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我的教甄準備之路 105.2.23更新

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大概在95年以前,專門討論教甄的論壇是 h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/ (連結已失效)
後來管理者將論壇關閉,變成只能瀏覽文章但不能發文。
大家才又到全教會論壇討論教甄試題 h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/ (連結已失效)
突然有一天舊論壇就關閉了,許多老師精彩的解法和題目就消失了,實在很可惜。
那次經驗也讓我興起備份論壇的想法,於是我在三年前開始寫程式將論壇文章連同圖檔和附加檔案都下載下來。
我用的是我在大學所學過的perl,前前後後大概花了三個月的時間寫程式,後續我還將每一篇文章開啟看看連結是否正確。
只是連結到舊論壇的文章就消失了,你可以從下載的檔案中找到全部的程式碼。


因為那時沒有專責的版主管理論壇,很多人會將自己要問的題目節錄後就直接發文。
不僅文章標題非常混亂,附加檔案的檔名也是隨意亂取,變成之後的網友很難找到文章。
在整理論壇附加檔案時發現有同一份教甄試題被重複上傳了三次,這些重複的檔案我也都刪除了。
這也影響我在管理math pro的想法,寧願在事前多花點時間先將文章整理好,也不要讓網友重複問已經有答案的問題。


除了論壇文章之外,我還將我手邊有的97年以前教甄題目另外整理在一個資料夾。
整份檔案大小為195mb,檔案大到無法上傳至math pro,我另外找個網路空間,歡迎各位網友下載。
最後祝各位中秋節快樂


math pro有的討論文章
92台中一中的一題   https://math.pro/db/thread-730-1-21.html
92國立三重高中    https://math.pro/db/thread-869-1-1.html

93中壢高中部分題目  https://math.pro/db/thread-945-1-20.html
93國立清水高中代理  https://math.pro/db/thread-1239-1-11.html

95基隆高中      https://math.pro/db/thread-865-1-20.html
95中一中       https://math.pro/db/thread-987-1-19.html
95台中高農      https://math.pro/db/thread-1070-1-1.html
95和美實驗學校    https://math.pro/db/thread-1055-1-18.html
95台中縣高中聯招   https://math.pro/db/thread-1079-1-17.html
95彰化女中      https://math.pro/db/thread-1126-1-17.html

96基隆市國中聯招一題 https://math.pro/db/thread-872-1-20.html
96台南縣國中聯招   https://math.pro/db/thread-886-1-20.html
96台中高工      https://math.pro/db/thread-961-1-19.html
96玉里高中的一題   https://math.pro/db/thread-1599-1-5.html

97台中一中      https://math.pro/db/thread-1344-1-2.html
97高雄市高中聯招   https://math.pro/db/thread-1405-1-11.html
97花蓮高中      https://math.pro/db/thread-1495-1-9.html
97松山家商      https://math.pro/db/thread-649-1-1.html
97中興高中一題    https://math.pro/db/thread-970-1-22.html


103.7.22檔案裡的歷屆試題清單
中正高工
金陵女中
2000南港高中夜間部
92國立三重高中

93大里高中
93台南女中
93屏東縣高中聯招
93清水高中
93彰化女中

94大甲高工
94中二中部份試題
94台北縣高中聯招
94台南大學附中
94台南女中部份試題
94永仁高中
94建功高中國中數學
94海青工商
94高雄女中
94基隆女中
94嘉義女中
94嘉義高工
94彰化女中
94彰化和美高中
94暨大附中
94霧峰農工
94蘭陽女中
94蘭陽女中三招

95三重商工
95士林高商
95大甲高中部分試題
95中壢高中
95仁愛高農
95文華高中
95斗南高中
95北港高中
95台中一中
95台中家商
95台中高農
95台南海事
95台南高商部份試題
95民雄高工
95玉井工商
95全國高中聯招
95竹東高中
95西松高中代理
95和美高中
95忠明高中
95松山家商
95建功高中國中數學
95師大附中部份試題
95桃園高中
95高師大附中國小部
95高雄市高中聯招
95國立陽明高中
95基隆女中
95基隆高中
95華江高中
95華南高商
95新竹高商
95新營高中
95溪湖高中
95嘉義高工
95彰化女中
95彰化高商
95暨大附中
95蘭陽女中

96斗南高中
96北斗家商
96台中一中
96台中高工
96台北縣高中聯招
96台南女中
96台南海事
96台南高商
96市立陽明高中
96永仁高中
96和美高中
96花蓮女中
96南科實中
96南港高工日間部
96南港高工夜間部
96員林高中
96家齊女中一招
96家齊女中二招
96師大附中
96高雄中學
96高雄縣立高中聯招
96國立陽明高中
96基隆女中
96淡水商工
96景美女中
96慈濟高中
96新化高工
96新竹女中
96新竹高商一招
96新竹高商二招
96嘉義女中
96嘉義家職
96嘉義高工
96彰化高商
96豐原高商

97土庫商工
97士林高商
97大安高工
97大里高中
97大直高中部份試題
97中山女高
97中和高中
97中興高中
97文華高中
97台中一中
97台中女中
97台中高工
97台南女中
97玉井商工
97全國高中聯招
97竹北高中
97松山工農
97松山家商
97武陵高中
97花蓮高中
97南一中
97南科實中
97南港高工
97後壁高中
97家齊女中
97師大附中一招
97師大附中二招
97桃園陽明高中
97桃園農工
97高雄市高中聯招
97國立大里高中
97淡水商工
97復興高中
97楊梅高中
97嘉義女中
97嘉義高中
97彰化藝術高中
97潮州高中
97衛道中學
97豐原高中

檔案下載:
https://www.dropbox.com/s/k4fvr8 ... 9%E4%BB%BD.zip?dl=0
感謝站長提供math pro空間,讓前輩的精華文章能繼續協助還沉浮在教甄之海中的廣大考生。
https://math.pro/temp/nta_examservice.zip

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回復 21# bugmens 的帖子

謝謝版主的用心,中秋節快樂!!

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求數列一般項

之前在https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434推薦大家去看數學傳播關於遞迴數列的文章,相信大家對於分式遞迴數列應該都沒問題了。
但關於數列一般項的解法其實還有很多解法,只要題目條件調整一下說不定又可以用不同的解法。
我按照我的解題策略將這些題目做個整理,我也比較了各方法之間的異同。
當然還有很多題型我並沒有收錄,考量是教甄既然沒考到這麼難的題目,準備太多難免會顧此失彼。

superlori所整理的遞迴數列筆記
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7465
寸絲所整理的遞迴數列筆記(第一個檔案)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653
分式遞迴數列討論
https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html

103.1.4補充
給定數列\( {x_n} \)如下:\( \displaystyle x_1=\frac{1}{2} \),\( x_n=3x_{n-1}-2(-1)^{n-1} \),\( n=2,3,... \)。試問\( x_{101} \)是幾位數?
(95高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html)

已知\( a_1=1 \),\( \displaystyle a_{n+1}=3 a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \),( \( n \in N \) );則\( a_n= \)?
(100麗山高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=7#pid9513)

從這兩題或許可以看出weiye的解題策略是遇到有指數的項就先同除。
而100麗山高中的\( a_n \)係數剛好也是3,除完之後\( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^n} \)和\( \displaystyle \frac{a_n}{3^{n-1}} \)係數相同,就可以用累加的方式求得\( a_n \)。

出個問題讓妳回答,題目改成\( a_{n+1}=3a_{n}+n2^n \)
(1)若按照weiye的解題策略一開始就同除\( 2^n \),那有什麼地方應該要注意的?
(2)那可不可以同除n來計算?

103.4.26補充
設兩數列\( a_1,a_2, \ldots ,a_{100} \)及\( b_1,b_2, \ldots ,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \),\( n=1,2, \ldots ,99 \)。已知\( a_{99}=3^{50} \),\( b_{100}=4 \dots 3^{49} \)。試求\( \Bigg[\; \matrix{a_1 \cr b_1} \Bigg]\;= \)
(103中央大學附屬中壢高中,https://math.pro/db/thread-1868-1-1.html)

103.5.6補充
給定數列\( \langle\; a_n \rangle\; \),已知\( a_1=104 \),\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=(n+3)^2a_n \),試求\( a_{100}= \)?
(103和平高中,https://math.pro/db/thread-1877-1-1.html)

104.4.25補充
已知遞迴式\( a_1=1 \),\( a_{n+1}=2a_n+n^2 \),試求出\( a_n \)的一般項。
(104台南二中,https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)

105.4.23補充
若數列\( \{\;a_n \}\; \)滿足\( a_1=1 \),\( \sqrt{a_n}=2 \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n a_{n+1}} \),\( n \in N \),求數列\( \{\;a_n \}\; \)的一般項\(a_n=\)   
(105中壢高中,https://math.pro/db/thread-2486-1-1.html)

105.4.24補充
\(n\)為自然數,若\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \),\( a_{n+1}=2(a_n+1) \),求數列\(  \)的第100項\(a_{100}=\)   
(105台南女中,https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)

105.4.26補充
數列\(\langle\; a_n \rangle\;\)滿足\( a_1=0 \),\( a_2=1 \),\( a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1 \),則\( a_{106}= \)   
(105桃園高中,https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)

105.6.5補充
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中,若\(a_1=1\),且\(a_{n+1}=3a_n-1\),則\(a_n=\)   
(105高雄餐旅大學附屬高中,https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)

105.6.16補充
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足遞迴式\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=\frac{1}{3} \cr a_n=a_{n-1}+\frac{2}{n^2+3n+2},n \ge 2} \),試求\(a_n\)。
(105復興高中二招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2533&page=1#pid15698)

附件

求數列一般項.zip (547.9 KB)

2014-1-1 20:43, 下載次數: 1656

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謝謝bugmens的分享
即將踏上這條路~~~
非常期待~~

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矩陣\(n\)次方

這次嘗試將解答一併附上去,所以頁數較多(18頁)。

補充資料:
國立中正大學數學系◆余文卿 教授,【數學講座】方陣的冪次方及其應用
http://www.worldone.com.tw/pdFil ... /education_1736.pdf

105.4.26補充
設\( A=\left[ \matrix{1&1&1\cr0&1&1\cr0&0&1} \right] \),則\(A^{102}\)中各元總和為   
(105桃園高中,https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)

附件

矩陣n次方.zip (665.09 KB)

2016-2-23 08:03, 下載次數: 917

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想請教 13# "多項式連乘" 這份筆記中,倒數第三題的係數部分如何求出?

題目: 求 (1+x³)(1+2x⁶)(1+3x⁹)...(1+89x²⁶⁷) 的展開式中 [ 註: 每個 "( )" 內的一般項為 1+nx³ⁿ,共 89 個 "( )" ],x²⁶⁷的係數。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-2-26 20:13 編輯 ]

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當初這題的出處在
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19254
之後在這篇又被問一次
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48238
只是網址已經連不上,我將網頁放在附件中,有興趣的網友可以參考。

先說結論是題目打錯了,將\( \displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3^{n}}) \)誤植為\( \displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3n}) \)。

\( \displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3n}) \)是整數分割。要求\(x^{267}\)的係數的話
\( 267=3\cdot 89=3(x_1+x_2+\ldots+x_n) \),其中\( 1 \le x_1<x_2<\ldots<x_n \)
但整數分割有很多種而且沒有規則
\( 267=3(1+88) \) , \( (1 \cdot x^3)(88 \cdot x^{264})=88 x^{267} \)
\( 267=3(1+2+86) \) , \( (1 \cdot x^3)(2 \cdot x^6)(86 \cdot x^{258})=172 x^{267} \)
\( 267=3(13+20+25+31) \) , \( (13 \cdot x^{39})(20 \cdot x^{60})(25 \cdot x^{75})(31 \cdot x^{93})=201500x^{267} \)

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當初的網頁.zip (111.59 KB)

2017-2-27 11:15, 下載次數: 109

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