2.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2}\)，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2020}f(\frac{n}{1010})=\)
。
[提示]
\(f(x)+f(2-x)=0\)
3.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}\)之值為
。
[提示]
待定係數法
設\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{ak+b}{k(k+1)}-\frac{a(k+1)+b}{(k+1)(k+2)}\)，得\(a=7,b=3\)
\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}\)
設\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{a}{k}-\frac{b}{k+1}\)，得\(a=3,b=-4\)
\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1}\)
設\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k+1}-\frac{b}{k+2}\)，得\(a=3,b=-4\)
\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\)
\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\left(\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1} \right)-
\left(\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\right)=\left(\frac{3}{k}-\frac{3}{k+1}\right)+\left(\frac{4}{k+1}-\frac{4}{k+2}\right)\)
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
求值：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3+8k^2+15k}= \)
。
(106全國高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282)
4.
設\(A\)表質因數為2或3或5的所有正整數所形成的集合。集合\(A\)中，所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\)，求此級數的總和為
。
(請化至最簡分數，否則不予計分)
設\(A\)表質因數至多為2或3或5的所有正整數所形成的集合。\(A\)中所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\)
若此總和可以表示為\(\displaystyle \frac{m}{n}\)，其中\(m,n\)為互質的正整數，則\(m+n=\)？
(A) 16 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 36
(2018AMC12A，
https://math.pro/db/thread-2917-1-1.html)
5.
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有
的舖法。
☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
☐☐
一個房間的地面是由12個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用6塊磁磚撲滿房間地面的方法有
種。
(103學測，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1793&page=1#pid9544)
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐
☐☐
一個房間的地面是由16個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用8塊磁磚舖滿房間地面的方法有
種。
(臺中區國立高中104 學年度第二次學測模擬考，
https://math.pro/db/redirect.php ... amp;goto=nextoldset)
11.
若\(x>y>z\)，解\(\cases{x+y+z=10 \cr x^2+y^2+z^2=38 \cr x^3+y^3+z^3=154}\)，求數對\((x,y,z)=\)
。
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)
12.
設數列\(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\)，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\)
。
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html
計算證明題
1.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)，求此數列的一般項\(a_n\)。
[解答]
令\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\)，則\(\displaystyle a_n=\frac{1}{24}(b_n^2-1)\)
故\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)\)，代入\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)得
\(\displaystyle \frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)=\frac{1}{16}[1+4\cdot \frac{1}{24}(b_n^2-1)+b_n]\)即\(4b_{n+1}^2=(b_n+3)^2\)
因為\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\ge 0\)，故\(b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}\ge 0\)則\(2b_{n+1}=b_n+3\)，即\(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{3}{2}\)
可化為\(\displaystyle b_{n+1}-3=\frac{1}{2}(b_n-3)\)，
所以\(\{\;b_n-3 \}\;\)是以\(b_1-3=\sqrt{1+24a_1}-3=\sqrt{1+24 \cdot 1}-3=2\)為首項，以\(\displaystyle \frac{1}{2}\)為公比的等比數列，
因此\(\displaystyle b_n-3=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\)，則\(\displaystyle b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\)，即\(\displaystyle \sqrt{1+24a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\)，
得\(\displaystyle a_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}\)。
其他方法請見
求遞推數列通項公式的十種策略例析，
https://math.pro/db/attachment.p ... 34&t=1593040418
111.4.19補充
111高雄女中也考相同題目，
https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html
類似題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)\)，
而數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)定義為\(b_n=\sqrt{1+4a_n}\)。
(1)問：數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)為何種數列？
(2)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項公式。
(105高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試一試題，
https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)
3.
投擲兩粒公正的骰子，當點數和為7時，可得100元獎金，並取得繼續投擲的權利，若第二回又擲出點數和為7，可再得100元並可繼續投擲，如此繼續進行，設\(X\) 表示此人所得獎金數，試求：
(1)\(E(X)=\)？
(2)\(Var(X)=\)？
雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為
。
thepiano解題，
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012
(102文華高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=5#pid7975)
