如題
請享用

不好意思,想請教填充5 , 8 , 9 (印象中第8題好像哪裡看過...)

第5題
設xy均大於0，則聯立方程組4x+3y4x+3y−6=2x4x+3y4x+3y+6=4y之解(xy)為　　　。
[解答]
z=64x+3y
x4=1−2z+z2
y16=1+2z+z2
y16−x4=4z
xy4x−y=64x+3y
16x2+8xy−3y2=6xy
(8x−3y)(2x+y)=0
8x=3y
1−612x=2x
2x−4x−1=0 
x=22+6 
x=25+26 
y=320+86 


第8題
令ABC的外心為O，垂心為H。若ABC的外接圓半徑為3，∠A=60，∠B=45，則OH2之值為　　　。
[解答]
由尤拉線性質知道
OH=3OG=OA+OB+OC
然後就平方計算

謝謝老王,原來是尤拉線!

第九題
h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效)

不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝

引用:

原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-20 08:47 PM 發表
不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝

計算三：
已知a0=1，且an=an−11+a2n−1，其中n為任意正整數。試證：an34n，nN。
[解答]
我的方法參考看看  (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
ak+1=ak1+a2k34k1+34k2=1216k+9k1216k+1
＜處，需再證：(16k+9k)−(16k+1)0
使用基本微分，即可證明

填充第二題：
設f(x)=1+x1−3x。令 f_1(x)=f(f(x)) ，且 f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) ， n \ge 2 且 n \in N ，則 f_{2012}(2012) 之值為　　　。
[解答]
\displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} ， \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x ， \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) ，…
每三個一循環，故 f_{2012}(x)=f_2(x)=x


填充第三題：
若 z 為複數， \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} ， \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} ，則 z 之值為　　　。
[解答]
z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) 　即可解出 z

填充第3題.gif (2.87 KB)

2014-11-22 07:15

填充第四題：
在袋中有紅球、白球各100個，每次從中取出一個球，若為紅球即得1分，白球不計分，滿足下列任一條件即停止：(1)得分達5分，(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法？　　　。
[解答]
(5紅)+(球數達10顆) =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638

有高手可以幫忙解答第一題嗎?   orz

1.
\matrix{& & & & 1 & & & & \cr & & & 3 & & 3 & & & \cr & & 5 & & 6 & & 5 & &  \cr & 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr 9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9}
如右圖所示，令第i行第k個數字為 f(i,k) ，此圖中之規則為 f(i,1)=2i-1=f(i,i) ，且 f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) ，其中 2 \le k \le i-1 。則 f(i,3) 之值為？
[解答]
\matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr -3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr & 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr & & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr & & & 2 & & 2 & & 2  & & 2 & }
f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n
我的教甄準備之路　找出圖形的規律 有更多類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274


6.
已知 n \in N ，且n為6的倍數，則 C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n 之值為

求 C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n ，其中 3m 是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數　如何利用複數解中學數學難題P24
\displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3})

觀察 \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...)
令 \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} ， \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} ， k \in N
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招，https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html)


計算與證明題
1.
設 a>b>0 ，則橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 之內接三角形面積最大値為何？試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122072
橢圓內接面積最大三角形(下)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122069