題目和答案請見附件


以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 23分
2名代理教師，取10名參加複試
70,66,57,54,53,51,39,34,30,23

其他
20,19,2,缺考,缺考

共計15人

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率？

從一正立方體的8個頂點中任取三點可連成三角形，試問這些三角形中有幾個是正三角形？
https://math.pro/db/thread-602-1-1.html


15.
求函數f(x)=x2+x+1−x2−x+1 ，xR的值域？
(初中數學競賽教程P370)

Let f(x)=x2+x+1−x2−x+1 , show that −1f(x)1 for every xR.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=81479

Find all possible values of a2+a+1−a2−a+1  where aR.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=232758

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-26 10:31 PM 編輯 ]

想請教填充第9，10，11，13題  謝謝

9. 集合S ＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9｝，從S中取出四個不同的數字做成一個四位數，此四位數為99的倍數共有_________個。

答 : 48

假設此四位數為abcd，且令A=a+c，B=b+d  (不妨先假設A>=B)

則A-B=11或0，A+B=18或27
解聯立之後會發現只有一種可能 : A=B=9
(其餘解有的太大，有的不是整數)

9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5
因而找出以下6種可能 :
1287, 1386, 1485, 2376, 2475, 3465

再考慮a,c互換，b,d互換，A,B互換
推得共 6*2*2*2 = 48  個。



13. 甲乙丙丁4位同學代表班上參加為期2日的運動會，比賽項目有「100公尺短跑」「跳遠」「跳高」「趣味競賽」「馬拉松」，每位同學每日參加一項目的比賽，且2日參賽項目都不相同，若第1日不舉辦「趣味競賽」，第2日不舉辦「100公尺短跑」，其他項比賽每日皆舉辦1次且皆派1人代表參加，則有____________種參賽方法。

答 : 264

假設比賽項目為A,B,C,D,E
第一天比 A,B,C,E，第二天比B,C,D,E

首先，第一天的比賽共有 4! 種參賽方法

為方便討論，假設第一天的A項目由甲參加

在第二天的時候，
case1.
若甲參加D項目，則乙丙丁又是參加B,C,E，所以是三封信的”錯排”，有2*1*1=2種方法

case2.
若甲不參加D項目 (還有3種可能B,C,E)，例如甲參加了B項目
則乙丙丁參加C,D,E，
必須再討論第一天參加B項目的人今天參加什麼項目 :
case2-a 參加D，則剩餘兩人只剩1種參賽方式
case2-b 參加C或E，則剩餘兩人也是只剩1種參賽方式

所以第二天有1*2+3*(1*1+2*1)=11 種。

故這兩天有4!*11=264 種參賽方法。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-6 09:34 AM 編輯 ]

第 10 題：

設此四位數字的千百十個位數分別為 abcd，則

a+b+c+d=9m 且 (a+c)−(b+d)=11n

其中 mn 為整數

更甚者，可得

　　a+b+c+d=918 或 27

　　且

　　(a+c)−(b+d)=−110 或 11


以上兩者解聯立方程式求 a+c 與 b+d，

共 33=9 組聯立方程式中，

只有 a+c+d+d=18(a+c)−(b+d)=0 會有合理的解，

解得 (a+cb+d)=(99)

又 9=1+8=2+7=3+6=4+5

所以，

(abcd) 有序數組的可能解有 432!2!=48 個。





出處：臺中一中99資優鑑定數學科實作測驗試題

　　　http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf

第 10 題

令 g(x)=xh(x)=0xt21+t2+t4dt 

則 f(x)=h(g(x))

f(x)=h(g(x))g(x)

f(x)=h(g(x))g(x)g(x)+h(g(x))g(x)

f(1)=h(g(1))g(1)2+h(g(1))g(1) 

（開始來找尋各個部分！）

g(x)=xg(x)=12xg(x)=−14xx

g(1)=1g(1)=21g(1)=−41

而且，

h(x)=0xt21+t2+t4dth(x)=x21+x2+x4 

h(x)=2x5−2x(1+x2+x4)2

h(g(1))=h(1)=31h(g(1))=h(1)=0

故，所求＝0212+31−41=−112 

第 11 題：

因為當 x4 時，分子分母都趨近於 0，

且 limx4ddxx−4=limx41=1 

且 limx4ddx4x1t+t=limx41x+x=61 

所以，由 L'Hopital's Rule ，可得

所求＝161=61

第9,10,11,13題,我都看懂了,非常感謝老師

5. 由1,2,3,.....,20挑出x1x2x3三個數字, 且x1 <x2<x3
,求x1與x2至少差3, x2與x3至少差5的機率?

[ 本帖最後由 zero 於 2011-9-12 03:39 PM 編輯 ]

5. 由 1,2,3,.....,20 挑出 x1x2x3 三個數字, 且 x1x2x3,
求 x1 與 x2 至少差 3, x2 與 x3 至少差 5 的機率?  答: 91285

所有可能為 :  C320

假設 x1 之前有 a 個數字， x1 與 x2 之間有 b 個數字， x2 與 x3 之間有 c 個數字，x3 之後有 d 個數字

則 a0b2c4d0  且 a+b+c+d=17

因此題目要求的狀況  與  a+b+c+d=11 的非負整數解組數一樣多，為 C311+3

故所求機率 = C320C314=912850318



使用 R 軟體模擬實驗，參考指令如下 :

n=10000
z=rep(0,n)
A=replicate(n,sample(1:20,3))
for(i in 1:n){
A[,i]=sort(A[,i])
if(A[3,i]-A[2,i]>=5 & A[2,i]-A[1,i]>=3) z[i]=1
}
sum(z)/n

詳見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-13 11:25 AM 編輯 [/i]]