.

填6:
已知複數z1z2滿足z1=z2=1，且z1+z2=21+23i ，求(z1z2)10=　　　。
[解答]
偷懶做法:
取z1=1+0i ,z2=cos120度+i*sin120度
(z1*z2)^10=(cos120度+i*sin120度)^10
=cos1200度+i*sin1200度
=cos120度+i*sin120度
= -1/2+(3^0.5/2)i

填充7.
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？

將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
(新奧數教程高一第2講　有限集元素的數目，98高雄市聯招，https://math.pro/db/thread-797-1-1.html)

和105互質的正整數.gif (50.91 KB)

2014-5-5 22:54

104.6.20新增
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2290-1-1.html)

111.7.12補充
所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何？
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

112.5.30
將與110互質的所有正整數，從小到大排成數列，求此數列的第2023項。
(112羅東高中，https://math.pro/db/thread-3752-1-1.html)

計算3.
請問：函數f(x)=cos3x 是不是週期函數？若是，請證明；若不是，也請證明。

證明：函數y=sinx2不是一個週期函數。
(奧數教程高一　第10講　三角函數的性質及應用)

證明不是週期函數.gif (54.66 KB)

2014-5-10 04:15

計算4.
設甲袋原有k−1( k2 )個白球與1個黑球，而乙袋原有k個白球。今先自甲袋取一球放入乙袋中，再自乙袋取一球放入甲袋中，這動作我們稱之為一局。對每個正整數n，令Pn表示n局後黑球仍在甲袋的機率。
(1)求P2。
(2)求Pn。
(3)利用(1)的結果，求limnPn的值。
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

12.
在整數列121032210332103k21031031032 中，共有　　　個互不相等的整數(其中符號[]為高斯符號)。
[解答]
做一下填 12.，
522103=26+26103 ,
532=522+103+2532103=27+10326+2 
542=532+103+4542103=28+10326+2+4 
552=542+103+6552103=29+10326+2+4+6 
...
1032=1022+103+1021031032=77+10326+2+4+6++102 

所求 =103+1−10326+2+4+6++102=78 。

說明如下：上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2，這些相鄰的差為 2，就產生某個正整數被跳過而沒有出現。

(k+1)2−k2=2k+1，當 k52，分子增加不到 103，相鄰項的差至多為 1

而 k53 的情況，我們將第 k 項寫成 k2103=(k−26)+103 

每次至少增加 1，而當後方的 [ ] 也增加 1 時，就會增加 2。

而後方的 [ ] 如同 k52 之情況，不會產生增加 2，不是加 0 就是加 1

故計算其在 k=103 之值為 26，便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。

因此從 0~103 的整數中，有 26 個被跳過，所求 = 103+1−26=78。

這題目我寫104個，明知道會錯，應該有些會沒有。但已經餓到受不了。就把104寫下去了

填 12. 做完發現，其實沒有這麼複雜，做到 k=52，其實就完成了後，因為 k53 後每項皆相異

故所求 = 1+522103+(103−52)=78 

將與105 互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列的第2014 項為　　　?
[解答]
我直接算105-35-21-15+7+5+3-1=48(每105個數會跟105互質的個數)
2014/48=41.....46=42..多兩位
105*42=4410 往回推3位 4409 4408 "4406"
很粗淺的方法供參考

105*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48  每４８個—循環
（1,2,4,...101,103,104)
2014＝４8＊４１＋４６（４８個數中第４６個）
ａ_｛2014｝＝ｌ０５＊４１＋101＝４４０６


順便請問，若用Ｘ*（1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)<=2014解
X<=4405.625（此題是小數，小數是否需進位至4406？以往遇到都是整數，再後往前尋找非3,5,7之倍數）。

想請教計算證明題第1(2)、3應該如何下手，沒什麼頭緒，謝謝。

第一行就看不懂了><
[52^2/103]=26
為什麼可以寫成34+[26/103]呢???