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109文華高中第二次(代理)

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109文華高中第二次(代理)

109文華高中第二次(代理教師)教甄
筆試題目與參考答案

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109文華高中第二次(代理).pdf (481.74 KB)

2020-7-21 06:43, 下載次數: 226

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3.
設樣本空間\(S=\{\;a,b,c,d,e,f \}\;\),事件\(A=\{\;a,b \}\;\),則與事件\(A\)獨立的事件共有   個。

擲一公正骰子,樣本空間為\(S=\{\;1,2,3,4,5,6 \}\;\),若事件\(A=\{\;1,6 \}\;\),則與事件\(A\)獨立的事件有   個。
http://web.kshs.kh.edu.tw/math/e ... 06PDF/106_2_3_1.pdf

7.
已知\(a\in R\),且\(M=\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-2)^2+(a-1)^2}+\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-1)^2+a^2}\),則\(M\)的最小值為   

8.
袋中有五顆球編號1 號~5 號,現從袋中任取一球記下號碼後放回,連取三次,則三次中出現最大號碼數的期望值為   

同時擲三個公正骰子,最大點數(不是指點數和)的期望值為   
(98嘉義高工,https://math.pro/db/thread-1031-1-1.html)

14.
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形,並用紅藍綠三種顏色加以著色,相鄰的扇形顏色不同,則有   種著色方法。
連結有解答,https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

15.
某面積為\(3\sqrt{3}\)的三角形以\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為三邊長,若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為方程式\(x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96=0\)之相異三根,則\(k\)值為   
[解答]
由根與係數可知\(\alpha+\beta+\gamma=2k\),\(\displaystyle s=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=k\)
\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式的三根,\((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96\)
\(\Delta=\sqrt{s(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)}=\sqrt{k(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)}=\sqrt{k(k^3-2k\cdot k^2+(k^2+11)k-96)}\)
(我的教甄準備之路 三角形的面積,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

設△ABC的三邊長為a、b、c,且a、b、c為方程式\( x^3-14x^2+62x-88=0 \)的三根,求△ABC的面積為  
(103竹北高中,https://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)
(104台南二中,https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
(105松山家商,https://math.pro/db/thread-2528-1-1.html)

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13題

考慮取連續的n個邊 可以和剩下的109-n個邊組合成一個完整的正109多邊形
n=2~54 (55以後重複)
設n=2 則可構成一個三角形 剩餘的邊構成108邊形 共有109個 面積共1090 其餘同理
所求為1090*53=57770

小弟想問的是 如果直接取109個邊 為什麼不合
算出來的當下很直覺得要把這情況多補上去

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回復 3# satsuki931000 的帖子

題目有說您選的第一個頂點和最後一個頂點要相異

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謝謝鋼琴老師
另外想問1 11 16

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回復 5# satsuki931000 的帖子

16

球面的球心為(1,2,-4)、半徑為\(\sqrt{3}\)
令球心A(1,2,-4)及其於E的投影點A'
設題意的任一切平面與球面切點B
則可知 \(\Delta AA'B \sim \Delta BA'R\)且皆為直角三角形

\(\frac{\overline{AA'}}{\overline{BA'}}=\frac{\overline{BA'}}{\overline{A'R}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\overline{A'R}}\)

\(\overline{A'R}=2\)

\(\overline{AR}=3\)

令過球心且垂直E的直線L之參數動點(1+t,2+2t,-4-2t)
t=1,-1(不合)
可得R(2,4,-6)

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回復 5# satsuki931000 的帖子

填充1. 由題可知,偶數解有11個,奇數解有16個,故整數解共有27個
文不成,武不就

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回復 5# satsuki931000 的帖子

填充11. 由題意中的條件可知

\( f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1 \)

\( f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2} \)

\( f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \)

再由遞增得”若 \( \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} \),則 \( f(x)=\frac{1}{2} \)"

\( f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充,今天再看,突然想起來了,這好像是  Cantor function。Google 一下,果然真的是啊!)

已知函數 \( f(x) \) 滿足下列性質

(a) 若 \( x_{1}\leq x_{2} \),則 \( f(x_{1})\leq f(x_{2}) \)

(b) \( f(1-x)=1-f(x) \)

(c) \( f(5x)=2f(x) \),

則 (1) 求 \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(\frac{1}{5}) \), \( f(\frac{4}{5}) \) 的值。

(2) 求 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 的解集合。

(3) 求 \( f(11.15) \) 及 \( f(\frac{1}{2016}) \) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合,從(1)的結果,不難猜到是 \( [ \frac15, \frac45 ] \)
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 6# whatbear 的帖子

抱歉 小弟想知道比較詳細的說明
為何BA'R會是直角三角形且和AA'B'相似

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回復 9# satsuki931000 的帖子

(1)因B為切點,所以 \(\angle ABR\)為直角,即\(\Delta ABR\)為直角三角形。

(2)因A'為A在E上的投影點及\(\overline{BA'}\)是E上的一條線段,
所以\(\overline{BA'}\perp\overline{AA'}\)

由母子相似性質可推論相似

[ 本帖最後由 whatbear 於 2020-7-23 07:13 編輯 ]

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