面積法
有些題目在敘述時雖然沒提到面積,但面積公式反而是解題的關鍵,這次的筆記我收錄了許多教甄曾考過的題目,下次在看到類似圖形時不妨從面積來著手,另外初中數學競賽教程還有更多關於面積法的題目說不定就從這裡出題
2010.5.9補充
設H為△ABC之垂心,且
\overline{AH}=l ,
\overline{BH}=m ,
\overline{CH}=n ,
\overline{BC}=a ,
\overline{CA}=b ,
\overline{AB}=c ,試證:
\displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} 。
(99中二中)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
\displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} ,R為外接圓半徑
2010.9.25補充
某人在O點測量到遠處有一物體正在作等速直線運動,開始時該物體在位置P點,一分鐘後,位置在Q點且
∠POQ=90^o ,再過一分鐘後,該物體位置會在R點,且
tan(∠QOR)=2 ,試求
tan(∠OPQ) 的值為何?(1) 1 (2)
\displaystyle \frac{1}{2} (3)
\displaystyle \frac{1}{3} (4)
\displaystyle \frac{1}{4} (5)
\displaystyle \frac{1}{5}
(2010北區第一次學測RA146.swf)
101.4.7補充
小明(在A點)往一個垂直於地面的大型看板(
\overline{BD} )看去,如右圖,小明發現
\overline{BC} 為2公尺且
\overline{CD} 為5公尺,當他的眼睛看著看板的C點及D點時,小明又發現∠CAD為∠CAB的兩倍,能否幫小明算算他離看板多遠(及
\overline{AB}= ?)
(2012年中區數甲第1次RA576.swf,
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA576.swf)
[提示]
△ACD=△ACD
\displaystyle \frac{1}{2}\times \overline{AC} \times \overline{AD} \times sin 2 \theta=\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{CD}
102.1.24補充
雖然圖形類似但因為條件不同所以無法用面積法計算
102.2.6補充
找到用面積的算法了
In the diagram line segments
\overline{AB} and
\overline{CD} are of length 1 while angles ABC and CBD are
90^o and
30^o respectively. Find
\overline{AC} .
(1986 Canada National Olympiad,
http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1986)
[解答]
令
\overline{AC}=x
\displaystyle \frac{△ABD}{△CBD}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{BD} \cdot sin120^o}{\frac{1}{2} \cdot \overline{CB}\cdot \overline{BD} \cdot sin30^o}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-1}}
\displaystyle \frac{△ABD}{△CBD}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}=\frac{x+1}{1} (兩個三角形面積等高)
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+1}{1} ,解方程式得
x=\root 3 \of 2
∠AOB=90^o ,
∠BOC=30^o ,且
\overline{AO}=\overline{BC}=1 ,則
\overline{AB} 長度為
(91高中數學能力競賽中彰投區試題,h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2003_Taiwan_High_Taichung_02.pdf 連結已失效)
設P為△ABC的
\overline{BC} 邊上一點,且
\overline{PB}=\overline{AC}=a ,若
\displaystyle ∠BAP=\frac{1}{3}∠PAC=30^o ,則
\overline{PC} ?
(95中一中)
△ABC中,
∠ABC=90^o ,
\overline{AB}=1 ,若延長
\overline{AC} 到D,並使得
\overline{AB}=\overline{CD}=1 ,若
∠CBD=30^o ,求
\overline{AC} 長。
(99屏北高中,
https://math.pro/db/thread-937-1-1.html)
已知
∠ABC=90^o ,
∠ABD=45^o ,
\overline{BC} 長為
3\sqrt{10} 且
\overline{AD} 長為5,試求
\overline{AD} 之長。
(99臺灣大學數學系學士班甄選入學 第二階段筆試試題(一),h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32 連結已失效)
\overline{AB}=\overline{CD}=1 ,
∠BDC=90^o ,
∠ADB=30^o ,求
\overline{BC}= ?
(101鳳新高中,
https://math.pro/db/thread-1420-1-4.html)