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111樟樹高中

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111學年度教師甄選筆試_數學科(全).pdf (219 KB)

2022-4-2 03:35, 下載次數: 1291

111學年度教師甄選筆試_數學科參考解答.pdf (126.71 KB)

2022-4-2 03:36, 下載次數: 1026

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三、
1.
在右列的三角形陣列中,在兩條邊上依序填入2、3、4、⋯⋯連續自然數,中間的數都是上一列相鄰兩數之和(類似巴斯卡三角形),所以第一列所有數字的總和為2,第二列所有數字的總和為6,以此類推,試求第2022列所有數字的總和除以1000的餘數為何?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)

在下列的三角形陣列中,對k=1,2,3,…,由上而下的第k列是由k個數所排成,其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1,而中間的數都是上一列相鄰兩數之和,則第100列的數之總和除以100的餘數為?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100高中數學能力競賽臺北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

2.
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中,若\(\displaystyle a_n=\frac{3}{\sqrt{n^4+4n^2}}+\frac{6}{\sqrt{n^4+16n^2}}+\frac{9}{\sqrt{n^4+36n^2}}+\ldots+\frac{3n}{\sqrt{5n^4}}\),則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)?
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

3.
袋中有2022顆球,分別編號為1、2、3、⋯⋯、2022,假設每球被取中的機率相同,今從袋中一次取三顆球,設三顆球之中編號最大者為\(x\),求\(x\)的期望值為何?

袋中有 \(2008\) 顆球,分別編號為 \(1,2,3,…,2008\),設每球被取中的機率相同,今從袋中隨機取出三顆球,設三顆球之中編號最大者為 \(T\),求 \(T\) 之期望值。
連結有解答
(99屏東女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

4.
已知圓內接六邊形\(ABCDEF\)的六邊之長依序為5,5,7,7,5,7,則此六邊形\(ABCDEF\)的面積為何?

已知圓內接六邊形的邊長依序為2、2、3、3、2、3,則此六邊形面積為   
(102彰化高中科學班,https://math.pro/db/thread-2735-1-1.html)


四、
1.
若\(\left[\matrix{-\sqrt{3}&1\cr -1&-\sqrt{3}} \right]^{99}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\),則\(\displaystyle log_4 \frac{ad-bc}{a+b-c-d}=\)?

若\(\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{100}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\),則\(\displaystyle log_2 \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=\)   
2012TRML團體賽,https://math.pro/db/thread-1486-1-1.html
我的教甄準備之路 矩陣n次方,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

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回復 2# bugmens 的帖子

想請教三、1
我算出第n列數字和為 \( 2^{n+1} - 2 \),所求為 \( 2^{2023} - 2 \)
可是不太知道該怎麼計算除以1000的餘數,謝謝。

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回復 3# koeagle 的帖子

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原來前幾天ptt問的是這份
ptt是用中國剩餘定理去做的可以參考一下
如果用費馬尤拉定理會變成
\( 2^{\phi(1000)}=2^{400}\equiv1(mod1000) \)
這樣可能比較快

#上述方法有誤,因為\(\gcd(2,1000)\ne1\)
\(2^{2023}\equiv0(mod8),2^{2023}=(2^{100})^{20}\cdot2^{23}\equiv108(mod125)\)
由輾轉相除法知\(1=(-3)\times125+47\times8\)
\(2^{2023}\equiv0\times125\times(-3)+108\times8\times47\equiv608(mod1000)\)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2022-4-3 21:30 編輯 ]

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回復 4# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。
謝謝 BambooLotus 老師。

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求\(\displaystyle 2^{2023}\)除以1000的餘數
先考慮\(\displaystyle 2^{2020}\)除以125的餘數
可知\(\displaystyle 2^{2020} \equiv (1024)^2 \equiv 576 (mod\ 125) \)
因此\(\displaystyle 2^{2023} \equiv 608 (mod\ 1000) \)

所求為\(\displaystyle 2^{2023}-2 \equiv 608-2 \equiv 606 (mod\ 1000) \)

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回復 7# satsuki931000 的帖子

謝謝 satsuki931000 老師

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請問第二題黎曼和

板上老師好

請問第二題的黎曼和 夾擠的上下界要怎麼湊阿

[ 本帖最後由 anyway13 於 2022-4-3 17:55 編輯 ]

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回復 9# anyway13 的帖子

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2022-4-3 20:11

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