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99全國高中聯招

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99全國高中聯招

題目和答案如附件

填充題
2.空間中一四面體的四頂點分別為\( A(0,0,1) \),\( B(2,4,0) \),\( C(0,0,0) \),\( D(4,2,0) \),平面E將此四面體分成兩塊,其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \),則E的方程式為?

申覆結果此題送分

空間中一四面體的四個頂點分別為\( A(0,0,1) \),\( B(2,4,0) \),\( C(0,0,0) \),\( D(4,2,0) \),平面E通過A與\( \overline{BD} \)中點且與\( \overline{BC} \)有交點。若平面E將此四面體分成兩塊,其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \),則E的方程式為?
(98高中數學能力競賽 台中區複試試題)
https://math.pro/db/thread-911-1-3.html

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99全國高中聯招.rar (220.37 KB)

2010-6-29 19:22, 下載次數: 3793

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1.平面上,設\( A(0,4) \),\( B(0,9) \),P在正向x軸上移動,設\( ∠APB=\theta \),則\( tan \theta \)之最大值為
(A)\( \displaystyle \frac{5}{6} \) (B)1 (C)\( \displaystyle \frac{5}{12} \) (D)\( \frac{7}{5} \)。

參考右圖在直角坐標的y軸上有兩點\( A(0,a) \),\( B(0,b) \),\( a>b>0 \)有一點C在x軸的正向上,\( ∠ACB=\theta \),則當C點坐標為  時,\( tan \theta \)有最大值  
(94暨大附中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13656)

小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展,其中有一幅巨大壁畫高9公尺,其下端離地面4.5公尺,小安眼睛距地面1.5公尺,則他應站在離牆x公尺處欣賞此畫作,可得最大視角\( \theta \),求此x值與\( tan \theta \)值大小?請你為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧!
(97大安高工,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771)


9.若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4),且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切,則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \) (B)\( \sqrt{23} \) (C)\( \sqrt{22} \) (D)\( \sqrt{17} \)

我的教甄筆記 橢圓曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


二計算及證明題:
3.設正三角形邊長為1,試證:由此正三角形內部任取5點,至少有兩點的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-10 08:41 PM 編輯 ]

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初中數學競賽指導.gif (38.45 KB)

2010-7-10 20:41

初中數學競賽指導.gif

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回復 2# bugmens 的帖子

1.這個是最大視角問題
要有最大視角  會有圓通過A,B
並且跟x軸相切
超喜歡這一題  因為是我指導老師某一本講義封面  XD

2. 考sinx的二倍角公式
先把兩個函數角度調成一樣  就可以套二倍角公式

3. 不會  XD

4. 提出 \(\displaystyle{\frac{1}{sinx}}\)  剩下就是調角度了
或是從答案反推  XD

5. 不曉得遞迴可不可以解
我是列出x+2y=12的非負整數解
再分別討論不連續2步的情況

6. \(\displaystyle{n-3|n^3-3n^2+5n-13}\),\(\displaystyle{n-3|n-3}\)  好歡樂

7. 題目已經偷偷告訴你  u,v,w所圍成體積=6了  後面的體積會= 行列式值*6

8. 硬算 P,Q,R 再帶回去硬解a,b,c 硬梆梆  或許有很快的作法?

9. 快一點的 把一個焦點作對稱  然後直接連線  神速
慢一點的  假設橢元參數式  然後帶回直線  硬解長軸短軸
好吧  我這題用慢的那一個方法  腦袋有點生鏽了

10. 據說是\(\displaystyle{\frac{1}{2}ln(1+x^2)}\)的積分

填充1.  就找公比去算吧
填充2.  感覺有無窮多組解  等送分  Ya~~

計算1.  就求反函數阿
計算2.  數學歸納法硬作很快
計算3.  鴿籠原理
計算4.  就積分阿  套用微積分基本定理
計算5.  翻課本

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2010-6-26 10:56 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 iamcfg 於 2010-6-26 03:38 PM 發表

3. 不會  XD
我用猜的也是猜錯
PTT有人解出來了
前往參考看看吧

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補一下
第3題
\(\displaystyle  A=4\pi r^2,\Rightarrow dA=8\pi rdr, \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt} \)

\(\displaystyle  \frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi r} \)

\(\displaystyle  \frac{dV}{dt}=A\times\frac{dr}{dt}=\frac{36\pi}{24\pi}=\frac{3}{2} \)


第5題
98高中競賽嘉義區(二)第六題
我是用遞迴
走上n階分成
先走一階,有\( a_{n-1} \)種
先走兩階,必然要再走一階,所以有\( a_{n-3} \)種
也就是\( a_n=a_{n-1}+a_{n-3} \)
就1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88


第10題
\(\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times \frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2} \)


填充二
應該少了"過A點"這個條件。

[ 本帖最後由 老王 於 2010-6-26 09:08 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 5# 老王 的帖子

歐歐  遞迴漂亮  沒想到這點
第10題  沒發現他是黎曼和  對微積分真的不夠熟阿
第3題也是  我微積分太弱了
老王是高手

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計算第二題
說真的,我們會解的遞迴數列太少,而解法又很不相同;這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \)

\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\frac{(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1}}{p_{n-1}} \)

\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1} \)

\(\displaystyle q_n=p_{n-1} \)
                              
由第二式知道\(\displaystyle q_{n-1}=p_{n-2} \)

代入第一式得到\(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2} \)

於是解這個二階遞迴數列得到\(\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n \)

代入初始條件\(\displaystyle p_1=\alpha +\beta ;p_2=\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2 \)

解得\(\displaystyle c_1=\frac{\alpha}{\alpha -\beta} ; c_2=\frac{-\beta}{\alpha -\beta} \)

結論就出現了
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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請教計算第2的(2)如何算.及
計算第3能否寫一下要怎麼證.
計算第4.答案是  根號 [(t^2+3)/pi]  嗎?
謝謝~

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計算第 2 題的(2)

因為 \(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}\),注意其中 \(\displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.\)

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.\)

註:感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯!已修正。^___^


計算第 3 題

取三角形三邊中點,並將之連接,

可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域,

則在大三角形內部任取五點時,必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內,

因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)(即小三角形的邊長),

所以在大三角形內部任取的五點中,

至少有兩點的距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)。




計算第 4 題

\(\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t\)


\(\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)\)


\(\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.\)

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引用:
原帖由 老王 於 2010-6-28 03:09 PM 發表
計算第二題
說真的,我們會解的遞迴數列太少,而解法又很不相同;這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\(\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n} \)
我想請問王大的這篇
從"於是解這個二階遞迴數列得到..."就不知如何往下導出,希望那位大大能幫忙?

另外,還有選擇第8題,謝謝

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