請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,<BAC=<BCD=90度,<BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少

引用:

原帖由 ayumi 於 2010-6-18 11:46 PM 發表
請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,∠BAC=∠BCD=90度,∠BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少

坐標化，令 C(000)、B(600)、A(303)、D(0230) 

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
學校公佈的是考卷的掃描檔，檔案比較大而且不容易閱讀
我重新打字後將檔案附上，這檔案需要安裝LibreOffice才能開啟
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1073

2.一道光線通過雙曲線的一個焦點F(−21)，射至雙曲線上一點P(−45)，反射後朝A點射去，若此雙曲線中心在(11)，且PA=35 ，則a點座標為。
[提示]
雙曲線方程式5(x−1)2−4(y−1)2=1
過P(−45)切線方程式為x+y=1，法線方程式x−y=−9
F(−21)對x−y=−9的對稱點為(−87)
過(−87)和(−45)的直線參數式為(−4t−42t+5)
當t=23，A(−108)時，PA=35 

感謝八神庵提醒將雙曲線方程式將加改成減


3.擲一個均勻骰子四次，依次得點數a、b、c、d，則出現(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)=0的機率為？

投擲一公正骰子四次，每次出現之點數依次為a、b、c、d，求
(1)滿足(a−b)(b−c)(c−d)=0之機率
(2)滿足(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)=0之機率
(高中數學101　P279，高中數學101修訂版　P285)


9.過橢圓x2+2y2=8上一點P(2k)，作切線L，已知兩焦點F,F'在L上的正射影分別為Q與R，則△PQF與△PRF'面積比為。(其中焦點F在x軸的正向上)

如右圖，L為過Γ：9x2+5y2=1上一點T(1k)之切線，由二焦點P、Q作L之垂線，垂足為R、S，則a△TPR:a△TQS=？
(高中數學101　P256，高中數學101修訂版　P258)


11.若a2+b2+c2=16，x2+y2+z2=25且a,b,c,x,y,z均為實數，則 1ax2by2cz 的最大值為？

若a2+b2+c2=9， x^2+y^2+z^2=14 ，且a,b,c,x,y,z均為實數，則(1) \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ 之Max=？　(2)此時 ax+by+cz 之值為？
(96豐原高商，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772)

113.2.2補充
15.
設實係數方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0，有四個相異虛根，其中兩根的和是2+3i，另兩根的乘積是4+3i，則b值為　　　。
相關題目https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

平面上有一直徑 6 的半圓，B.C分別為半圓直徑的兩端點，A 為半圓上的中點，

在 \overline{AB}  和 \overline{AC} 上分別取一點 P 和 Q，

使得 \overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2，

直線 \overleftrightarrow{PQ} 和直線 \overleftrightarrow{BC} 交於 R 點，求 QR=？

3Q各位高手,本來以為在圓周上

引用:

原帖由 diow 於 2010-8-22 12:24 AM 發表
平面上有一直徑 6 的半圓，B.C分別為半圓直徑的兩端點，A 為半圓上的中點，

在 \overline{AB}  和 \overline{AC} 上分別取一點 P 和 Q，

使得 \overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2，

直線 \overleftrightarrow{PQ} 和直線 \overleftrightarrow{BC} 交於 R 點，求 QR=？

設坐標系，

令 A(0,3)、B(-3,0)、C(3,0)，由分點公式可得 P(-1,2)、Q(2,1)

因此 \overleftrightarrow{PQ}:\,x+3y=5 ，其交 x 軸於 R(5,0)，

故，\overline{QR}=\sqrt{10}.

鋼琴兄已於 2010.6.20 以幾何方式解出來, 如下網址
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
此題也可用坐標方式來算

以B,C中點為原點, 把A,B,C標出坐標: A(0,3), B(-3,0), C(3, 0)
用分點公式可得P(-1,2), Q(2,1) ,
PQ之直線方程式為 x+3y=5 和 X軸交於 R(5,0)
QR之長 即可 算出為  根號 10

[ 本帖最後由 荷荷葩 於 2010-8-22 10:04 AM 編輯 ]

1. 一箱內有編號分別為 1 至 19 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 P(n) 表示前 n 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 r、s 使得 P(10)=r+s P(9)，則 2r-s=______。

引用:

原帖由 diow 於 2010-8-22 11:32 AM 發表
1. 一箱內有編號分別為 1 至 19 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 P(n) 表示前 n 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 r、s 使得 P(10)=r+s P(9)，則 2r-s= ______。

解答：

第十球為偶數的機率為 \displaystyle\frac{9}{19}，第十球為奇數的機率為 \displaystyle\frac{10}{19}，

前九球和為偶數的機率為 P(9)，前九球和為奇數的機率為 1-P(9)，

\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)

　　\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).

\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.

如果把第 13 題的題目稍微修改一下，將 P,Q 改置於圓周上，也是不錯的考題：

修改版題目：平面上有一直徑 6 的半圓，B.C分別為半圓直徑的兩端點，A 為半圓上的中點，

在 AB弧  和 AC弧 上分別取一點 P 和 Q，

使得 \overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2，

直線 \overleftrightarrow{PQ} 和直線 \overleftrightarrow{BC} 交於 R 點，求 \overline{QR}=？

解答：



如圖，依題意可得 \overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}，

因此 ∠ POQ = 90^\circ，可得 \overline{PQ}=3\sqrt{2}.

在 \triangle QCR 與 \triangle BPR 中，

因為 ∠ R 相同且 ∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR

所以 \triangle QCR 相似於 \triangle BPR，

且因為 \overline{PB}:\overline{QC}=2:1，所以 \displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}，

令 \overline{QR}=x，則 \displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.

由圓的外冪性質，可得 \overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}，

\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)

可解得 x=4+\sqrt{2}.