廣義的科西不等式
在高中常見的科西不等式其實還有一般形式,在少數的教甄題目可以得到很漂亮的解答
特別是名校的教甄有機會會考,所以這類題目千萬別忽視了。
2009.6.1再補上相關題目
\( a,b,c,d,e \)均為正實數，試證：
\( (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e) \ge (1+\sqrt[5]{abcde})^{5} \)
高雄女中 雙週一題
連結已失效h ttp://dl.dropbox.com/u/23455489/%E9%AB%98%E9%9B%84%E5%A5%B3%E4%B8%AD%E9%9B%99%E9%80%B1%E4%B8%80%E9%A1%8C.zip
設\( a,b,c \)均為正實數。
(1)若\( abc=1 \)，求\( (a+2)(b+2)(c+2) \)之最小值
[提示]
\( (a+2)(b+2)(c+2)\ge (\sqrt[3]{abc}+2)^{3} \)
(2)若\( (1+a)(1+b)(1+c)=8 \)，則\( abc \)之最大值
[提示]
\( (1+a)(1+b)(1+c) \ge (1+\sqrt[3]{abc})^{3} \)
(高中數學101 P353)
原本的解法，
https://math.pro/db/thread-584-1-1.html
設\( x,y,z,w \)都是正實數，試證：
\( (1+x)(1+y)(1+z)(1+w)\ge (1+\sqrt[3]{xyz})(1+\sqrt[3]{yzw})(1+\sqrt[3]{zwx})(1+\sqrt[3]{wxy}) \)
(92高級中學數學科能力競賽決賽 獨立研究(一)試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2004_Taiwan_High_Indp_01.pdf
2010.4.3補充
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是n个正数,满足\( a_1 a_2 ...a_n=1 \)，求证：\( (2+a_1)(2+a_2)...(2+a_n)\ge 3^n \)
(1989大陸高中數學聯賽)
2010.6.9補充
p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值？
(99彰化藝術高中，
https://math.pro/db/thread-952-1-1.html)
2010.7.13補充
請問\( 2+\sqrt[3]{7} \)和\( \sqrt[3]{60} \)相比那個數大？
(胡安衡，歌西定理之一般形，數學傳播第八卷第一期)
可惜沒有開放pdf檔
連結已失效h ttp://www.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=81
2010.8.22補充
設\( \theta \)為銳角，則\( 64sec^2 \theta+csc^2 \theta+16sec \theta csc \theta \)的最小值為？
(99基隆女中，
https://math.pro/db/thread-1024-1-1.html)
2011.6.11補充
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
需列出算式，只寫答案不予計分
(100玉井工商，
https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)
2011.8.7補充
a>b>0，橢圓Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)的切線L交座標軸於A、B兩點，求線段\( \overline{AB} \)的最小值？
(100北港高中，
https://math.pro/db/thread-1192-1-1.html)
100.9.3補充
兩道高牆之間有一條直角彎道，兩段 垂直巷道的寬度分別是 a 與 b，如果要平舉一支竹竿順利通過彎道，這支直竿的長度，最長可以是多少 ?
(竹竿恆保持平行於地面且離地面高度不超過牆高)
http://www.mathland.idv.tw/life/rtseg.htm
100.9.28補充
\( \displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{sin^3 \theta}{cos \theta}+\frac{cos^3 \theta}{sin \theta} \)之最小值？
101.4.29補充
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，當\( \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} \)有最小值時，求此時\( log_2(tanx) \)值？
(101台中一中，
https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)
101.5.19補充
\( a>0 \)，\( b>0 \)，\( \theta \)為銳角，求\( \displaystyle \frac{a}{cos \theta}+\frac{b}{sin \theta} \)的最小值
(101師大附中，
https://math.pro/db/thread-1355-1-1.html)
101.6.26補充
設x、y、z均為正數，且\( 36x+9y+4z=49 \)，求\( \root 3 \of{x}+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26} \)的最大値為
(101國立陽明高中，
https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html)
101.11.17補充
若\( a_1,a_2,…,a_n \)為非負的實數，證明\( (1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)\ge (1+\root{n}\of{a_1a_2…a_n})^n \)。
(101年度第1學期 中山大學雙週一題，
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2012f/1011Q&A.htm)
102.2.6補充
dream10的廣義科西不等式筆記
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 8fe89119f7903#p8829
102.3.12補充
x、y、z非負實數，\( x^2+y^2+z^2=4 \)，\( x^3+y^3+z^3 \)最小值=？
102.4.25補充
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)；\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數，
求證：\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
(102中正高中，
https://math.pro/db/thread-1576-1-1.html)
106.5.16補充
設\( \theta \)為一銳角滿足\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81 \)，則\( tan \theta= \)(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \) (C)1 (D)\( \sqrt{2} \)。
(106全國高中聯招，
https://math.pro/db/thread-2769-1-1.html)
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只用到一般的柯西不等式
108.5.18補充
試證：對實數\(a,b,c,d\ge 0\)，\((a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)(d^2+2)\ge 4(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\)。
(99高中數學能力競賽 台中區複賽筆試一試題，
https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
[提示]
\((a^2+2)(b^2+2)\ge (\sqrt{2}a+\sqrt{2}b)^2=2(a+b)^2\)
