如題

請教一下填充4是否有較快的解法?

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 gamaisme 於 2011-7-7 09:50 PM 發表
請教一下填充4是否有較快的解法?

設4x3+3x2+2x+1=0三根為，則15+15+15？

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

1.
設xyzN且xy+yz+zx=xyz，則數對(xyz)之解有　　組。

(1)求x1+y1=81所有的正整數解；
(2)求x1+y1+z1=1所以的正整數解。
(96南港高工日間部)

類似題
求1xy+1yz+1zx=1的正整數解。


4.
設4x3+3x2+2x+1=0三根為，則15+15+15？
[提示]
令4+3y+2y2+y3=0三根為111
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

設x3+2x2+3x+4=0三根為，則5+5+5？
(99苗栗高中，https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式x3+5x+11=0的根，求a3+b3+c3
(A)−33　(B)33　(C)22　(D)−22
(98金門縣國中聯招)


9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13，則△ABC之邊長為？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點，若PA=5、PB=12、PC=13，則△ABC之面積為？
(97中和高中)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得AP=3，BP=4，CP=5，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)


9.
空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個　　區域？

這只是五分的填充題，請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法，包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
C010+C110+C210+C310=176

100.11.19補充
用遞迴解題
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html

14.
設(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3++Cnnxn，
則C1n+22C2n+32C3n+42C4n++n2Cnn？
[公式]
nk=1kCkn=n2n−1 

nk=1k2Ckn=n(n+1)2n−2 

利用歸納法證明：nk=1kCkn=n2n−1 。
(100家齊女中，https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html)


計算證明題
2.
△ABC中，已知a=BC， b=\overline{CA} ， c=\overline{AB} ，試證明： a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc

Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0

a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc
b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc
c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc
三式相加得
a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc

其他解法
http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
http://www.artofproblemsolving.c ... 66834&p=2018835
http://www.artofproblemsolving.c ... 65683&p=1441901
http://www.artofproblemsolving.c ... =71110&p=414261

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 ]

請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝

xy + yz + xz = xyz
同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

單選第一題
1.
有一道題目：「設\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}，n \in N，n>2，求\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n之值」。而阿煌在解這一題時，所用的步驟(A)至(E)如下：\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=，請問阿煌的作法，從哪一步驟開始錯誤？
(A)\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}　(B)\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}　(C)\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}　(D)\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}　(E)=1。

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

#11
設橢圓\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1與雙曲線\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時，則數對(A,B)=　　　。
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 ]

多謝Ellipse老師的指導~