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99關西高中

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99關西高中

請問關西高中的第17題,四面體中兩歪斜線間的距離,能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直,己知BC=6, AB=AC,<BAC=<BCD=90度,<BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少

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引用:
原帖由 ayumi 於 2010-6-18 11:46 PM 發表
請問關西高中的第17題,四面體中兩歪斜線間的距離,能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直,己知BC=6, AB=AC,∠BAC=∠BCD=90度,∠BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少
坐標化,令 \(C(0,0,0)\)、\(B(6,0,0)\)、\(A(3,0,3)\)、\(D(0,2\sqrt{3},0)\)

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http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
學校公佈的是考卷的掃描檔,檔案比較大而且不容易閱讀
我重新打字後將檔案附上,這檔案需要安裝LibreOffice才能開啟
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1073

附件

99關西高中LibreOffice檔.rar (103.49 KB)

2015-6-28 08:34, 下載次數: 4901

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2.一道光線通過雙曲線的一個焦點\( F(-2,1) \),射至雙曲線上一點\( P(-4,5) \),反射後朝A點射去,若此雙曲線中心在\( (1,1) \),且\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \),則a點座標為。
[提示]
雙曲線方程式\( \displaystyle \frac{(x-1)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1 \)
過\( P(-4,5) \)切線方程式為\( x+y=1 \),法線方程式\( x-y=-9 \)
\( F(-2,1) \)對\( x-y=-9 \)的對稱點為\( (-8,7) \)
過\( (-8,7) \)和\( (-4,5) \)的直線參數式為\( (-4t-4,2t+5) \)
當\( \displaystyle t=\frac{3}{2} \),\( A(-10,8) \)時,\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)

感謝八神庵提醒將雙曲線方程式將加改成減


3.擲一個均勻骰子四次,依次得點數a、b、c、d,則出現\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0 \)的機率為?

投擲一公正骰子四次,每次出現之點數依次為a、b、c、d,求
(1)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)=0 \)之機率
(2)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ne 0 \)之機率
(高中數學101 P279,高中數學101修訂版 P285)


9.過橢圓\( x^2+2y^2=8 \)上一點\( P(2,k) \),作切線L,已知兩焦點F,F'在L上的正射影分別為Q與R,則△PQF與△PRF'面積比為。(其中焦點F在x軸的正向上)

如右圖,L為過Γ:\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)上一點\( T(1,k) \)之切線,由二焦點P、Q作L之垂線,垂足為R、S,則a△TPR:a△TQS=?
(高中數學101 P256,高中數學101修訂版 P258)


11.若\( a^2+b^2+c^2=16 \),\( x^2+y^2+z^2=25 \)且a,b,c,x,y,z均為實數,則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 2 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)的最大值為?

若\( a^2+b^2+c^2=9 \),\( x^2+y^2+z^2=14 \),且a,b,c,x,y,z均為實數,則(1)\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)之Max=? (2)此時\( ax+by+cz \)之值為?
(96豐原高商,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-20 07:23 PM 編輯 ]

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麻煩一下! 請問 第13題

平面上有一直徑 \(6\) 的半圓,\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點,\(A\) 為半圓上的中點,

在 \(\overline{AB}\)  和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\),

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\),

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點,求 \(QR=\)?

3Q各位高手,本來以為在圓周上

[ 本帖最後由 diow 於 2010-8-22 11:21 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 diow 於 2010-8-22 12:24 AM 發表
平面上有一直徑 \(6\) 的半圓,\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點,\(A\) 為半圓上的中點,

在 \(\overline{AB}\)  和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\),

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\),

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點,求 \(QR=\)?
設坐標系,

令 \(A(0,3)\)、\(B(-3,0)\)、\(C(3,0)\),由分點公式可得 \(P(-1,2)\)、\(Q(2,1)\)

因此 \(\overleftrightarrow{PQ}:\,x+3y=5\) ,其交 \(x\) 軸於 \(R(5,0)\),

故,\(\overline{QR}=\sqrt{10}.\)

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用坐標方式來算

鋼琴兄已於 2010.6.20 以幾何方式解出來, 如下網址
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
此題也可用坐標方式來算

以B,C中點為原點, 把A,B,C標出坐標: A(0,3), B(-3,0), C(3, 0)
用分點公式可得P(-1,2), Q(2,1) ,
PQ之直線方程式為 x+3y=5 和 X軸交於 R(5,0)
QR之長 即可 算出為  根號 10

[ 本帖最後由 荷荷葩 於 2010-8-22 10:04 AM 編輯 ]

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第1 題如何思考解題

1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球,每次隨機取出一個球,紀錄其編號後放回箱內,以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\),則 \(2r-s=\)______。

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引用:
原帖由 diow 於 2010-8-22 11:32 AM 發表
1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球,每次隨機取出一個球,紀錄其編號後放回箱內,以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\),則 \(2r-s=\) ______。
解答:

第十球為偶數的機率為 \(\displaystyle\frac{9}{19}\),第十球為奇數的機率為 \(\displaystyle\frac{10}{19}\),

前九球和為偶數的機率為 \(P(9)\),前九球和為奇數的機率為 \(1-P(9)\),

\(\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)\)

  \(\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).\)

\(\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.\)

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如果把第 13 題的題目稍微修改一下,將 \(P,Q\) 改置於圓周上,也是不錯的考題:

修改版題目:平面上有一直徑 \(6\) 的半圓,\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點,\(A\) 為半圓上的中點,

在 \(AB\)弧  和 \(AC\)弧 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\),

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\),

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點,求 \(\overline{QR}=\)?

解答:



如圖,依題意可得 \(\overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}\),

因此 \(∠ POQ = 90^\circ\),可得 \(\overline{PQ}=3\sqrt{2}.\)

在 \(\triangle QCR\) 與 \(\triangle BPR\) 中,

因為 \(∠ R\) 相同且 \(∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR\)

所以 \(\triangle QCR\) 相似於 \(\triangle BPR\),

且因為 \(\overline{PB}:\overline{QC}=2:1\),所以 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}\),

令 \(\overline{QR}=x\),則 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.\)

由圓的外冪性質,可得 \(\overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}\),

\(\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)\)

可解得 \(x=4+\sqrt{2}.\)

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