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109新北市國中聯招

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109新北市國中聯招

 

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109新北市國中聯招題目.pdf (567.21 KB)

2020-6-14 16:12, 下載次數: 2125

109新北市國中聯招答案.pdf (378.45 KB)

2020-6-14 16:12, 下載次數: 1707

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8.
已知\(1105=5\times 13 \times 17\)。將1105寫成兩個正整數的平方和,共有幾種不同的方法?(註:\(2^2+1^2\)與\(1^2+2^2\)視為相同)
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
丟番圖恆等式\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html

14.
數列\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)依下述定義給出:\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{a_n}\),而\(n \ge 1\)。給定\(a_1=2\)及\(a_2=5\),則\(a_{2002}\)之值為多少?
(A)\(\displaystyle \frac{3}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{4}{5}\) (C)2 (D)5
(2002澳洲AMC高級卷)

2002~2007澳洲AMC題目,http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/visit.php?lid=189
2004~2019澳洲AMC題目,http://www.chiuchang.org.tw/modu ... /viewcat.php?cid=22

15.
方程式\(x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}}=1\)的實數有多少個?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2005澳洲AMC高級卷)

16.
若\(n\)為質數,且\(n^4-38n^2+169\)為質數,則\(n=\)?
(A)2 (B)6 (C)8 (D)10
連結有解答https://blog.xuite.net/wang62062 ... %89%87n%3D%EF%BC%9F

21.
以\(\Delta ABC\)的三中線為邊所成的三角形,其面積是\(\Delta ABC\)面積的幾倍?
(A)\(\displaystyle \frac{4}{5}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

類似題
\(\Delta ABC\)的三中線長分別為\(5,\sqrt{73},2\sqrt{13}\),求\(\Delta ABC\)之面積   
(99華江高中,https://math.pro/db/thread-1010-1-1.html)
(103桃園高中二招,https://math.pro/db/thread-1949-1-1.html)

已知\(\Delta ABC\)的面積為\(24\sqrt{2}\),其中兩條中線的長度分別為6、9,求第三條中線的長度。
(建中通訊解題第158期)


30.
凸10邊形,把每條對角線都連上,最多可以把此10邊形內部分為幾塊區域?
(A)256 (B)246 (C)200 (D)128
[公式]
\(C_0^n+C_2^n+C_4^n-n\)

平面有一個凸10邊形,連接其所有對角線,最多可以把此10邊形的內部分為   塊區域。
(109高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

已知一個凸八邊形中的任意3條對角線不交於形內一點,求這些對角線將凸八邊形分成的區域的個數?
(建中通訊解題第55期)

33.
某圓內接六邊形\(ABCDEF\),其中\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1\)、\(\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FA}=2\),請問此六邊形的面積為何?
(A)13 (B)\(13\sqrt{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{4}\)
連結有解答
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

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33題解答是為了算半徑,所以比較麻煩。
其實這題可以秒解,
看成13個邊長為1的三角形,所以面積是13倍的四分之根號3。
從一個國小科展看來的, 該科展還算了一些整數邊長的多邊形, 剛剛要找一時找不到。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2020-6-23 15:45 編輯 ]

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2020-6-23 15:43

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請教第23題

想法:假設x^2+x-2=k^2
           然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
           或是有其他解法都歡迎提供謝謝!

[ 本帖最後由 彤仔 於 2021-6-14 23:47 編輯 ]

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引用:
原帖由 彤仔 於 2021-6-14 23:43 發表
想法:假設x^2+x-2=k^2
           然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
           或是有其他解法都歡迎提供謝謝!
令x² +x-2=k²  , (x+1/2)² -k² =2+1/4=9/4
(2x+1)² -4k² =(2x+1+2k)(2x+1-2k)=9
所以(2x+1+2k)=9,(2x+1-2k)=1 或(2x+1+2k)=1,(2x+1-2k)=9
或(2x+1+2k)= -9,(2x+1-2k)=  -1或(2x+1+2k)= -1,(2x+1-2k)= -9
或(2x+1+2k)=3,(2x+1-2k)=3或(2x+1+2k)= -3,(2x+1-2k)= -3
解出x=2 , -3 ,1,-2 共四個

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-6-15 00:07 編輯 ]

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回復 5# Ellipse 的帖子

謝謝老師的解答!
另外檔案的這題也是類似問平方數的題型
我的疑惑是,這種題目也是用此方法操作嗎?

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598964E4-A055-4F64-82EF-F254D77C1936.jpeg (136.44 KB)

2021-6-15 18:34

類似題

598964E4-A055-4F64-82EF-F254D77C1936.jpeg

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回復 6# 彤仔 的帖子

本題要用橢圓老師的方法當然可以
但是會花掉很多時間

本題可以發現其實只要去判斷奇偶性就可以了
(B)\(4(n^2+n+1)\),\(n^2+n+1\)必定為奇數,所以不可能是平方數

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回復 7# satsuki931000 的帖子

應該說 n^2 < n^2 + n + 1 < (n + 1)^2 吧?

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回復 8# thepiano 的帖子

瞬間突破盲點,提完係數我都不知道該怎麼辦

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