請參考附件

官方只有公布題目，沒有答案

參考答案是小弟隨意寫的，有錯請指正

其中第二部份第 4 題出得不好，其實會有無限多組解

請教第二部分填充2.5.7

填充第二部分
4.
假設：\(\displaystyle \frac{3^2-1^2}{1\times 2\times 3}+\frac{4^2-2^2}{2\times 3\times 4}+\frac{5^2-3^2}{3\times 4\times 5}+\ldots+\frac{111^2-109^2}{109\times 110\times 111}=a-\frac{1}{b}-\frac{2}{c}\)，則\(a+b+c=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{110}\frac{(k+1)^2-(k-1)^2}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4k}{(k-1)k(k+1)}=\sum_{k=2}^{110}\frac{4}{(k-1)(k+1)}=2\sum_{k=2}^{110}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\)

第 2 部份
第 2 題
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\angle A=40^{\circ}\)，且\(P\)為\(\overline{AB}\)邊上的一點使得\(\angle APC=120^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)　　　。
[解答]
令 BC = 1，所求為 AP
∠A = 40 度，∠B = 70 度，∠BPC = 60 度，∠ACP = 20 度

以下度省略
PC / sin70 = 1 / sin60
PC / sin40 = AP / sin20

AP * sin40 / sin20 = sin70 / sin60
AP = (sin70 * sin20) / (sin40 * sin60) = (cos20 * sin20) / (2sin20cos20 * sin60) = √3 / 3


第 5 題
已知三角形三個高分別為\(\sqrt{7}\)、\(\sqrt{5}\)、\(h\)，若\(h\)的範圍為\(a<h<b\)，則\(a+b=\)　　　。
[解答]
設三邊分別為 x，y，z
√7x = √5y = hz
x：y：z = 1/√7：1/√5：1/h

1/√5 - 1/√7 ＜ 1/h ＜ 1/√5 + 1/√7
1 / (1/√5 + 1/√7) ＜ h ＜ 1 / (1/√5 - 1/√7)
(7√5 - 5√7) / 2 ＜ h ＜ (7√5 + 5√7) / 2

a + b = 7√5


第 7 題
兩圓分別為\(C_1\)：\(x^2+y^2=25\)與\(C_2\)：\((x-10)^2+y^2=4\)，已知此二圓有四條公切線，其中兩條之斜率為正，且其交角為\(\theta\)，則\(sin\theta\)之值為　　　。
[解答]
設公切線為 y = ax + b，其中 a ＞ 0，b ＜ 0
| b | / √(a^2 + 1) = 5，| 10a + b | / √(a^2 + 1) = 2

解以下方程
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，(10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，- (10a + b) / √(a^2 + 1) = 2

可得兩公切線為 y = (7/√51)x - (50/√51) 和 y = (3/√91)x - (50/√91)

tanθ = (7/√51 - 3/√91) / [ 1 + (7/√51)(3/√91)] = (7√91 - 3√51) / (√51 * √91 + 21)

sinθ =  (7√91 - 3√51) / 100

想請問第一大題第10題
因為a，b皆大於1，所以-1/4應該不合？
還是我想錯了？
謝謝

對，小弟疏忽了

謝謝鋼琴老師熱情分享喔^_____^

想請教第一部份的3及第二部分的1

第一部分的3
已知\(36a^2+6a+1=0\)，求\(\displaystyle (6a)^{10}+\frac{1}{(6a)^7}=\)　　　。
[解答]
令t=6a，t^2+t+1=0，解得t=-1+-√3i/2
所求=t^10+t^-7用隸美弗定理即可求出。

第二部分的1
三個半徑為1的圓切於扇形內且彼此外切，試求此扇形的半徑=　　　。
[解答]
假設扇形圓心O，三小圓心A、B、C（由上開始逆時針編號），BC中點M
觀察出扇形圓心角60度，角BOA=15度，r=OB+1=OM*sec15度+1剩下交給你！

另外想問第二部分3、8以及計算題2。

第二部分填充3.
疫情影響，學校教職員分流上班(部分教職員居家辦公，部分到校辦公)，考慮一周五個工作天，若學校希望教務主任及2位組長，3人每天至少有2人到校辦公，每人當周最多3 天居家辦公(其中最多連續 2 天)，則 3 人的居家辦公安排方式共　　　種。
[解答]
先考慮每天至少2人到校辦公，居家辦公的人選為3人其中之一或無人居家
故有 \( 4^5 = 1024 \) 種

其中會有不符合題意的情況：有人居家辦公 4 天、5天或連續居家辦公 3天
示意如 AAAAX, AAAAA, AAAXX,...
說明AAAAX 表示 A 連續四天居家辦公，第五天X為非A或沒人居家辦公

因此不合的有 \( (C^5_4 \times 3 + C^5_5 + 3 \times 3^2) \times 3 = 129\)
故所求 \( =1024 - 129 = 895 \)