題目和答案如附件

填充題
2.空間中一四面體的四頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？

申覆結果此題送分

空間中一四面體的四個頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E通過A與\( \overline{BD} \)中點且與\( \overline{BC} \)有交點。若平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？
(98高中數學能力競賽　台中區複試試題)
https://math.pro/db/thread-911-1-3.html

1.平面上，設\( A(0,4) \)，\( B(0,9) \)，P在正向x軸上移動，設\( ∠APB=\theta \)，則\( tan \theta \)之最大值為
(A)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)　(B)1　(C)\( \displaystyle \frac{5}{12} \)　(D)\( \frac{7}{5} \)。

參考右圖在直角坐標的y軸上有兩點\( A(0,a) \)，\( B(0,b) \)，\( a>b>0 \)有一點C在x軸的正向上，\( ∠ACB=\theta \)，則當C點坐標為　　時，\( tan \theta \)有最大值　　
(94暨大附中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13656　連結已失效)

小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展，其中有一幅巨大壁畫高9公尺，其下端離地面4.5公尺，小安眼睛距地面1.5公尺，則他應站在離牆\(x\)公尺處欣賞此畫作，可得最大視角\( \theta \)，求此x值與\( tan \theta \)值大小？請你為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧!
(97大安高工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771　連結已失效)

已知座標平面上點\(A(0,3)\)和\(B(0,4)\)，試求\(x\)軸上的一點\(C(x,0)(x>0)\)使得\(\angle ACB\)最大。
(108桃園高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3144&page=3#pid20079)

114.4.21補充
在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，P點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)
(99中壢高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2442)

113.5.7補充
設二次函數\(y=x^2-6x+5\)的圖形交\(x\)軸於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是直線\(x+y=−4\)上的動點。當\(\angle APB\)有最大值時，\(\Delta ABP\)的外心坐標為　　　。
(113南港高工，連結有解答https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html)

114.4.21補充
坐標平面上，\(P\)為直線\(L\)：\(x+2y=10\)上一點，\(A(1,2)\)，\(B(4,-7)\)，則當\(P\)坐標為　　　時，\(\angle APB\)有最大值。
(114家齊高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3971&page=1#pid27141)

114.4.30補充
已知坐標平面上有兩定點\(A(-1,2)\)、\(B(1,4)\)，以及\(x\)軸上的一動點\(P\)，當\(\angle APB\)有最大值時，試求\(P\)點坐標。
(114北一女中二招，https://math.pro/db/thread-3985-1-1.html)

115.5.6補充
小直在參觀某公益畫展時，其中有一幅畫掛在垂直地面的牆上，已知畫布上緣到下緣的總長為6公尺，其畫布下緣距離地面3.8公尺，已知小直的眼睛距離地面1.8公尺。則他應該站在離牆\(x\)公尺處觀賞畫作，才可得最大視角\(\theta\)(銳角)。試求：當有最大視角\(\theta\)時，此時\(x\)值與\(tan\theta\)分別為何？
(註：小直眼睛為\(A\)點，畫布上緣為\(P\)點，畫布下緣為\(Q\)點，視角\(\theta=\angle PAQ\))
阿真欲解決此道問題，算式如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{令A點成牆面垂足為H ，因為銳角\theta越大，tan\theta越大，則由差角公式得：
\displaystyle tan\theta=tan(\angle PAH-\angle QAH)=\frac{\displaystyle\frac{8}{x}-\frac{2}{x}}{\displaystyle1+\frac{8}{x}\cdot\frac{2}{x}}=\frac{6x}{x^2+16}\ldots \ldots}\)
但接下來，阿真不知道如何計算，因此求助數學老師…
身為數學老師的您，請提供阿真四種不同的解法(相同概念視為同一種)，並說明如何引導阿真繼續計算求得正確答案。
(115大直高中，https://math.pro/db/thread-4105-1-1.html)
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9.若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4)，且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切，則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \)　(B)\( \sqrt{23} \)　(C)\( \sqrt{22} \)　(D)\( \sqrt{17} \)

我的教甄筆記　橢圓曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


二計算及證明題：
3.設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。

初中數學競賽指導.gif (38.45 KB)

2010-7-10 20:41

115.2.18補充
數學傳播第6卷第4期 抽屜原理 彭志帆
https://www.math.sinica.edu.tw/mathmedia/posts/3420
在邊長為1的正方形上任取5點，其中必有2點，它們之間的距離不超過\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
在邊長為1的正立方體內任取9點，證明：其中必有二點，距離不超過\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)。

1.這個是最大視角問題
要有最大視角  會有圓通過A,B
並且跟x軸相切
超喜歡這一題  因為是我指導老師某一本講義封面  XD

2. 考sinx的二倍角公式
先把兩個函數角度調成一樣  就可以套二倍角公式

3. 不會  XD

4. 提出 \(\displaystyle{\frac{1}{sinx}}\)  剩下就是調角度了
或是從答案反推  XD

5. 不曉得遞迴可不可以解
我是列出x+2y=12的非負整數解
再分別討論不連續2步的情況

6. \(\displaystyle{n-3|n^3-3n^2+5n-13}\),\(\displaystyle{n-3|n-3}\)  好歡樂

7. 題目已經偷偷告訴你  u,v,w所圍成體積=6了  後面的體積會= 行列式值*6

8. 硬算 P,Q,R 再帶回去硬解a,b,c 硬梆梆  或許有很快的作法?

9. 快一點的 把一個焦點作對稱  然後直接連線  神速
慢一點的  假設橢元參數式  然後帶回直線  硬解長軸短軸
好吧  我這題用慢的那一個方法  腦袋有點生鏽了

10. 據說是\(\displaystyle{\frac{1}{2}ln(1+x^2)}\)的積分

填充1.  就找公比去算吧
填充2.  感覺有無窮多組解  等送分  Ya~~

計算1.  就求反函數阿
計算2.  數學歸納法硬作很快
計算3.  鴿籠原理
計算4.  就積分阿  套用微積分基本定理
計算5.  翻課本

引用:

原帖由 iamcfg 於 2010-6-26 03:38 PM 發表

3. 不會  XD

我用猜的也是猜錯
PTT有人解出來了
前往參考看看吧

補一下
第3題
設有一球，其表面積以每秒1平方公分的變化率增加，則在半徑為3公分時，其體積的瞬間增加率為每秒多少立方公分？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)　(C)2　(D)\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
[解答]
\(\displaystyle  A=4\pi r^2，\Rightarrow dA=8\pi rdr， \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt} \)

\(\displaystyle  \frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi r} \)

\(\displaystyle  \frac{dV}{dt}=A\times\frac{dr}{dt}=\frac{36\pi}{24\pi}=\frac{3}{2} \)


第5題
小明上樓梯時可能一步上一階或一步上兩階，但不會連續兩步都上兩階。今小明走一個12階的樓梯，則上樓梯的方式共有
(A)88　(B)89　(C)90　(D)91
[解答]
98高中競賽嘉義區(二)第六題
我是用遞迴
走上n階分成
先走一階，有\( a_{n-1} \)種
先走兩階，必然要再走一階，所以有\( a_{n-3} \)種
也就是\( a_n=a_{n-1}+a_{n-3} \)
就1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88


第10題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}=\)
(A)\(ln(\sqrt{2}+1)\)　(B)\(ln2\)　(C)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{2}ln2\)
[解答]
\(\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times \frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2} \)


填充二
空間中一四面體的四頂點分別為\(A(0,0,1)\)，\(B(2,4,0)\)，\(C(0,0,0)\)，\(D(4,2,0)\)，平面\(E\)將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，則\(E\)的方程式　　　。

應該少了"過A點"這個條件。

歐歐  遞迴漂亮  沒想到這點
第10題  沒發現他是黎曼和  對微積分真的不夠熟阿
第3題也是  我微積分太弱了
老王是高手

計算第二題
設\(\alpha\)與\(\beta\)是相異兩實數，並且\(\alpha>\beta>0\)。定義數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)如下：
\(a_1=\alpha+\beta\)；當\(n\ge 2\)時，\(\displaystyle a_n=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_{n-1}}\)
(1)試證：\(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}\)
(2)求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？
[解答]
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \)

\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\frac{(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1}}{p_{n-1}} \)

\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1} \)

\(\displaystyle q_n=p_{n-1} \)
                              
由第二式知道\(\displaystyle q_{n-1}=p_{n-2} \)

代入第一式得到\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2} \)

於是解這個二階遞迴數列得到\(\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n \)

代入初始條件\(\displaystyle p_1=\alpha +\beta ；p_2=\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2 \)

解得\(\displaystyle c_1=\frac{\alpha}{\alpha -\beta} ； c_2=\frac{-\beta}{\alpha -\beta} \)

結論就出現了

請教計算第2的(2)如何算.及
計算第3能否寫一下要怎麼證.
計算第4.答案是  根號 [(t^2+3)/pi]  嗎?
謝謝~

計算第 2 題的(2)

因為 \(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}\)，注意其中 \(\displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.\)

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.\)

註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^___^


計算第 3 題
設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\(\displaystyle \frac{1}{2}\)。
[解答]
取三角形三邊中點，並將之連接，

可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，

則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，

因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)（即小三角形的邊長），

所以在大三角形內部任取的五點中，

至少有兩點的距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)。




計算第 4 題
已知對於所有的\(t\ge 0\)，曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸，\(y\)軸及直線\(x=t\)所圍成區域繞\(x\)軸旋轉所得之立體體積為\(t^3+3t\)，試求\((x)\)。
[解答]
\(\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t\)


\(\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)\)


\(\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.\)

引用:

原帖由 老王 於 2010-6-28 03:09 PM 發表
計算第二題
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \)

我想請問王大的這篇
從"於是解這個二階遞迴數列得到..."就不知如何往下導出,希望那位大大能幫忙?

另外,還有選擇第8題,謝謝