4.
\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)為方程式\(x^4+x^3+1=0\)的四個根，試求\(\left|\ \matrix{\alpha&1&1&1\cr 1&\beta&1&1\cr 1&1&\gamma&1\cr 1&1&1&\delta} \right|=\)
。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3 (直接 觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
= 1 - 0 +2 ( -1 ) -3 = -4 a 的係數 = 0 1 1= 2 常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
1 0 1 1011 3011 0-1 0 0
1 1 0 1101 3101 0 0-1 0
1110 3110 0 0 0-1
推廣 : 係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........
5.
化簡\(\root 3\of{40+11\sqrt{13}}+\root 3\of{40-\sqrt{13}}=\)
。
[解答]
令所求 x =a+b , 由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) 得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
故所求 實數 x = 5
11.
\(a,b,c\in R\)，\(a+b+c=0\)，\(abc=100\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)三數中最大的數為\(a\)，試求\(a\)的最小值為
。
[解答]
a 為最大值 => a>0 , b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件
12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\)，求此正方形之面積為
。
[解答]
令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x => (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58
16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值，例如：\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\)，已知\(x\)滿足\(\displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546\)，試求：\([100x]=\)
。
[解答]
共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7 , [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743
