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我的教甄準備之路 105.2.23更新

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我的教甄準備之路 105.2.23更新

隨著全教會教甄論壇於8/15走入歷史後,這段時間我再重新整理我手邊的筆記、考卷、講義等資料
整理出一系列的教甄資料,一邊整理的時候我也在物色哪個討論區能繼承全教會成為98數學教甄討論區
我的標準可以看這篇http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52061
我很高興我終於找到答案了,中選的原因是站內已有很多站長所回答的討論文章
而且題目都有切中教甄的方向,但最重要的是站長其實是我大學的學長
也感謝站長開放檔案上傳的功能,讓知識能傳承下去

補充資料:我的教甄準備之路(第一部份)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834 (連結已失效)
改到https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9233

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為了推廣LibreOffice,我的筆記都是用LibreOffice寫成的,不提供對應的pdf檔
LibreOffice可於這裡下載
http://zh-tw.libreoffice.org/
http://www.libreoffice.org/

筆記內容多是針對某個主題的題目整理,當然預備知識還是要你自行看書或上網找資料補足
為了避免有心人將筆記拿來牟利,也請大家多加宣傳以抵制網路拍賣,畢竟在這裡下載不用花錢
再一次提倡環保觀念,列印時請雙面列印或利用回收紙列印,大家一起保護地球

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廣義的科西不等式
在高中常見的科西不等式其實還有一般形式,在少數的教甄題目可以得到很漂亮的解答
特別是名校的教甄有機會會考,所以這類題目千萬別忽視了。

2009.6.1再補上相關題目
\( a,b,c,d,e \)均為正實數,試證:
\( (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e) \ge (1+\sqrt[5]{abcde})^{5} \)
高雄女中 雙週一題
http://dl.dropbox.com/u/23455489 ... %B8%80%E9%A1%8C.zip


設\( a,b,c \)均為正實數。
(1)若\( abc=1 \),求\( (a+2)(b+2)(c+2) \)之最小值
[提示]
\( (a+2)(b+2)(c+2)\ge (\sqrt[3]{abc}+2)^{3} \)
(2)若\( (1+a)(1+b)(1+c)=8 \),則\( abc \)之最大值
[提示]
\( (1+a)(1+b)(1+c) \ge (1+\sqrt[3]{abc})^{3} \)
(高中數學101 P353)
原本的解法,https://math.pro/db/thread-584-1-1.html

設\( x,y,z,w \)都是正實數,試證:
\( (1+x)(1+y)(1+z)(1+w)\ge (1+\sqrt[3]{xyz})(1+\sqrt[3]{yzw})(1+\sqrt[3]{zwx})(1+\sqrt[3]{wxy}) \)
(92高級中學數學科能力競賽決賽 獨立研究(一)試題)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_01.pdf

2010.4.3補充
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是n个正数,满足\( a_1 a_2 ...a_n=1 \),求证:\( (2+a_1)(2+a_2)...(2+a_n)\ge 3^n \)
(1989大陸高中數學聯賽)

2010.6.9補充
p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點,若p在第一象限移動,過p點之切線交X軸於A點,交Y軸於B點,O為原點,求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值?
(99彰化藝術高中,https://math.pro/db/thread-952-1-1.html)

2010.7.13補充
請問\( 2+\sqrt[3]{7} \)和\( \sqrt[3]{60} \)相比那個數大?
(胡安衡,歌西定理之一般形,數學傳播第八卷第一期)
可惜沒有開放pdf檔
http://www.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=81

2010.8.22補充
設\( \theta \)為銳角,則\( 64sec^2 \theta+csc^2 \theta+16sec \theta csc \theta \)的最小值為?
(99基隆女中,https://math.pro/db/thread-1024-1-1.html)

2011.6.11補充
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為?
需列出算式,只寫答案不予計分
(100玉井工商,https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

2011.8.7補充
a>b>0,橢圓Γ:\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)的切線L交座標軸於A、B兩點,求線段\( \overline{AB} \)的最小值?
(100北港高中,https://math.pro/db/thread-1192-1-1.html)

100.9.3補充
兩道高牆之間有一條直角彎道,兩段 垂直巷道的寬度分別是 a 與 b,如果要平舉一支竹竿順利通過彎道,這支直竿的長度,最長可以是多少 ?
(竹竿恆保持平行於地面且離地面高度不超過牆高)
http://www.mathland.idv.tw/life/rtseg.htm

100.9.28補充
\( \displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{sin^3 \theta}{cos \theta}+\frac{cos^3 \theta}{sin \theta} \)之最小值?

101.4.29補充
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \),當\( \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} \)有最小值時,求此時\( log_2(tanx) \)值?
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.19補充
\( a>0 \),\( b>0 \),\( \theta \)為銳角,求\( \displaystyle \frac{a}{cos \theta}+\frac{b}{sin \theta} \)的最小值
(101師大附中,https://math.pro/db/thread-1355-1-1.html)

101.6.26補充
設x、y、z均為正數,且\( 36x+9y+4z=49 \),求\( \root 3 \of{x}+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26} \)的最大値為
(101國立陽明高中,https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html)

101.11.17補充
若\( a_1,a_2,…,a_n \)為非負的實數,證明\( (1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)\ge (1+\root{n}\of{a_1a_2…a_n})^n \)。
(101年度第1學期 中山大學雙週一題,http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2012f/1011Q&A.htm)

102.2.6補充
dream10的廣義科西不等式筆記
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 8fe89119f7903#p8829

102.3.12補充
x、y、z非負實數,\( x^2+y^2+z^2=4 \),\( x^3+y^3+z^3 \)最小值=?

102.4.25補充
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \);\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數,
求證:\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
(102中正高中,https://math.pro/db/thread-1576-1-1.html)

106.5.16補充
設\( \theta \)為一銳角滿足\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81 \),則\( tan \theta= \)(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \) (C)1 (D)\( \sqrt{2} \)。
(106全國高中聯招,https://math.pro/db/thread-2769-1-1.html)

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2009-1-1 11:52, 下載次數: 6213

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利用根與係數的關係解聯立方程式
這在解方程式的題目中算是比較少見的技巧,要看過才會知道怎麼處理。
至於第二部分求值的題目,既然97文華高中要91分才過初試,那這類題目也不能算是難題了。
97文華高中討論
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781

2009.6.25補充一題
已知\( x+y+z=2 \),\( x^2+y^2+z^2=3 \),\( x^3+x^3+z^3=4 \),試求\( x^4+x^4+z^4 \)。
答案\( \displaystyle \frac{35}{6} \)
(98花蓮高工,https://math.pro/db/thread-799-1-1.html)

2010.5.8補充
已知\( x+y+z=1 \),\( x^2+y^2+z^2=2 \),\( x^3+x^3+z^3=3 \),試求\( x^4+x^4+z^4 \)。
答案\( \displaystyle \frac{25}{6} \)
(99中壢家商,https://math.pro/db/thread-932-1-3.html)
(104木柵高工,https://math.pro/db/thread-2259-1-1.html)

2010.7.10補充
已知\( \displaystyle \cases{x+y+z=5 \cr x^2+y^2+z^2=13 \cr x^3+y^3+z^3=41} \),求\( x^4+y^4+z^4= \)?
(99文華高中代理,https://math.pro/db/thread-1003-1-1.html)

2010.7.16補充
試問聯立方程式\( \displaystyle \cases{x+y+z=6 \cr x^2+y^2+z^2=14 \cr x^3+y^3+z^3=36} \)共有幾組解?
(A)1 (B)2 (C)4 (D)6
(99金門縣國中聯招)

2011.7.10補充
3個實數x,y,z,滿足下列三個等式
\( \displaystyle \cases{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \)
試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值?
(建中通訊解題第70期)

101.6.19補充
a,b,c為非零實數,\( a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3 \),\( a+b+c=0 \),則\( a^2+b^2+c^2= \)?
(101鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1420-1-1.html)

2011.9.12補充
已知a,b,c是三個互不相等的實數,試解關於x,y,z的方程組
\( \displaystyle \cases{\frac{x}{a^3}-\frac{y}{a^2}+\frac{z}{a}=1 \cr \frac{x}{b^3}-\frac{y}{b^2}+\frac{z}{b}=1 \cr \frac{x}{c^3}-\frac{y}{c^2}+\frac{z}{c}=1} \)
[答案]
\( x=abc \),\( y=ab+bc+ca \),\( z=a+b+c \)

104.6.7補充
設a,b,c三數滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=31} \)且\( a>b>c \),令\( f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=0 \),則序組\( (a,b,c)= \)  
(103嘉義高中,https://math.pro/db/thread-1923-1-1.html)

104.5.2補充
已知\( a,b,c \)為實數且滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=28} \)。若\( a>b>c \),則數對\( (a,b,c)= \)   
(104桃園高中,https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-20 06:09 PM 編輯 ]

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2009-1-2 07:13, 下載次數: 5599

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用算幾不等式解三角函數的極值
這類型的題目在PTT數學版曾經出現過兩次,當網友看到解法時總是驚嘆解法實在是太有技巧性了
但你只要多作過幾題,就會發現解法其實都差不多
教甄好像還沒考過類似題目,假如你是出題老師也不妨考慮看看。


2010.4.29補充
將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形,試求此梯形的最大面積?
(師大數學系教授 黃文達 資優數學研習營基本不等式講義)
http://www.google.com/search?client=opera&rls=zh-tw&q=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%B3%87%E5%84%AA%E7%87%9F%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AC%9B%E7%BE%A9+2006-02-12(%E9%BB%83%E6%96%87%E9%81%94).doc&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8

2010.7.19補充
設函數\( f(x)=cosx \cdot sin^3 x \)的極大值為\( M \),極小值為\( m \),則求數對\( (M,m) \)之值為何?
(99大安高工代理,https://math.pro/db/thread-1014-1-1.html)

2010.12.18補充
利用三根10公尺的竹竿,沿著河岸圍出一個等腰梯形。試問此等腰梯形的最大面積為平方公尺。
88高中數學能力競賽 宜花東區試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Ilan_02.pdf

2011.6.28補充
△ABC中∠C為直角,D為\( \overline{BC} \)上一點,\( \overline{AD}=\overline{BD}=1 \),求△ABC面積的最大值?
[提示]
令\( ∠ADC=\theta \),\( \overline{AC}=sin \theta \),\( \overline{CD}=cos \theta \)
\( △ABC=\frac{1}{2}\times (1+cos \theta)sin \theta \)

101.2.1補充
在某機械設計中,已知\( \overline{AB}=\overline{AC}=a \),\( \overline{CD}⊥\overline{BD} \),\( ∠CAD=\theta \),當\( \theta \)為何值時,△BDC的面積最大,並求出最大值?
(張奠宙、戴再平,生活中的中學數學P84)

101.4.17補充
梯形ABCD是橢圓Γ:\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)的內接梯形,其中\( A(5,0) \)、\( B(-5,0) \),求梯形ABCD的最大面積?
(99文華高中,https://math.pro/db/thread-924-1-1.html)

101.10.31補充
設等腰梯形ABCD,\( \overline{AD}//\overline{BC} \),且\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}=a \)(定值),試求此梯形面積之最大值。
(101竹北高中二招,https://math.pro/db/thread-1466-1-1.html)

102.8.21補充
等腰梯形ABCD,\( \overline{AB}=\overline{CD}=\overline{AD}=6 \),\( \overline{AD} \)平行\( \overline{BC} \),則梯形ABCD的最大面積為多少?
(A)\( 27 \sqrt{2} \) (B)\( 27 \sqrt{3} \) (C)\( 27 \sqrt{6} \) (D)\( 21 \sqrt{3} \) (E)\( 21 \sqrt{6} \)
(102玉里高中,https://math.pro/db/thread-1730-1-1.html)

103.6.10補充
用3枝10公尺長的竹竿,沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(103鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1928-1-1.html)

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生活中的中學數學P84.gif (135.23 KB)

2012-2-1 11:41

生活中的中學數學P84.gif

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邊長為正整數的三角形
相較於前面幾個單元,這部分的題目就比較簡單,各位可以試著做看看。

104.1.11補充
設\( \Delta ABC \)中,最大角\( A \)為最小角\( B \)的2倍。若\( \Delta ABC \)三邊長為連續的正整數,則其三邊長的和為。
(103高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-1-11 08:21 AM 編輯 ]

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邊長為正整數的三角形.gif (585.62 KB)

2015-1-11 08:21

邊長為正整數的三角形.gif

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a+b=1求極值
這算是教甄比較冷門的題目,只要有個印象就好了

100.5.29
設\( a,b \)為正實數,滿足\( a+b=1 \),試求\( \displaystyle ab+\frac{1}{ab} \)的最小值?
(100新北市高中聯招,https://math.pro/db/thread-1114-1-1.html)

100.6.10
已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \),則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為?
(100成淵高中,https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html)
難得筆記中了一題,看來這類題目也不能算是教甄冷門題目了。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-10 09:55 PM 編輯 ]

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2009-2-22 07:27, 下載次數: 4688

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面積法
有些題目在敘述時雖然沒提到面積,但面積公式反而是解題的關鍵,這次的筆記我收錄了許多教甄曾考過的題目,下次在看到類似圖形時不妨從面積來著手,另外初中數學競賽教程還有更多關於面積法的題目說不定就從這裡出題

2010.5.9補充
設H為△ABC之垂心,且\( \overline{AH}=l \),\( \overline{BH}=m \),\( \overline{CH}=n \),\( \overline{BC}=a \),\( \overline{CA}=b \),\( \overline{AB}=c \),試證:\( \displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} \)。
(99中二中)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
\( \displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} \),R為外接圓半徑

2010.9.25補充
某人在O點測量到遠處有一物體正在作等速直線運動,開始時該物體在位置P點,一分鐘後,位置在Q點且\( ∠POQ=90^o \),再過一分鐘後,該物體位置會在R點,且\( tan(∠QOR)=2 \),試求\( tan(∠OPQ) \)的值為何?(1) 1 (2) \( \displaystyle \frac{1}{2} \) (3) \( \displaystyle \frac{1}{3} \) (4) \( \displaystyle \frac{1}{4} \) (5) \( \displaystyle \frac{1}{5} \)
(2010北區第一次學測RA146.swf)

101.4.7補充
小明(在A點)往一個垂直於地面的大型看板(\( \overline{BD} \))看去,如右圖,小明發現\( \overline{BC} \)為2公尺且\( \overline{CD} \)為5公尺,當他的眼睛看著看板的C點及D點時,小明又發現∠CAD為∠CAB的兩倍,能否幫小明算算他離看板多遠(及\( \overline{AB}= \)?)
(2012年中區數甲第1次RA576.swf,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA576.swf)
[提示]
△ACD=△ACD
\( \displaystyle \frac{1}{2}\times \overline{AC} \times \overline{AD} \times sin 2 \theta=\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{CD} \)

102.1.24補充
雖然圖形類似但因為條件不同所以無法用面積法計算
102.2.6補充
找到用面積的算法了
In the diagram line segments \( \overline{AB} \) and \( \overline{CD} \) are of length 1 while angles ABC and CBD are \( 90^o \) and \(  30^o \)respectively. Find \( \overline{AC} \).
(1986 Canada National Olympiad,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1986)

[解答]
令\( \overline{AC}=x \)
\( \displaystyle \frac{△ABD}{△CBD}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BD} \cdot sin120^o}{\frac{1}{2} \cdot \overline{CB}\cdot \overline{BD} \cdot sin30^o}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-1}} \)
\( \displaystyle \frac{△ABD}{△CBD}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}=\frac{x+1}{1} \)(兩個三角形面積等高)
\( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+1}{1} \),解方程式得\( x=\root 3 \of 2 \)


\( ∠AOB=90^o \),\( ∠BOC=30^o \),且\( \overline{AO}=\overline{BC}=1 \),則\( \overline{AB} \)長度為
(91高中數學能力競賽中彰投區試題,http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2003_Taiwan_High_Taichung_02.pdf)

設P為△ABC的\( \overline{BC} \)邊上一點,且\( \overline{PB}=\overline{AC}=a \),若\( \displaystyle ∠BAP=\frac{1}{3}∠PAC=30^o \),則\( \overline{PC} \)?
(95中一中)

△ABC中,\( ∠ABC=90^o \),\( \overline{AB}=1 \),若延長\( \overline{AC} \)到D,並使得\( \overline{AB}=\overline{CD}=1 \),若\( ∠CBD=30^o \),求\( \overline{AC} \)長。
(99屏北高中,https://math.pro/db/thread-937-1-1.html)

已知\( ∠ABC=90^o \),\( ∠ABD=45^o \),\( \overline{BC} \)長為\( 3\sqrt{10} \)且\( \overline{AD} \)長為5,試求\( \overline{AD} \)之長。
(99臺灣大學數學系學士班甄選入學 第二階段筆試試題(一),http://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

\( \overline{AB}=\overline{CD}=1 \),\( ∠BDC=90^o \),\( ∠ADB=30^o \),求\( \overline{BC}= \)?
(101鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1420-1-4.html)

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2010-9-25 20:46, 下載次數: 4795

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請問 高雄女中與92高級中學數學科能力競賽決賽 獨立研究(一)試題)的廣義柯西不等式題
如何證明 ?

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前文有提到"預備知識還是要你自行看書或上網找資料補足"
所以有些題目我沒有給任何的提示或解答,以免網友以為這裡有現成的魚可吃
準備高中教甄本來就是艱辛而漫長的路,絕對沒有一蹴可幾的方法,唯有多充實自己才是戰勝教甄的不二法門 共勉之。

102.3.15補充
我的教甄準備之路筆記有些會提供答案,有些則要你自行思考。
照理說有了足夠的範例,這些沒有答案的題目應該要能自己解出來
假若有問題的話,你可以和身旁的老師討論,若沒有人可以討論的話
至少發問時你要把你目前做到的部份寫出來,而只有題目的問題我也只能給你提示
希望有了提示你再搭配其他範例,更能靈活應用廣義科西不等式
1.
\( (1+??)(1+??)(1+??)\ge (1+\root 3 \of {xyz})^3 \)
\( (1+??)(1+??)(1+??)\ge (1+\root 3 \of {yzw})^3 \)
\( (1+??)(1+??)(1+??)\ge (1+\root 3 \of {zwx})^3 \)
\( (1+??)(1+??)(1+??)\ge (1+\root 3 \of {wxy})^3 \)
---------------------------------------------------
四個式子相乘

2.
\( (8+7)(??+??)(??+??)\ge (\root 3 \of 8+\root 3 \of 7)^3 \)

你想看看問號裡的數字應該要填什麼

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-3-15 10:01 PM 編輯 ]

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