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101板橋高中

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101板橋高中

附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整,有的數字可能不對,

或是寸絲的中文不好,言不及意

還請各位幫忙指正,謝謝~~

感謝 lianger 幫忙修正題意和題號

請諸位慢慢享用

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 06:09 PM 編輯 ]

附件

101板橋高中.pdf (369.23 KB)

2012-5-20 18:09, 下載次數: 9801

感謝 brace 修正 8.9

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感謝分享

3.
曲線Γ:\( \displaystyle y=\frac{1}{x} \),
(1)△ABC三頂點皆在曲線Γ 上,求證其垂心亦在曲線Γ上。
(2)\( D=(-1,-1) \),△BCD為正三角形,且B,C在第一象限曲線Γ上。求B,C坐標。
https://math.pro/db/thread-559-1-1.html
在最後一題加分題有解答
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/math2/T95221A.pdf

設雙曲線\( xy=1 \)的兩支為\( C_1,C_2 \),正三角形PQR的三頂點位於此雙曲線上。
(1)求證:P,Q,R不能都在雙曲線的同一支上。
(2)設\( P(-1,-1) \)在\( C_2 \)上,Q,R在\( C_1 \)上,求頂點Q,R的坐標。
(1997大陸高中數學聯合競賽)

4.
我覺得題目要改成這樣才算得出來
(1)\( f(x)=\sqrt{-x^2+68x-256}-\sqrt{-x^2+10x-9} \),求\( f(x) \)的最大值。
(2)承上,此時x之值。
[解答]
(x-34)^2+y^2=30^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+68x-256} \)
(x-5)^2+y^2=4^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+10x-9} \)
此時\( f(x) \)可視為兩半圓的y值相減的函數,當x=9時有最大值\( 5\sqrt{11} \)

感謝lianger和tsusy指教,原來用加的也是可以解出來

Find the largest positive value attained by the function \( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \), x a real number
(A)\( \sqrt{7}-1 \) (B)3 (C)\( 2\sqrt{3} \) (D)4 (E)\( \sqrt{55}-\sqrt{5} \)
(1993AHSME,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1993)

設\( x \in R \),試求\( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \)的最大值?
(96和美高中,96基隆海事)

5.
\( <x_n> \)正實數數列,\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_k^3+x_k^2 \),求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)

有一個數列\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),…,\( x_{2001} \),其中\( \displaystyle x_1=\frac{1}{3} \)且\( x_{k+1}=x_k^2+x_k \),\( k=1,2,...,2000 \)請找出\( \displaystyle \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+...+\frac{1}{x_{2001}+1} \)的整數部分?
(建中通訊解題第11期)

10.
求所有的正實數x,y,滿足\( \displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \),\( \displaystyle \frac{x+y}{2} \),\( \sqrt{xy} \),\( \displaystyle \frac{2xy}{x+y} \)皆為正整數且四數之和為66。

感謝thepiano將這麼古老的討論文章挖了出來
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=8852 (連結已失效)

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回復 2# bugmens 的帖子

第4題
這題我在考試的時候也沒湊出來,後來才想到可以用柯西不等式,沒拿到這10分真是太可惜了!
\( f(x)=\sqrt{(x-1)(9-x)}+\sqrt{(64-x)(x-4)}=\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \)
\(\begin{cases}
& (x-1)(9-x)\geq   0 \\
& (64-x)(x-4)\geq 0
\end{cases} \)
\( \Rightarrow  4 \leq  x\leq 9 \)
所以\(x-1,9-x,64-x,x-4\)皆不小於0
由柯西不等式得
\([(x-1)+(64-x)][(9-x)+(x-4)]\geq (\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4})^2\)
所以\( \sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4}  \leq  \sqrt{63 \times 5 }=3\sqrt{35} \)
所求之最大值為\(3\sqrt{35}\)
等號成立時,\( \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9-x}}=\frac{\sqrt{64-x}}{\sqrt{x-4}} \)
\( \Rightarrow  x=\frac{143}{17} \)


[ 本帖最後由 lianger 於 2012-5-20 12:10 PM 編輯 ]

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回復 3# lianger 的帖子

lianger 是對的,小弟也算出同樣的 \( x \)

幾何解法,
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

兩半圓外切,而兩根號,可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量,如圖 \( \overline{BD} \),  \( \overline{AC} \) 之和

因此兩大值為兩圓心 \( y \) 坐標之差 \( 3 \sqrt{35} \), 其發生位置,其可由分點公式算出 \( x= \frac{143}{17} \)


[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 ]
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回復 1# tsusy 的帖子

第八題的範圍印象中是 101 到 2012

因為當時我的解讀是  民國101年和西元2012年   XD

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第8.9題題目修正

謝謝各位無私的分享
沒記錯的話
第8題n範圍為66<=n<=2012
第9題f(0)=1,f(1)-3,則積分0到1  (f''(x))^2dx>=4
不好意思,電腦能力太弱

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回復 6# brace 的帖子

感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息

第 9 題 brace 的數字應該才是對的

而第 8 題,個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?

印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道,諸位對此數字是否有印象,也可能是小弟算錯

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 ]
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幫朋友解完第 5 題順便放上來~~

(聽他說,今年的彰中也有出一題類似題。)


第 5 題:

\(\displaystyle x_{k + 1}^2 = \left( x_k\left( x_k + 1 \right)\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow x_{k + 1} = x_k\left( x_k + 1 \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_{k + 1}} = \frac{1}{x_k\left( x_k + 1\right)} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k + 1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_k + 1} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_{k + 1}}\)


因為

\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right) + \left( \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_3} \right) +  \cdots  + \left( \frac{1}{x_{202}} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle < \frac{1}{x_1} - 0\)

\(\displaystyle = \frac{4}{3} < 2\)





\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle > \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + 0 + 0 +  \cdots  + 0\)

\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{3}{4} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{4} \times \left( \frac{3}{4} + 1 \right) + 1}\)

\(\displaystyle = \frac{260}{259} > 1\)

因此,

\(\displaystyle \left[\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1} \right] = 1\)

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回復 8# weiye 的帖子

應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲

題目好像是 \( 3a_{n+1} = a_n^2 +3a_n \),問的是 \( \frac{1}{a_n +3} \) 的和之類的

手法一模一樣...昨天問小弟的那位,應該想撞牆了...
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第九題:
考慮積分形式的柯西不等式:
若函數 f,g 在 [a,b] 可積分,則 (S (f(x))^2 dx) (S (g(x))^2 dx) 大於等於 (S f(x)g(x) dx)^2
(抱歉 其中的 S 表示積分符號, 且範圍為 [a,b]

本題中 (S (f'(x))^2 dx) (S 1^2 dx) 大於等於 (S f'(x) dx)^2, 其中 積分範圍為 [0,1]
化簡得到 (S (f'(x))^2 dx) 大於等於 (f(1)-f(0))^2 =4 , 驗畢.

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