109文華高中第二次（代理教師）教甄
筆試題目與參考答案

3.
設樣本空間S=abcdef，事件A=ab，則與事件A獨立的事件共有　　　個。

擲一公正骰子，樣本空間為S=123456，若事件A=16，則與事件A獨立的事件有　　　個。
連結已失效h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/kshstest/106PDF/106_2_3_1.pdf

7.
已知aR，且M=(4a2−2)2+(a−1)2+(4a2−1)2+a2 ，則M的最小值為　　　。

8.
袋中有五顆球編號1 號~5 號，現從袋中任取一球記下號碼後放回，連取三次，則三次中出現最大號碼數的期望值為　　　。

同時擲三個公正骰子，最大點數(不是指點數和)的期望值為　　　。
(98嘉義高工，https://math.pro/db/thread-1031-1-1.html)

14.
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色加以著色，相鄰的扇形顏色不同，則有　　　種著色方法。
連結有解答，https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

15.
某面積為33 的三角形以、、為三邊長，若、、為方程式x3−2kx2+(k2+11)x−96=0之相異三根，則k值為　　　。
[解答]
由根與係數可知++=2k，s=2++=k
為方程式的三根，(x−)(x−)(x−)=x3−2kx2+(k2+11)x−96
=s(s−)(s−)(s−)=k(k−)(k−)(k−)=k(k3−2kk2+(k2+11)k−96) 
(我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

設△ABC的三邊長為a、b、c，且a、b、c為方程式x3−14x2+62x−88=0的三根，求△ABC的面積為　　。
(103竹北高中，https://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
(105松山家商，https://math.pro/db/thread-2528-1-1.html)

第13題
設A1、A2、A3、…、A109為正109邊形的109個頂點，且此正109邊形面積為10，考慮由此正109邊形之連續數個邊及相異的首尾兩頂點連成之凸多邊形，如A3A4A5A6或A108A109A1A2A3A4A5等，試求所有符合條件之凸多邊形的面積和為　　　。

考慮取連續的n個邊 可以和剩下的109-n個邊組合成一個完整的正109多邊形
n=2~54 （55以後重複）
設n=2 則可構成一個三角形 剩餘的邊構成108邊形 共有109個 面積共1090 其餘同理
所求為1090*53=57770

小弟想問的是 如果直接取109個邊 為什麼不合
算出來的當下很直覺得要把這情況多補上去

題目有說您選的第一個頂點和最後一個頂點要相異

謝謝鋼琴老師
另外想問1 11 16

16
球面S：x2+y2+z2−2x−4y+8z+18=0及一平面E：x+2y-2z-16=0，S與E交於圓C，若過圓C上任一點做S的切平面恆過一定點R，則R的座標為　　　。
[解答]
球面的球心為(1,2,-4)、半徑為\sqrt{3}
令球心A(1,2,-4)及其於E的投影點A'
設題意的任一切平面與球面切點B
則可知 \Delta AA'B \sim \Delta BA'R且皆為直角三角形

\frac{\overline{AA'}}{\overline{BA'}}=\frac{\overline{BA'}}{\overline{A'R}}

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\overline{A'R}}

\overline{A'R}=2

\overline{AR}=3

令過球心且垂直E的直線L之參數動點(1+t,2+2t,-4-2t)
t=1,-1(不合)
可得R(2,4,-6)

填充1.
設函數f(x)，已知f(2x)<0共有11個整數解，f(2x+5)<0共有16個整數解，則f(x)<0的整數解個數為　　　個。
[解答]
由題可知，偶數解有11個，奇數解有16個，故整數解共有27個

填充11.
設函數f(x)滿足：
(1)對於0\le x_1<x_2\le 1，有f(x_1)\le f(x_2)
(2)f(0)=0
(3)\displaystyle f(\frac{x}{3})=\frac{f(x)}{2}
(4)f(1-x)=1-f(x)
則\displaystyle f(\frac{109}{2020})=　　　。
[解答]
由題意中的條件可知

f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1

f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2}

f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}

再由遞增得”若 \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} ，則 f(x)=\frac{1}{2} "

f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充，今天再看，突然想起來了，這好像是  Cantor function。Google 一下，果然真的是啊！)

已知函數 f(x) 滿足下列性質

(a) 若 x_{1}\leq x_{2} ，則 f(x_{1})\leq f(x_{2})

(b) f(1-x)=1-f(x)

(c) f(5x)=2f(x) ,

則 (1) 求 f(0) , f(1) , f(\frac{1}{5}) , f(\frac{4}{5}) 的值。

(2) 求 f(x)=\frac{1}{2} 的解集合。

(3) 求 f(11.15) 及 f(\frac{1}{2016}) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合，從(1)的結果，不難猜到是 [ \frac15, \frac45 ]
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]

抱歉 小弟想知道比較詳細的說明
為何BA'R會是直角三角形且和AA'B'相似

(1)因B為切點，所以 \angle ABR為直角，即\Delta ABR為直角三角形。

(2)因A'為A在E上的投影點及\overline{BA'}是E上的一條線段，
所以\overline{BA'}\perp\overline{AA'}

由母子相似性質可推論相似

[ 本帖最後由 whatbear 於 2020-7-23 07:13 編輯 ]