109嘉義高中代理
想請問9 10

7/24嘉中試題疑義回覆
第九題因足碼重複，故此題送分

第9題
正整數n是合數，將n的正因數由小而大依序記為d1d2d3dn，設f(n)=d1+d2+d3g(n)=dn−1+dn，若g(n)=(f(n))3，試求所有可能的正整數n。

這題題目出得不好
應是將n的正因數由小而大依序記為d1d2d3dk
然後gn=dk−1+dk 

d1=1dk=n
(1)d2=2
  2n+n=gn=fn3=1+2+d33n=3+d3332d3=3n=144
其餘不合

(2)d2d3dk均為奇數
  nd2+n=gn=fn3=1+d2+d33n=1+d2+d33d21+d2
1+d2+d33 為奇數，1+d2為偶數，不合

第 10 題
設ABC中，AB=AC，點D為BC上一個動點，過D做一條平行AC之直線交AB於E點；過D做一條平行AB之直線交AC於F點，而D對直線EF的對稱點為D'，試證D'在\Delta ABC的外接圓上。

參考圖

因為學校沒有附上答案
這邊提供小弟自己算的答案
還請各位指教 有錯誤不吝提出

3. 6
4. 7
5.[2,2\sqrt{2}]
7.\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}
8. 5544

想請問第2題 , 個人認為是必然 , 但想不出很好的解釋 , 不知道有沒有其他說法

高一的話，就兩者都做一遍就好了

請問第八題如何計算 謝謝

在這個網站用扇形和著色這兩個關鍵字搜尋
用四色著色扣掉恰用三色和恰用兩色的情形就是答案

3.
令無窮級數\displaystyle S=\frac{3}{1^2}+\frac{5}{1^2+2^2}+\frac{7}{1^2+2^2+3^2}+\ldots+\frac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}+\ldots，試求S之值。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

4.
若三次多項式f(x)=2x^3-6x-3，則方程式f(f(x))=0有幾個相異實根？

考慮三次多項式f(x)=-x^3-3x^2+3，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪y=f(x)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令f(x)=0的實根為a_1、a_2、a_3，其中a_1<a_2<a_3。試求a_1、a_2、a_3分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明f(x)=a_1、f(x)=a_2、f(x)=a_3各有幾個相異實根？
(4)試求f(f(x))=0有幾個相異實根(註：f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3)。
(107指考數甲，https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html)

5.
若-3\le x \le 1，試求f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}的值域。
[提示]
[(\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{1-x})^2][1^2+1^2]\ge (\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})^2
f(-3)=2，f(1)=2
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

6.
一個邊長為2的正立方體ABCD-EFGH，點M為稜邊\overline{CG}的中點，點P和Q分別在稜邊\overline{BF}及\overline{DH}上，且A,P,M,Q為一平行四邊形的四個頂點，如右圖所示，今設定坐標系，使得D,A,C,H的坐標分別為(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)和(0,0,2)，試證四角錐G-APMQ的體積為\displaystyle \frac{4}{3}。


一個邊長為1的正立方體ABCD-EFGH，點P為稜邊\overline{CG}的中點，點Q、R分別在稜邊\overline{BF}、\overline{DH}上，且A,Q,P,R為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。今設定坐標系，使得D、A、C、H的坐標分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，且\overline{BQ}=t，試回答下列問題。
(1)試求點P的坐標。
(2)試求向量\vec{AR}(以t的式子來表示)。
(3)試證明四角錐G-AQPR的體積是一個定值(與t無關)，並求此定值。
(4)當\displaystyle t=\frac{1}{4}，求點G到平行四邊形AQPR所在平面的距離。
(109指考數甲，https://math.pro/db/thread-3357-1-1.html)

解法出自忠明高中 陳冠州老師，https://www.ehanlin.com.tw/infos ... %95%B8%E7%94%B2.pdf

7.
設z為一複數，若\displaystyle \frac{z-1}{z+1}為純虛數，試求|\;z^2-z+2|\;的最小值。

已知z為複數，且\displaystyle \frac{z}{z-1}為純虛數，求|\;z-i|\;之最大值。
(98新港藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656)
(99台中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)

8.
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(更多類題，https://math.pro/db/thread-499-1-1.html)

想請教第2題，為什麼是必然？