第 2 題:
若方程組
mx−y+2=0
x
+
y
=1 有解,則實數
m之範圍為
。
[解答]
先畫出
x
+
y
=1 的圖形,
mx−y+2=0 是通過
(0
2) 且斜率為
m 的直線,
兩者圖形有交點,可得
m 的範圍。
第 3 題
求
32009除以1000之餘數為
。
[解答]
32009=3
32008=3
10−1
1004 再用二項式定理展開,千位以上都不管(如果是負的再向前面借 1000 來扣),就有答案了。
第 10 題:
方程式
x6+x4+x2+1=0的六個根在高斯平面上圍成六邊形,求此六邊形的面積為
。
[解答]
方程式乘上
x2−1,可得
x8=1,此八個根畫在複數平面上,
扣掉
1
−1 之後的六個根,即可以算出面積。
第 11 題:
將一個正五邊形
ABCDE的部份面積分別記為
x
y
z,已知
x=1,求實數序組
(y
x+5y+5z)= 。
[解答]
(沒蝦咪好想法,只好來醜陋的==)
隨便假設一個邊長為
1,因為都是特殊角(角度都跟
18
有關),
所以各色塊的面積都可求得,
然後再把算出來的面積,乘以常數倍,伸縮到最中間的小正五邊形面積為
1。
所以要求的答案就可以跟著找到了。
第 13 題:
設平面
x+y+z=1與球面
x2+y2+z2=4相交部分為圓
S。已知平面
2x+2y+z=1與圓
S交於
P、
Q兩點,則
PQ之長為
。
[解答]
P
Q 同時滿足題目給的三個方程式,由兩平面的交線得參數式,
再帶入球面,可得
P
Q 兩點坐標。
第 15 題:
點
P(4
3
1),點
Q為圓
\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3}上之動點,求線段長
\overline{PQ}之最小值為
。(最簡分數)
[解答]
先分別求出
P 與
(0,1,5) 到平面
x+2y+2z=3 的投影點
M 與
O,然後求圓半徑
r,則
\sqrt{MP^2+\left(MO-r\right)^2} 即為所求。
第 30 題:
2x^3-3x^2-12x+k=0有二相異負根及一正根,求實數
k範圍為
。
[解答]
令
f(x)=2x^3-3x^2-12x+k 可得
f\,'(x)=0 的兩根為
-1,2
因為
f(x)=0 有三相異根,所以
f(-1)>0,\,f(2)<0,
因為有兩負根一正根,所以
f(0)<0,合併三者可得
k 的範圍。
第 26 題答案是給
\displaystyle-\frac{1}{9} 呀。:-)
第 30 題:回歸直線方程式為
\displaystyle y=\frac{42}{5}+\frac{26}{25}x,以
x=75 帶入可得
y=86.4。
(官方答案給的回歸直線方程式,有一個分子打錯了。)
夜深了,隔天還要早起,先睡去,
如果有錯誤的地方,希望能不吝提醒,感謝。 :)