題目請見附件

4.
已知nN，設方程式x2+(21n+1)x+(n2−2)=0的兩根為n，n，則1(3+2)(3+2)+1(4+2)(4+2)++1(2011+2)(2011+2)？

對自然數n，作x的二次方程x2+(2n+1)x+n2=0。設它的兩根為n，n求1(3+1)(3+1)+1(4+1)(4+1)++1(20+1)(20+1)的值？
(初中數學競賽教程　P40，高中數學101　P32)


8.
數列an中，a1=6，且an−an−1=nan−1+n+1( nN，n2 )，則這個數列的一般項an為？
[提示]
an−nn+1an−1=n+1
同除n+1


10.
令s=1+12+13+14++110000，若ns10n+1，其中n為自然數，則n=？
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


11.設n=2012，則12n(1−3C2n+32C4n−33C6n+−31005Cn2010+31006Cn2012)=？

求12100(350−349C2100+348C4100−347C6100+−3C98100+C100100)的值為？
(99桃園農工)


二、計算證明題
兩同心圓的圓心O，過小圓上一定點P，作小圓的弦PA，大圓的弦BC，使PA⊥BC於P。
求證：AB2+BC2+CA2為定值。

類似題
在一半徑為r的圓內取一點P，此點P與圓心O的距離為a。設AB及CD為分別過P點互相垂直的兩弦。
試證AB2+CD2為一定值，並將此定值以r和a表示。
(89高中數學能力競賽　台中區複賽筆試二試題，http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 06:16 PM 編輯 ]

我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。

整理後得
a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ab
by 餘弦定理
cos C=-frac{1}{2}
所以角C=120度

老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。

計算二

引用:

原帖由 bluewing 於 2011-6-30 08:55 PM 發表
老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。

以下度省略
利用(1)及Jensen不等式(cot在0~45之間的凹凸性)
cot(A/2)+cot(45-A/2) >= 2cot22.5=2(sqrt(2)+1)

引用:

原帖由 RainIced 於 2011-6-30 07:01 PM 發表
我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。

計算2老王已解
計算3題目似乎有誤？
－－－－－－－－－－
猜測原題應是證
C(2n,0)*3^n+C(2n,2)*3^(n-1)+...+C(2n.2k)*3^(n-k)+...+C(2n,2n)是2^n的倍數
這樣應該就不難了

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-30 11:11 PM 編輯 ]

倒數第三行應該是4r^2-2PE^2+2R^2-2OE^2

驚!!!我看錯題目了!!!!!

繼續
AB2+AC2+BC2=PA2+PB2+PA2+PC2+PB2+2PBPC+PC2
=2(2r2+2R2)+2(R2−r2)=6R2+2r2
為定值

[ 本帖最後由 老王 於 2011-7-1 12:25 PM 編輯 ]