4.
已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？
對自然數n，作x的二次方程\( x^2+(2n+1)x+n^2=0 \)。設它的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)求\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+1)(\beta_3+1)}+\frac{1}{(\alpha_4+1)(\beta_4+1)}+...+\frac{1}{(\alpha_{20}+1)(\beta_{20}+1)} \)的值？
(初中數學競賽教程 P40，高中數學101 P32)
8.
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\( \displaystyle a_1=6 \)，且\( a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{n}+n+1 \)( \( n \in N \)，\( n \ge 2 \) )，則這個數列的一般項\( a_n \)為？
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{n+1}{n}a_{n-1}=n+1 \)
同除\( n+1 \)
10.
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html
11.設\( n=2012 \)，則\( \displaystyle \frac{1}{2^n}(1-3C_2^n+3^2 C_4^n-3^3 C_6^n+...-3^{1005}C_{2010}^n+3^{1006}C_{2012}^n)= \)？
求\( \displaystyle \frac{1}{2^{100}}(3^{50}-3^{49}C_2^{100}+3^{48}C_4^{100}-3^{47}C_6^{100}+...-3C_{98}^{100}+C_{100}^{100}) \)的值為？
(99桃園農工)
二、計算證明題
兩同心圓的圓心O，過小圓上一定點P，作小圓的弦\( \overline{PA} \)，大圓的弦\( \overline{BC} \)，使\( \overline{PA}⊥\overline{BC} \)於P。
求證：\( \overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2 \)為定值。
類似題
在一半徑為r的圓內取一點P，此點P與圓心O的距離為a。設\( \overline{AB} \)及\( \overline{CD} \)為分別過P點互相垂直的兩弦。
試證\( \overline{AB}^2+\overline{CD}^2 \)為一定值，並將此定值以r和a表示。
(89高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題，
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf)
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本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 06:16 PM 編輯 ]
