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103桃園高中

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103桃園高中

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103桃園高中題目.pdf (372.63 KB)

2014-5-8 09:30, 下載次數: 11740

103桃園高中答案.pdf (216.97 KB)

2014-5-8 09:30, 下載次數: 10943

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填6:
偷懶做法:
取z1=1+0i ,z2=cos120度+i*sin120度
(z1*z2)^10=(cos120度+i*sin120度)^10
=cos1200度+i*sin1200度
=cos120度+i*sin120度
= -1/2+(3^0.5/2)i

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複數乘積.png (191.26 KB)

2014-5-5 22:45

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填充7.
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列,則此數列第2014項為?

將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第1000項之值。
(新奧數教程高一第2講 有限集元素的數目,98高雄市聯招,https://math.pro/db/thread-797-1-1.html)

104.6.20新增
將與2015互質的正整數由小到大排列,則第2015個數為。
(104高雄市高中聯招,https://math.pro/db/thread-2290-1-1.html)



計算3.
請問:函數\( f(x)=cos \root{3}\of{x} \)是不是週期函數?若是,請證明;若不是,也請證明。

證明:函數\( y=sin x^2 \)不是一個週期函數。
(奧數教程高一 第10講 三角函數的性質及應用)



計算4.
設甲袋原有\( k-1 \)( \( k \ge 2 \) )個白球與1個黑球,而乙袋原有k個白球。今先自甲袋取一球放入乙袋中,再自乙袋取一球放入甲袋中,這動作我們稱之為一局。對每個正整數n,令\( P_n \)表示n局後黑球仍在甲袋的機率。
(1)求\( P_2 \)。
(2)求\( P_n \)。
(3)利用(1)的結果,求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)的值。
(96筆試一,臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)


[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-6-20 09:52 AM 編輯 ]

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96臺灣師大指定項目甄選試題.zip (286.08 KB)

2014-5-8 09:24, 下載次數: 11031

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回復 1# natureling 的帖子

做一下填 12.,
\( \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \),
\( 53^{2}=52^{2}+103+2, \left[\frac{53^{2}}{103}\right]=27+\left[\frac{26+2}{103}\right] \)
\( 54^{2}=53^{2}+103+4, \left[\frac{54^{2}}{103}\right]=28+\left[\frac{26+2+4}{103}\right] \)
\( 55^{2}=54^{2}+103+6, \left[\frac{55^{2}}{103}\right]=29+\left[\frac{26+2+4+6}{103}\right] \)
...
\( 103^{2}=102^{2}+103+102 , \left[\frac{103^{2}}{103}\right]=77+\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right] \)

所求 \( =103+1-\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right]=78 \)。

說明如下:上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2,這些相鄰的差為 2,就產生某個正整數被跳過而沒有出現。

\( (k+1)^2 - k^2 = 2k+1 \),當 \( k \leq 52 \),分子增加不到 103,相鄰項的差至多為 1

而 \( k \geq 53 \) 的情況,我們將第 k 項寫成 \( \left[\frac{k^{2}}{103}\right]=(k-26)+\left[\frac{}{103}\right] \)

每次至少增加 1,而當後方的 [ ] 也增加 1 時,就會增加 2。

而後方的 [ ] 如同 \( k \leq 52 \) 之情況,不會產生增加 2,不是加 0 就是加 1

故計算其在 \( k =103 \) 之值為 26,便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。

因此從 0~103 的整數中,有 26 個被跳過,所求 = \( 103 + 1 -26 =78 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 03:02 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 4# tsusy 的帖子

這題目我寫104個,明知道會錯,應該有些會沒有。但已經餓到受不了。就把104寫下去了

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回復 5# shingjay176 的帖子

填 12. 做完發現,其實沒有這麼複雜,做到 \( k=52 \),其實就完成了後,因為 \( k\geq 53 \) 後每項皆相異

故所求 = \( 1 + \left[ \frac{52^2}{103} \right ] + (103 -52) = 78\)
文不成,武不就

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填充7

將與105 互質的所有正整數由小到大排成一個數列,則此數列的第2014 項為?
我直接算105-35-21-15+7+5+3-1=48(每105個數會跟105互質的個數)
2014/48=41.....46=42..多兩位
105*42=4410 往回推3位 4409 4408 "4406"
很粗淺的方法供參考

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回復 7# terry90618 的帖子

105*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48  每48個—循環
(1,2,4,...101,103,104)
2014=48*41+46(48個數中第46個)
a_{2014}=l05*41+101=4406


順便請問,若用X*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)<=2014解
X<=4405.625(此題是小數,小數是否需進位至4406?以往遇到都是整數,再後往前尋找非3,5,7之倍數)。

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想請教計算證明題第1(2)、3應該如何下手,沒什麼頭緒,謝謝。

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回復 4# tsusy 的帖子

第一行就看不懂了><
[52^/103]=26
為什麼可以寫成34+[26/103]呢???

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