請見附件

2010.5.26
感謝Joy091指正,複選第8題答案為(A)

填充題
1.已知大於或等於正整數n的整數都可以表成5a+14b+21c的形式，其中a,b,c為正整數，則n的最小值為？

對於大於n所有自然數均可表示為6a+9b+20c，其中a,b,c為非負整數，求最小的正整數n=？
(98北一女，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid2077)

2010.12.10補充
假設小翔有無限多顆5克砝碼和13克砝碼，但他發現沒辦法組合出n克重量(nN)，求n的最大值為
(RA148.swf)
公式：當正整數ab互質時，不能用ab組合出的最大正整數為ab−a−b

計算題
5.已知(1+4x)(1+4x3)(1+4x32)(1+4x33)(1+4x34)(1+4x35)乘開後，依升冪排列可以寫成
(1+4x)(1+4x3)(1+4x32)(1+4x33)(1+4x34)(1+4x35)=1+b1xa1+b2xa2+b3xa3++b63xa63，
其中 an ， bn 是兩個正整數的數列，且1=a1a2a3a63。
(1)試求a25及b25之值。
(2)試求a1+a2+a3++a63及b1+b2+b3++b63。
[提示]
(1)
25的二進位為11001
243　811271903011
a25=109，b25=64

(2)
a1+a2+a3++a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
b1+b2+b3++b63=(1+4)6−1=12564

其他相關題目請見
(我的教甄準備之路　多項式連乘)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045

2010.5.18
感謝weiye提醒
(243+81+27+9+3+1)32應為11648

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-12-10 10:06 PM 編輯 ]

請問bugman老師
這二進位怎麼看
有點迷網?請不吝告知
謝謝

還有計算第二題怎麼解
沒頭緒阿

想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?

引用:

原帖由 milkie1013 於 2010-5-19 07:44 PM 發表
想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?

為什麼你會覺得需要減 1 呢？


a1+a2++a63= 〝由 133235 任取 123456 個數字之和〞的和

其中 133235 各會被加 26−1=32 次，

所以， a1+a2++a63=1+3+32++3525=11648 

喔~有個地方剛剛搞錯了><"
懂了~謝啦!!!

想請教大家(非選一):
已知大於或等於正整數n的整數都可以表成 5a+14b+21c 的形式，其中a,b,c為正整數，則n的最小值為？

以及   (非選六):

設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。 (10分)

謝謝大家

(非選一)
首先 (a,b,c)=(1,1,1) 時, 5+14+21=40
故40,45,50,55,... (5k) 可被表示出來

考慮40+14=54, 得到(5k+4)在54之後可被表示

考慮40+21=61, 得到(5k+1)在61之後可被表示

考慮40+14+14=68, 得到(5k+3)在68之後可被表示

考慮40+14+14+14=82, 得到(5k+2)在82之後可被表示 (82也可以從40+21+21看出)

所以82之後都能被表示

回溯82之前第一個不能被表示的是77 (=5k+2)

所以本題答案是78

(非選六):
設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行，作一線同時垂直AB與CD，並交於兩點F與G，過線段FG的中點作直線平行AB並交圓於M,N，
則線段MN即為所求。

若不平行，延長兩線段之後交於F，作角AFD的分角線，將E對此分角線作對稱點E'，連接FE'之直線交圓於M,N，
則線段MN即為所求。

以下將用" d(E,AB)表示點E到直線AB的距離" 說明:

題目欲找到P，使得 d(P,AB):d(P,CD)=CD:AB
由於AC垂直BD，故有d(E,AB):d(E,CD)=AB:CD    (ABE與DCE相似)
藉由鏡射，就有d(E',AB):d(E',CD)=CD:AB
再用相似形的想法，就知道直線FE'上的每一點Q  (F除外)，皆有d(Q,AB):d(Q,CD)=CD:AB
故線段MN即為所求。
(更完整的，用相似形說明所有解皆落在線段MN上)

另外，解答中複選第8題答案有誤，應將A,D更正為 A

引用:

原帖由 Joy091 於 2010-5-26 05:37 PM 發表
(非選六):
設 ABCD四點共圓，其中AC與BD互相垂直於點E，圓心O在三角形CDE內部，如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等；並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行，作一線同時垂直AB與C ...

圓心O是顯然解，所以若AB//CD，過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F，連接FO即可，當然，文中所說的E'也是正確的