Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

jsMath
 30 123
發新話題
打印

100苑裡高中

100苑裡高中

如題

附件

0707ylsh_math.pdf (327.23 KB)

2011-7-7 21:12, 下載次數: 14536

0707ylsh_math_ans.pdf (63.21 KB)

2011-7-7 21:12, 下載次數: 13440

TOP

請教一下填充4是否有較快的解法?

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 ]

TOP

引用:
原帖由 gamaisme 於 2011-7-7 09:50 PM 發表
請教一下填充4是否有較快的解法?
4x3+3x2+2x+1=0三根為,則15+15+15

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

TOP

1.
xyzNxy+yz+zx=xyz,則數對(xyz)之解有  組。

(1)求x1+y1=81所有的正整數解;
(2)求x1+y1+z1=1所以的正整數解。
(96南港高工日間部)

類似題
1xy+1yz+1zx=1的正整數解。


4.
4x3+3x2+2x+1=0三根為,則15+15+15
[提示]
4+3y+2y2+y3=0三根為111
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

x3+2x2+3x+4=0三根為,則5+5+5
(99苗栗高中,https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式x3+5x+11=0的根,求a3+b3+c3
(A)−33 (B)33 (C)22 (D)−22
(98金門縣國中聯招)


9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13,則△ABC之邊長為?

設△ABC為正三角形,點P為其內部一點,若PA=5PB=12PC=13,則△ABC之面積為?
(97中和高中)

若△ABC為一正三角形,且在此三角形內部中有一點P使得AP=3BP=4CP=5,試問此正三角形之邊長為何?
(2008TRML團體賽)


9.
空間中10個相異平面,最多能將空間分割成個  區域?

這只是五分的填充題,請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法,包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
C010+C110+C210+C310=176

100.11.19補充
用遞迴解題
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html

14.
(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3++Cnnxn
C1n+22C2n+32C3n+42C4n++n2Cnn
[公式]
nk=1kCkn=n2n1 

nk=1k2Ckn=n(n+1)2n2 

利用歸納法證明:nk=1kCkn=n2n1 
(100家齊女中,https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html)


計算證明題
2.
△ABC中,已知a=BCb=CAc=AB,試證明:a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)3abc

Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)3abc
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
a(ab)(ac)+b(bc)(ba)+c(ca)(cb)0

a(ab)(ac)=a(a2acba+bc)=a2(b+ca)+abc
b(bc)(ba)=b(b2abcb+ca)=b2(c+ab)+abc
c(ca)(cb)=c(c2cbac+ab)=c2(a+bc)+abc
三式相加得
a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)3abc

其他解法
http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
http://www.artofproblemsolving.c ... 66834&p=2018835
http://www.artofproblemsolving.c ... 65683&p=1441901
http://www.artofproblemsolving.c ... =71110&p=414261

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 ]

TOP

回復 4# bugmens 的帖子

請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝

TOP

xy + yz + xz = xyz
同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論

TOP

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

TOP

引用:
原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題
單選第一題
1.
有一道題目:「設=cosn2+isinn2nNn2,求23n之值」。而阿煌在解這一題時,所用的步驟(A)至(E)如下:23n=,請問阿煌的作法,從哪一步驟開始錯誤?
(A)=1+2+3++n (B)=2n(n+1) (C)=(n)2n+1 (D)=12n+1 (E)=1

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 ]

TOP

引用:
原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題
#11
設橢圓9x2+y216=1與雙曲線Ax2+By2=1有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時,則數對(AB)=   
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 ]

TOP

多謝Ellipse老師的指導~

TOP

 30 123
發新話題