyle 2\left(\frac1{3\times4}+\frac1{4\times5}+\cdots+\frac1{9\times10}\right)\)
(111台北市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3622-1-1.html)
112.6.16補充
試問無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 2+2\times 3}+\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4}+\ldots+\frac{1}{1\times 2+2\times 3+3\times 4+\ldots+n(n+1)}+\ldots\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
(112新竹市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)
112.6.9補充
The sum \(\displaystyle \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\ldots+\frac{2022}{2023!}\) Can be expressed as \(\displaystyle a-\frac{1}{b!}\), where \(a\) and \(b\) are positive integers. What is \(a-b\)？
(112台北市陽明高中，
https://math.pro/db/thread-3757-1-1.html)
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不是裂項相消的題目，而是用乘上公比再相減的方法。
103.5.5補充
求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)？
(103大安高工，
https://math.pro/db/thread-1880-1-1.html)
108.5.18補充
求\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\ldots\)之值。
(99高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題二，
https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
求無窮級數\( \displaystyle \frac{3 \times 1}{2^4}+\frac{4 \times 2}{2^6}+\frac{5 \times 3}{2^8}+\frac{6 \times 4}{2^{10}}+\ldots \)之值為？
(103中央大學附屬中壢高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=2#pid10068)
