8.
已知1105=51317。將1105寫成兩個正整數的平方和，共有幾種不同的方法？(註：22+12與12+22視為相同)
(A)1　(B)2　(C)4　(D)8
丟番圖恆等式(a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2=(ac+bd)2+(ad−bc)2
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html

14.
數列a1a2a3依下述定義給出：an+2=an1+an+1，而n1。給定a1=2及a2=5，則a2002之值為多少？
(A)53　(B)54　(C)2　(D)5
(2002澳洲AMC高級卷)

2002~2007澳洲AMC題目，http://www.chiuchang.org.tw/modules/mydownloads/visit.php?lid=189
2004~2019澳洲AMC題目，http://www.chiuchang.org.tw/modu ... /viewcat.php?cid=22

15.
方程式x+x2+x3+1=1 的實數有多少個？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3
(2005澳洲AMC高級卷)

16.
若n為質數，且n4−38n2+169為質數，則n=？
(A)2　(B)6　(C)8　(D)10
連結有解答https://blog.xuite.net/wang62062 ... %89%87n%3D%EF%BC%9F

21.
以ABC的三中線為邊所成的三角形，其面積是ABC面積的幾倍？
(A)54　(B)43　(D)32　(D)21

類似題
ABC的三中線長分別為573213 ，求ABC之面積　　　
(99華江高中，https://math.pro/db/thread-1010-1-1.html)
(103桃園高中二招，https://math.pro/db/thread-1949-1-1.html)

已知ABC的面積為242 ，其中兩條中線的長度分別為6、9，求第三條中線的長度。
(建中通訊解題第158期)


30.
凸10邊形，把每條對角線都連上，最多可以把此10邊形內部分為幾塊區域？
(A)256　(B)246　(C)200　(D)128
[公式]
C0n+C2n+C4n−n

平面有一個凸10邊形，連接其所有對角線，最多可以把此10邊形的內部分為　　　塊區域。
(109高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

已知一個凸八邊形中的任意3條對角線不交於形內一點，求這些對角線將凸八邊形分成的區域的個數？
(建中通訊解題第55期)

33.
某圓內接六邊形ABCDEF，其中AB=BC=CD=1、DE=EF=FA=2，請問此六邊形的面積為何？
(A)13　(B)133 　(C)\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{2}　(D)\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{4}
連結有解答
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

33題解答是為了算半徑，所以比較麻煩。
其實這題可以秒解，
看成13個邊長為1的三角形，所以面積是13倍的四分之根號3。
從一個國小科展看來的, 該科展還算了一些整數邊長的多邊形, 剛剛要找一時找不到。

想法：假設x^2+x-2=k^2
           然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
           或是有其他解法都歡迎提供謝謝！

引用:

原帖由 彤仔 於 2021-6-14 23:43 發表
想法：假設x^2+x-2=k^2
           然後有爬一下文找到判別是為完全平方數這個地方我不太懂
           或是有其他解法都歡迎提供謝謝！

令x² +x-2=k²  , (x+1/2)² -k² =2+1/4=9/4
(2x+1)² -4k² =(2x+1+2k)(2x+1-2k)=9
所以(2x+1+2k)=9,(2x+1-2k)=1 或(2x+1+2k)=1,(2x+1-2k)=9
或(2x+1+2k)= -9,(2x+1-2k)=  -1或(2x+1+2k)= -1,(2x+1-2k)= -9
或(2x+1+2k)=3,(2x+1-2k)=3或(2x+1+2k)= -3,(2x+1-2k)= -3
解出x=2 , -3 ,1,-2 共四個

謝謝老師的解答！
另外檔案的這題也是類似問平方數的題型
我的疑惑是,這種題目也是用此方法操作嗎？

本題要用橢圓老師的方法當然可以
但是會花掉很多時間

本題可以發現其實只要去判斷奇偶性就可以了
(B)4(n^2+n+1)，n^2+n+1必定為奇數，所以不可能是平方數

應該說 n^2 < n^2 + n + 1 < (n + 1)^2 吧？

瞬間突破盲點,提完係數我都不知道該怎麼辦