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100台北市中正高中二招

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100台北市中正高中二招

題目請見附件

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100台北市中正高中二招.pdf (91.09 KB)

2011-6-30 18:02, 下載次數: 2715

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4.
已知\( n \in N \),設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \),\( \beta_n \),則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)?

對自然數n,作x的二次方程\( x^2+(2n+1)x+n^2=0 \)。設它的兩根為\( \alpha_n \),\( \beta_n \)求\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+1)(\beta_3+1)}+\frac{1}{(\alpha_4+1)(\beta_4+1)}+...+\frac{1}{(\alpha_{20}+1)(\beta_{20}+1)} \)的值?
(初中數學競賽教程 P40,高中數學101 P32)


8.
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中,\( \displaystyle a_1=6 \),且\( a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{n}+n+1 \)( \( n \in N \),\( n \ge 2 \) ),則這個數列的一般項\( a_n \)為?
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{n+1}{n}a_{n-1}=n+1 \)
同除\( n+1 \)


10.
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \),其中n為自然數,則n=?
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


11.設\( n=2012 \),則\( \displaystyle \frac{1}{2^n}(1-3C_2^n+3^2 C_4^n-3^3 C_6^n+...-3^{1005}C_{2010}^n+3^{1006}C_{2012}^n)= \)?

求\( \displaystyle \frac{1}{2^{100}}(3^{50}-3^{49}C_2^{100}+3^{48}C_4^{100}-3^{47}C_6^{100}+...-3C_{98}^{100}+C_{100}^{100}) \)的值為?
(99桃園農工)


二、計算證明題
兩同心圓的圓心O,過小圓上一定點P,作小圓的弦\( \overline{PA} \),大圓的弦\( \overline{BC} \),使\( \overline{PA}⊥\overline{BC} \)於P。
求證:\( \overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2 \)為定值。

類似題
在一半徑為r的圓內取一點P,此點P與圓心O的距離為a。設\( \overline{AB} \)及\( \overline{CD} \)為分別過P點互相垂直的兩弦。
試證\( \overline{AB}^2+\overline{CD}^2 \)為一定值,並將此定值以r和a表示。
(89高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題,http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 06:16 PM 編輯 ]

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計算第1題.rar (6.14 KB)

2011-7-3 18:16, 下載次數: 1687

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我想問填充1.,計算2,計算3,謝謝。

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填充一

整理後得
a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ab
by 餘弦定理
cos C=-frac{1}{2}
所以角C=120度

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老師您好,請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。

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計算二

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100中正二招計算二.jpg (36.62 KB)

2011-6-30 22:06

100中正二招計算二.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 bluewing 於 2011-6-30 08:55 PM 發表
老師您好,請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。
以下度省略
利用(1)及Jensen不等式(cot在0~45之間的凹凸性)
cot(A/2)+cot(45-A/2) >= 2cot22.5=2(sqrt(2)+1)

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引用:
原帖由 RainIced 於 2011-6-30 07:01 PM 發表
我想問填充1.,計算2,計算3,謝謝。
計算2老王已解
計算3題目似乎有誤?
----------
猜測原題應是證
C(2n,0)*3^n+C(2n,2)*3^(n-1)+...+C(2n.2k)*3^(n-k)+...+C(2n,2n)是2^n的倍數
這樣應該就不難了

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-30 11:11 PM 編輯 ]

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回復 6# 老王 的帖子

倒數第三行應該是4r^2-2PE^2+2R^2-2OE^2

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回復 6# 老王 的帖子

驚!!!我看錯題目了!!!!!

繼續
\(\displaystyle AB^2+AC^2+BC^2=PA^2+PB^2+PA^2+PC^2+PB^2+2PB \times PC+PC^2 \)
\(\displaystyle =2(2r^2+2R^2)+2(R^2-r^2)=6R^2+2r^2 \)
為定值

[ 本帖最後由 老王 於 2011-7-1 12:25 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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