如附件

個人想請教填充1、16、18

(第16題好眼熟)

第1題
設\( a_n=2^{n-1} \)，\( n \)是正整數，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(1+2^{a_1})(1+2^{a_2})(1+2^{a_3})\ldots (1+2^{a_n})}{2^{a_1+a_2+\ldots+a_n}}= \)？

\(\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \)
\(\displaystyle (1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2-1)(1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2^2-1)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2^4-1)(1+2^4)(1+2^8)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =2^{2^n}-1 \)
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{2^n}-1}{2^{2^n-1}}=2 \)
不知哪裡算錯??

第16題
二數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)具有\( a_1=1 \),\( b_1=1 \)，且\( \forall n \in N \)，\( \cases{a_{n+1}=a_n-2b_n \cr b_{n+1}=a_n+4b_n} \)。求\( a_n= \)？

由(1) \(\displaystyle b_n=\frac{1}{2}a_n-\frac{1}{2}a_{n+1} \) 代入 (2)　得到
\(\displaystyle \frac{1}{2}a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n+2}=a_n+2a_n-2a_{n+1} \)
\(\displaystyle a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 \)
特徵方程式為 \(\displaystyle x^2-5x+6=0 \) ，兩根 \( 2,3 \)
所以假設 \(\displaystyle a_n=c_1\times2^n+c_2\times3^n \)
由初始條件 \( a_1=1, a_2=1-2=-1 \) 代入解得 \( c_1=2, c_2=-1 \)
所以 \(\displaystyle a_n=2\times2^n-1\times3^n=2^{n+1}-3^n \)

第18題
\( \Delta ABC \)中，\( ∠B=90^{\circ} \)，且\( \overline{BC}=a \),\( \overline{CA}=b \),\( \overline{AB}=c \)，若\( \forall x \in R \)，恆有\( ax^2+bx+c \ge 0 \)，求\( ∠A \)之最大值？

\(\displaystyle b^2=a^2+c^2 \)
\(\displaystyle b^2-4ac \le 0 \)
所以 \(\displaystyle a^2-4ac+c^2 \le 0 \)
令 \(\displaystyle t=\tan A=\frac{a}{c} \)
\(\displaystyle t^2-4t+1 \le 0 \)
\(\displaystyle 2-\sqrt3 \le t \le 2+\sqrt3 \)
所以 \( \angle A \) 最大值為 \( 75^o \)

引用:

原帖由 老王 於 2012-6-19 08:05 PM 發表
第一題
\(\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n=1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \)
\(\displaystyle (1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
\(\displaystyle =(2-1)(1+2)(1+2^2)(1+2^4)\cdots(1+2^{2^{n-1}}) \)
...

感謝老王老師！

是說我算第一題答案也是2說....?所以是答案錯了嗎？

P.S.:

第8題我算f(-a)=b+c-a，f(-b)=a+c-b，f(-c)=a+b-c，接著就沒頭緒了

那時我答案直接代-1，0，1去解，可是不知道還有沒有正統的做法....

第13題我是想說先展開P(r1)P(r2)P(r3)P(r4),再用根與係數硬解，可以得到答案

可是不知道有沒有更好看的做法(式子實在不好做)

第8題
\( a \)、\( b \)、\( c \)為相異定實數，且\( \displaystyle f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)} \)，求\( \displaystyle f \left( -\frac{a+b+c}{2} \right) \)？

改寫一下 \( f(-a) =a+b+c-2a \), \( f(-b) = a+b+c-2b \), \( f(-c) =a+b+c-2c \)
這樣應該就有會有頭緒了


第13 題
若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1 \),\( r_2 \),\( r_3 \),\( r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1)\times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4) \)？

參考 瑋岳老師在 99萬芳 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254 的做法

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-20 11:41 AM 編輯 ]

請教第2題
展開常數項為-(2^3*3*5*67*503*a+48)

下來就沒頭緒

第17題
請教一下 , 毫無頭緒

第20題
P點到兩漸近線等距
那p就在共軛軸上?

此題a=4,b=3,所以c=5
不妨令中心在原點
方程式:y^2/16-x^2/9=1
兩漸近線為9y+16x=0 9y-16x=0
點p(x,0)到兩漸近線距離為8
所以x=25/2

我不知錯在哪裡?

請不吝指點

謝謝

第2題
設\( a \)為整數，若多項式\( f(x)=(x-2012)(x-2010)(x-a)-48 \)有整係數一次因式，試求\( a \)？

題目是分解好的，不必展開；或是說，展開只要知道最高次項係數為 \( 1 \) ，所以有整數根；
設為 \( n \) ，那麼就是 \( (n-2010)(n-2012)(n-a)-48=0 \)
\( (n-2010)(n-2012)(n-a)=48 \)
注意到 \( (n-2010)-(n-2012)=2 \) ，去找可能的分解方式就可以求出。


第17題
如右圖設\( a>0 \)，點\( P(3a,a^2) \)在Γ：\( \displaystyle y=\frac{1}{9}x^2 \)上，點\( Q \)在\( x \)軸正向上，且\( \overline{OP}=\overline{OQ} \)，直線\( \overline{PQ} \)交\( y \)軸於\( R \)點，當\( P \)沿曲線Γ趨近於原點時，試求點\(  R \)的極限位置坐標為？

沒啥好想法，就硬作
\(\displaystyle Q(\sqrt{a^4+9a^2},0) \)
\(\displaystyle PQ: y-a^2=\frac{a^2}{3a-\sqrt{a^4+9a^2}}(x-3a)=\frac{a}{3-\sqrt{a^2+9}}(x-3a) \)
\(\displaystyle R(0,a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3}) \)
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2}{\sqrt{a^2+9}-3}) \)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+\frac{3a^2(\sqrt{a^2+9}+3)}{a^2+9-9}) \)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow 0} (a^2+3(\sqrt{a^2+9}+3))=18 \)


第20題
\( F_1 \),\( F_2 \)為圖中雙曲線Γ的兩個焦點，\( ABCD \)為矩形，兩直線\( AC \),\( BD \)為Γ的漸近線，若有一點\( P \)到兩漸近線的距離都是8，且\( P \)不在貫軸上，又\( \overline{AB}=8 \),\( \overline{AD}=6 \)，求\( \Delta PF_1 F_2 \)的面積？

漸近線是 \( 3y+4x=0, 3y-4x=0 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-20 04:34 PM 編輯 ]

這題我可以偏微，但想請問幾何的解法？

[ 本帖最後由 rudin 於 2012-6-22 02:48 PM 編輯 ]

第7題
\( x,y \)為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小值？

可以想成(-1,7)-(0,y)-(x,0)-(4,-3)之間距離和
所以直線為最短距離
即(-1,7)-(4,-3)間距離

請問各位老師
第11題
我算出99/512
跟答案不一樣...查了一下網路...跟2003AMC12的22題一樣...
是我哪裡算錯了嗎...
還想請問 第12題...有點看不懂...
謝謝

7.
x,y為實數，求\( \sqrt{(x-4)^2+9}+\sqrt{(y-7)^2+1}+\sqrt{x^2+y^2} \)之最小値

求\( \sqrt{x^2-12x+40}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-8y+20} \)的最小值？
(95台南高商)

8.
a、b、c為相異定實數，且\( \displaystyle f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)} \)，求\( \displaystyle f(-\frac{a+b+c}{2}) \)
(高中數學101 P81，99松山高中，https://math.pro/db/thread-1044-1-1.html)

11.
兩物體A與B經由一系列步驟同時等速在座標平面上移動，每次移動一個單位。物體A從(0,0)開始移動，且每一步驟是向右或向上，兩者機率一樣。物體B從(5,7)開始移動，且每一步驟是向左或向下，兩者機率一樣，則兩物體A與B相遇的機率為？

Objects A and B move simultaneously in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Object A starts at (0,0) and each of its steps is either right or up, both equally likely. Object B starts at (5,7) and each of its steps is either left or down, both equally likely. Which of the following is closest to the probability that the objects meet?
(A)0.10　(B)0.15　(C)0.20　(D)0.25　(E)0.30
(2003AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2003)

12.
連續擲一個均勻公正骰子兩次。第一次出現x點，第二次出現y點，求\( \displaystyle \frac{x+y-|x-y|}{2} \)之期望値
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)
感謝weiye解答

13.
若\( x^4+x+1=0 \)之四根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，又\( p(x)=x^2-2 \)，求\( p(r_1)\times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4)= \)？

設方程式\( x^4+x+1=0 \)的四個複數根為\( r_1,r_2,r_3,r_4 \)，若\( P(x)=x^2-3 \)，則\( P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4) \)
(99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html)

16.
二數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)具有\( a_1=1 \)，\( b_1=1 \)，且\( \forall n \in N \)，\( \cases{a_{n+1}=a_n-2b_n \cr b_{n+1}=a_n+4b_n} \)。求\( a_n \)

設\( \displaystyle \cases{a_n=a_{n-1}-2b_{n-1} \cr b_n=a_{n-1}+4b_{n-1}} \)表為\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\ =A \Bigg[\; \matrix{a_{n-1} \cr b_{n-1}} \Bigg]\ \)
(1)令\( \displaystyle P=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 \cr -1 & -1} \Bigg]\ \)時，求\( P^{-1}AP \)
(2)利用\( P^{-1}A^n P=(P^{-1}AP)^n \)( \( n \in N \) )，求\( A^n \)
(3)數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，\( \langle\; b_n \rangle\; \)，\( a_1=b_1=1 \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} \)
(九十學年度台中區指定考科數學甲試題，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/Ra511.swf)
(北區公立高中100學年度第2次數學甲指定科目複習考試，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)

21.
某籃球選手經常作罰球線投籃練習，依過去經驗，當他前一球投進時，下一球的命中率為\( \displaystyle \frac{4}{5} \)；當他前一球不進時，下一球的命中率為\( \displaystyle \frac{3}{5} \)，設此選手第一球投進，試求第n球投進的機率為？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 03:12 PM 編輯 ]