除了Math Pro,美夢成真論壇之外，PTT數學板也有很多高手會在那裡回答別人的提問，我有很多漂亮的解法或是速解的公式都是從PTT數學板收集來的。可惜PTT會將舊文章刪除，若沒有及時備份，那文章就算是失傳了。現在我為各位推薦一個軟體，可以將PTT的文章轉換成html網頁檔，將來你可以自己收集想要備份的文章。

操作步驟
1.先申請PTT的帳號，登入後按小寫s輸入看板名稱math，進到數學板。
2.在想要備份的文章前面按大寫F，這時候會問要轉寄到哪裡，輸入自己的ID轉寄到自己信箱。
3.轉寄多篇文章到自己信箱後，按←鍵回到PTT主選單。
4.選擇(M)ail         【 私人信件區 】，按→鍵進入自己的信箱。
5.選擇(Z)ip UserHome  把所有私人資料打包回去，按→鍵輸入自己的e-mail信箱。
6.進入自己的e-mail信箱，此時PTT會寄一封附加檔案為******.tgz的信。
7.將檔案下載到自己電腦的桌面上。
8.將******.tgz解壓縮，解出來是仍是個壓縮檔，還要再解壓縮一次變成目錄為止。
9.下載軟體bbs2html。
10.開啟軟體，輸入.DIR檔案目錄的位置。
　例如：C:\Users\user\Desktop\home\b\bugmens
11.開啟index.html可以看全部的文章標題，按滑鼠右鍵另存新檔將個別文章存到其他目錄。

PTT 數學板的網頁
http://www.ptt.cc/bbs/Math/index1.html

以下是我近幾年來在PTT備份的教甄試題，感謝這些網友提供。
有要問歷屆試題的網友請回到https://math.pro/db/forum-7-1.html另開一篇文章發問。

大概在95年以前，專門討論教甄的論壇是　h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/ (連結已失效)
後來管理者將論壇關閉，變成只能瀏覽文章但不能發文。
大家才又到全教會論壇討論教甄試題　h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/ (連結已失效)
突然有一天舊論壇就關閉了，許多老師精彩的解法和題目就消失了，實在很可惜。
那次經驗也讓我興起備份論壇的想法，於是我在三年前開始寫程式將論壇文章連同圖檔和附加檔案都下載下來。
我用的是我在大學所學過的perl，前前後後大概花了三個月的時間寫程式，後續我還將每一篇文章開啟看看連結是否正確。
只是連結到舊論壇的文章就消失了，你可以從下載的檔案中找到全部的程式碼。


因為那時沒有專責的版主管理論壇，很多人會將自己要問的題目節錄後就直接發文。
不僅文章標題非常混亂，附加檔案的檔名也是隨意亂取，變成之後的網友很難找到文章。
在整理論壇附加檔案時發現有同一份教甄試題被重複上傳了三次，這些重複的檔案我也都刪除了。
這也影響我在管理math pro的想法，寧願在事前多花點時間先將文章整理好，也不要讓網友重複問已經有答案的問題。


除了論壇文章之外，我還將我手邊有的97年以前教甄題目另外整理在一個資料夾。
整份檔案大小為195mb，檔案大到無法上傳至math pro，我另外找個網路空間，歡迎各位網友下載。
最後祝各位中秋節快樂


math pro有的討論文章
92台中一中的一題　　　https://math.pro/db/thread-730-1-21.html
92國立三重高中　　　　https://math.pro/db/thread-869-1-1.html

93中壢高中部分題目　　https://math.pro/db/thread-945-1-20.html
93國立清水高中代理　　https://math.pro/db/thread-1239-1-11.html

95基隆高中　　　　　　https://math.pro/db/thread-865-1-20.html
95中一中　　　　　　　https://math.pro/db/thread-987-1-19.html
95台中高農　　　　　　https://math.pro/db/thread-1070-1-1.html
95和美實驗學校　　　　https://math.pro/db/thread-1055-1-18.html
95台中縣高中聯招　　　https://math.pro/db/thread-1079-1-17.html
95彰化女中　　　　　　https://math.pro/db/thread-1126-1-17.html

96基隆市國中聯招一題　https://math.pro/db/thread-872-1-20.html
96台南縣國中聯招　　　https://math.pro/db/thread-886-1-20.html
96台中高工　　　　　　https://math.pro/db/thread-961-1-19.html
96玉里高中的一題　　　https://math.pro/db/thread-1599-1-5.html
96台南女中　　　　　　https://math.pro/db/thread-3490-1-1.html

97台中一中　　　　　　https://math.pro/db/thread-1344-1-2.html
97高雄市高中聯招　　　https://math.pro/db/thread-1405-1-11.html
97花蓮高中　　　　　　https://math.pro/db/thread-1495-1-9.html
97松山家商　　　　　　https://math.pro/db/thread-649-1-1.html
97中興高中一題　　　　https://math.pro/db/thread-970-1-22.html
97南二中　　　　　　　https://math.pro/db/thread-3454-1-1.html
97師大附中第二次　　　https://math.pro/db/thread-743-1-1.html
97楊梅高中　　　　　　https://math.pro/db/thread-3457-1-1.html


103.7.22檔案裡的歷屆試題清單
中正高工
金陵女中
2000南港高中夜間部
92國立三重高中

93大里高中
93台南女中
93屏東縣高中聯招
93清水高中
93彰化女中

94大甲高工
94中二中部份試題
94台北縣高中聯招
94台南大學附中
94台南女中部份試題
94永仁高中
94建功高中國中數學
94海青工商
94高雄女中
94基隆女中
94嘉義女中
94嘉義高工
94彰化女中
94彰化和美高中
94暨大附中
94霧峰農工
94蘭陽女中
94蘭陽女中三招

95三重商工
95士林高商
95大甲高中部分試題
95中壢高中
95仁愛高農
95文華高中
95斗南高中
95北港高中
95台中一中
95台中家商
95台中高農
95台南海事
95台南高商部份試題
95民雄高工
95玉井工商
95全國高中聯招
95竹東高中
95西松高中代理
95和美高中
95忠明高中
95松山家商
95建功高中國中數學
95師大附中部份試題
95桃園高中
95高師大附中國小部
95高雄市高中聯招
95國立陽明高中
95基隆女中
95基隆高中
95華江高中
95華南高商
95新竹高商
95新營高中
95溪湖高中
95嘉義高工
95彰化女中
95彰化高商
95暨大附中
95蘭陽女中

96斗南高中
96北斗家商
96台中一中
96台中高工
96台北縣高中聯招
96台南女中
96台南海事
96台南高商
96市立陽明高中
96永仁高中
96和美高中
96花蓮女中
96南科實中
96南港高工日間部
96南港高工夜間部
96員林高中
96家齊女中一招
96家齊女中二招
96師大附中
96高雄中學
96高雄縣立高中聯招
96國立陽明高中
96基隆女中
96淡水商工
96景美女中
96慈濟高中
96新化高工
96新竹女中
96新竹高商一招
96新竹高商二招
96嘉義女中
96嘉義家職
96嘉義高工
96彰化高商
96豐原高商

97土庫商工
97士林高商
97大安高工
97大里高中
97大直高中部份試題
97中山女高
97中和高中
97中興高中
97文華高中
97台中一中
97台中女中
97台中高工
97台南女中
97玉井商工
97全國高中聯招
97竹北高中
97松山工農
97松山家商
97武陵高中
97花蓮高中
97南一中
97南科實中
97南港高工
97後壁高中
97家齊女中
97師大附中一招
97師大附中二招
97桃園陽明高中
97桃園農工
97高雄市高中聯招
97國立大里高中
97淡水商工
97復興高中
97楊梅高中
97嘉義女中
97嘉義高中
97彰化藝術高中
97潮州高中
97衛道中學
97豐原高中

檔案下載：
https://www.dropbox.com/s/k4fvr8 ... 9%E4%BB%BD.zip?dl=0
感謝站長提供math pro空間，讓前輩的精華文章能繼續協助還沉浮在教甄之海中的廣大考生。
https://math.pro/temp/nta_examservice.zip

求數列一般項

之前在https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434推薦大家去看數學傳播關於遞迴數列的文章，相信大家對於分式遞迴數列應該都沒問題了。
但關於數列一般項的解法其實還有很多解法，只要題目條件調整一下說不定又可以用不同的解法。
我按照我的解題策略將這些題目做個整理，我也比較了各方法之間的異同。
當然還有很多題型我並沒有收錄，考量是教甄既然沒考到這麼難的題目，準備太多難免會顧此失彼。

superlori所整理的遞迴數列筆記
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7465
寸絲所整理的遞迴數列筆記(第一個檔案)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653
分式遞迴數列討論
https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html

103.1.4補充
給定數列xn如下：x1=21，xn=3xn−1−2(−1)n−1，n=23。試問x101是幾位數？
(95高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1770-1-1.html)

已知a1=1，an+1=3an+3nn+n+1，( nN )；則an=？
(100麗山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=7#pid9513)

從這兩題或許可以看出weiye的解題策略是遇到有指數的項就先同除。
而100麗山高中的an係數剛好也是3，除完之後3nan+1和an3n−1係數相同，就可以用累加的方式求得an。

出個問題讓妳回答，題目改成an+1=3an+n2n
(1)若按照weiye的解題策略一開始就同除2n，那有什麼地方應該要注意的？
(2)那可不可以同除n來計算？

103.4.26補充
設兩數列a1a2a100及b1b2b100滿足an+1=3an−2bn+1bn+1=an+1−3bn ，n=1299。已知a99=350，b100=4349。試求a1b1= 
(103中央大學附屬中壢高中，https://math.pro/db/thread-1868-1-1.html)

103.5.6補充
給定數列an，已知a1=104，nk=1ak=(n+3)2an ，試求a100=？
(103和平高中，https://math.pro/db/thread-1877-1-1.html)

104.4.25補充
已知遞迴式a1=1，an+1=2an+n2，試求出an的一般項。
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)

105.4.23補充
若數列an滿足a1=1，an=2an+1+anan+1 ， n \in N ，求數列 \{\;a_n \}\; 的一般項a_n=　　　。
(105中壢高中，https://math.pro/db/thread-2486-1-1.html)

105.4.24補充
n為自然數，若 \displaystyle a_1=\frac{1}{2} ， a_{n+1}=2(a_n+1) ，求數列  的第100項a_{100}=　　　。
(105台南女中，https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)

105.4.26補充
數列\langle\; a_n \rangle\;滿足 a_1=0 ， a_2=1 ， a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1 ，則 a_{106}= 　　　
(105桃園高中，https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)

105.6.5補充
數列 \langle\; a_n \rangle\; 中，若a_1=1，且a_{n+1}=3a_n-1，則a_n=　　　。
(105高雄餐旅大學附屬高中，https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)

105.6.16補充
設數列 \langle\; a_n \rangle\; 滿足遞迴式 \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=\frac{1}{3} \cr a_n=a_{n-1}+\frac{2}{n^2+3n+2},n \ge 2} ，試求a_n。
(105復興高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2533&page=1#pid15698)

106.9.17補充
設數列 \{\; a_n \}\; 的前n項和為S_n，已知a_1=1且(5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8，試求 \displaystyle \sum_{k=101}^{150}\frac{1}{a_ka_{k+1}} 之值。
(104高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2466&page=2#pid15693)

109.6.15補充
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1、\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})，求此數列的一般項a_n。
(109中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)
(111高雄女中，https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html)

109.6.25補充
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)，
而數列\langle\;b_n\rangle\;定義為b_n=\sqrt{1+4a_n}。
(1)問：數列\langle\;b_n\rangle\;為何種數列？
(2)求數列\langle\;a_n\rangle\;的一般項公式。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試一試題，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

111.3.22補充
已知數列a_1=1且3a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9+16a_n^2}
(a)求a_n的一般式。
(b)試證對於所有的正整數n，滿足\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}。
(110高中數學能力競賽新北市筆試一，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

109.8.10補充
數列\langle\;a_n \rangle\;滿足a_1=0且\displaystyle a_n=\frac{1}{2+a_{n-1}}(n\ge 2)。已知將a_n寫成最簡分數\displaystyle a_n=\frac{r_n}{s_n}後，數列\langle\;a_n \rangle\;會滿足一個遞迴關係式r_n=ar_{n-1}+br_{n-2}(n\ge 2)。試求數對(a,b)=　　　。
(105台灣師大申請入學，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

110.8.2補充
在數列\langle\;a_n\rangle\;中，當1\le n\le 5時，a_n=n^2，且對所有正整數n，a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n均成立，則a_{110}=？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

111.4.19補充
已知數列的前n項和為S_n，首項\displaystyle a_1=\frac{1}{4}，且滿足a_n+3S_nS_{n-1}=0(n\ge 2,n\in N)，則\displaystyle \frac{1}{S_{2022}}=　　　。
(111台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=2#pid23766)

設一數列\langle a_n \rangle滿足a_1=1，a_{n+1}>a_n(n\in N)且(a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)。令\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=　　　。
(111台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=1#pid23757)

112.4.29
已知兩數列\langle\;a_n\rangle\;,\langle\;b_n\rangle\;，當n\in N時恆存在下列關係：\cases{a_n=3a_{n-1}+5b_{n-1}\cr b_n=a_{n-1}+7b_{n-1}}，且a_0=2,b_0=1，求一般項a_n。
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

已知數列中\langle\;a_n\rangle\;中，a_1=1，a_2=2，a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n(n\in N)，則\displaystyle \sum_{k=1}^{2023}(a_{k+1}^2-a_k\cdot a_{k+2})=？
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

112.6.13
正實數數列\langle\;a_n\rangle\;滿足遞迴關係式a_1=1，\displaystyle a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}+\frac{1}{4}，求a_{99}的值為何？
(A)2400　(B)2401　(C)2500　(D)2501
(112花蓮縣國中小聯招，https://math.pro/db/thread-3761-1-1.html)

112.7.4
設數列\langle\;a_n\rangle\;的遞迴關係式為\cases{a_1=1 \cr a_n=2a_{n-1}+n}，試求一般項a_n。
(112新竹高中代理，https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)

矩陣n次方

這次嘗試將解答一併附上去，所以頁數較多(18頁)。

補充資料：
國立中正大學數學系◆余文卿 教授，【數學講座】方陣的冪次方及其應用
h ttp://www.worldone.com.tw/pdFile.do?pid=1736&file=education/education_1736.pdf　連結已失效

105.4.26補充
設 A=\left[ \matrix{1&1&1\cr0&1&1\cr0&0&1} \right] ，則A^{102}中各元總和為　　　
(105桃園高中，https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html)

107.5.13補充
已知 A=\left[ \matrix{1&0 \cr -1&2} \right] ， B=\left[ \matrix{0&0 \cr -1&1} \right] ， I=\left[ \matrix{1&0 \cr 0&1} \right] ，設A^8=aI+bB，則(a,b)之值為　　　。
107全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-2964-1-1.html

109.8.10補充
已知\displaystyle \frac{\pi}{8}<\theta<\frac{\pi}{4}，\displaystyle sin(4\theta)=\frac{3}{5}，且G=\left[\matrix{cos\theta&sin\theta \cr -sin\theta & cos\theta} \right]，則G^8的反矩陣為何？
(104台灣師大個人申請，h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14 連結已失效)

給一個5\times 5的矩陣A=\left[\matrix{\displaystyle \frac{6}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \cr \frac{1}{5}&\frac{6}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \cr \frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \cr \frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}&\frac{1}{5} \cr \frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}} \right]，且k為任意正整數，則A^k為　　　。
(106台灣師大申請入學，h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14　連結已失效)

若\left[ \matrix{1&3 \cr 0&2}\right]^n=\left[\matrix{a_n& b_n \cr c_n&d_n} \right]，其中n為正整數，則\displaystyle \frac{b_{18}}{b_9}之值為　　　。
(2020TRML個人賽，https://math.pro/db/thread-3381-1-1.html)

110.1.23補充
設兩矩陣P,Q滿足\cases{7P+8Q=A \cr P+Q=I_2}，其中A=\left[\matrix{11&-3 \cr 4&4} \right]，I_2=\left[ \matrix{0&0 \cr 0&0}\right]，若A^{21}=aP+bQ，求(a,b)。
(1082中山大學雙週一題第4題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2020s/1082Q&A.htm)

110.1.31補充
n\in N，\left[\matrix{3&0 \cr 2&1}\right]^n=\left[\matrix{a_n&b_n \cr c_n&d_n} \right]，下列敘述何者正確？
(a)a_3=9　(b)a_2+a_3=a_4　(c)a_4+b_4=c_4+d_4　(d)c_n+d_n=3
https://math.pro/db/thread-3398-1-1.html

110.5.5補充
矩陣A=\left[\matrix{cos\theta&sin\theta \cr sin\theta&-cos\theta} \right]，求\displaystyle \sum_{n=1}^{100}A^n。
(108基隆女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20435)

110.8.14補充
若\left[\matrix{-1&\sqrt{3}\cr -\sqrt{3}&-1}\right]^{100}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]，則\displaystyle log_2 \frac{bc-ad}{a+b+c+d}=　　　。
(2012TRML團體賽，https://math.pro/db/thread-1486-1-1.html)

111.4.2補充
若\left[\matrix{-\sqrt{3}&1\cr -1&-\sqrt{3}} \right]^{99}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]，則\displaystyle log_4 \frac{ad-bc}{a+b-c-d}=？
(111樟樹實創高中，https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html)

設矩陣A=\left[\matrix{3&3&3 \cr 3&3&3 \cr3&3&3} \right]，矩陣I=\left[\matrix{1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1} \right]，若(A+I)^4=xA+yI，其中x,y為兩定實數，則x+y=　　　。
(98嘉義高工，https://math.pro/db/thread-1031-1-1.html)

112.7.5補充
若\left[\matrix{1&3\cr 0&2}\right]^n=\left[\matrix{a_n&b_n\cr c_n&d_n}\right]，其中n為正整數，則\displaystyle \frac{b_{20}}{b_{10}}之值為　　　。
(112金門高中，https://math.pro/db/thread-3771-1-1.html)

112.7.15補充
設A=\left(\matrix{4&4\cr -1&-1}\right)，而A+A^2+\ldots+A^n=\left(\matrix{2(3^n-1)&a \cr b&c}\right)，求b+c=？
(A)3^n-1　(B)1-3^n　(C)4(3^n-1)　(D)4(1-3^n)
(112台中市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3775-1-1.html)

112.8.21補充
矩陣運算規則A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]，B=\left[\matrix{p&q\cr r&s}\right]，A+B=\left[\matrix{a+p&b+q \cr c+r&d+s}\right]，AB=\left[\matrix{ap+br& aq+bs \cr cp+dr& cq+ds}\right]設A=\left[\matrix{1&-\sqrt{3}\cr \sqrt{3}&1}\right]。
(1)若A^3=aI_2，其中a為實數且I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]，則a=　　　。
(2)A+A^4+A^7+\ldots+A^{100}=　　　。
(111高中數學能力競賽　第5區(屏東高中)筆試(一))
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110.7.25補充
特徵值重根時該怎麼辦？
THE JORDAN CANONICAL FORM
https://math.pro/db/attachment.p ... 87&t=1407797768
maxima範例程式
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid2620

A=\left[\matrix{-1&-9 \cr 1&-7}\right]，A=PDP^{-1}，且P=\left[\matrix{3&1\cr1&0}\right]，求A^n=　　　(答案以n表示，n\in N)？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid8184)

111.7.7補充
設矩陣A=\left(\matrix{0&-1 \cr 1&2}\right)，若A^{111}=\left(\matrix{a&b \cr c&d}\right)，則a+c+d=？
(A)110　(B)111　(C)112　(D)113
(111台中市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3661-1-1.html)

設矩陣A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]，則A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2為下列何者？(I_2=\left[\matrix{1&0\cr0&1} \right])
(A)\left[\matrix{24&16\cr-36&-24} \right]　(B)\left[\matrix{-24&-16\cr36&24} \right]　(C)O_2　(D)4I_2
(110全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html)

想請教 13# "多項式連乘" 這份筆記中，倒數第三題的係數部分如何求出?

題目: 求 (1+x³)(1+2x⁶)(1+3x⁹)...(1+89x²⁶⁷) 的展開式中 [ 註: 每個 "( )" 內的一般項為 1+nx³ⁿ，共 89 個 "( )" ]，x²⁶⁷的係數。

當初這題的出處在
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19254
之後在這篇又被問一次
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48238
只是網址已經連不上，我將網頁放在附件中，有興趣的網友可以參考。

先說結論是題目打錯了，將 \displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3^{n}}) 誤植為 \displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3n}) 。

\displaystyle \prod_{n=1}^{89}(1+nx^{3n}) 是整數分割。要求x^{267}的係數的話
267=3\cdot 89=3(x_1+x_2+\ldots+x_n) ，其中 1 \le x_1<x_2<\ldots<x_n
但整數分割有很多種而且沒有規則
267=3(1+88) 　，　 (1 \cdot x^3)(88 \cdot x^{264})=88 x^{267}
267=3(1+2+86) 　，　 (1 \cdot x^3)(2 \cdot x^6)(86 \cdot x^{258})=172 x^{267}
267=3(13+20+25+31) 　，　 (13 \cdot x^{39})(20 \cdot x^{60})(25 \cdot x^{75})(31 \cdot x^{93})=201500x^{267}

兩根號的極值問題

110.2.20補充
若-3\le x\le 1，試求f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}的值域。
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

設F_1(-4,0),F_2(4,0)為橢圓\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1的兩焦點，且A(2,2)在橢圓的內部。若P為橢圓上任意一點，證明10-2\sqrt{2}\le \overline{PA}+\overline{PF_1}\le 10+2\sqrt{2}。
(95高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一)

113.7.19補充
已知A(4,0),B(2,2)是橢圓\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1內的點，若M為橢圓上動點，則\overline{MA}+\overline{MB}的最大值為　　　。
(113嘉科實中雙語部，https://math.pro/db/thread-3895-1-1.html)

求函數f(x)=\sqrt{2x^2-6x+4}+\sqrt{x^2-3x}的最小值，及此時的x之值。
(建中通訊解題第132期)

已知-1\le x \le 1，\displaystyle y=\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}}+\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}}，求y的最大值在哪兩個連續整數之間？
(建中通訊解題第146期)

設x,y為兩實數且滿足\sqrt{x+3}+\sqrt{y-7}=6，若2x+y的最大值為M，最小值為m，求數對M,m。
(建中通訊解題第154期)

111.1.31
設x\in R，求f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}的最大值為　　　。
(104全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-2252-1-1.html)

113.5.9補充
已知函數f(x)=\sqrt{x^4-x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+4}，則f(x)的最大值為　　　。
(113景美女中，https://math.pro/db/thread-3858-1-1.html)

111.12.17
若x>0，試求函數f(x)=\sqrt{x^2+(log_2x)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(log_2x-1)^2}的最小值？
(111高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3646-1-1.html)

112.4.24
設f(x)=\sqrt{10x-x^2}-\sqrt{16x-x^2-60}，求f(x)的最大值。
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

112.4.25
已知\vec{a}=(6,8)，\vec{b}=(\sqrt{1-sin\theta},\sqrt{sin\theta})，其中0\le \theta \le \pi，則\vec{a}\cdot \vec{b}的最大值為　　　。
(112台北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3729-1-1.html)

113.5.16
設t是任意實數，試求y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}的最大值為何？
(112竹東高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3758&page=1#pid25218)

112.6.6
空間中，A(-2,8,0)、B(3,1,4)，P為y軸上一點，則讓\overline{PA}+\overline{PB}有最小值的P坐標為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

112.6.10
空間中兩點A(8,0,12),B(7,13,13)，若P點在直線\displaystyle x+1=\frac{y}{2}=\frac{3-z}{-2}上，則\overline{PA}+\overline{PB}最小值為何？此時的P點坐標為何？
(112竹東高中，https://math.pro/db/thread-3758-1-1.html)

113.6.2
設A(7,6,3)、B(5,-1,2)與一直線L：\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2}，若在L上任取一點P，使得\overline{PA}+\overline{PB}有最小值，求P點坐標　　　。
(113嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3851-1-1.html)

113.7.6
已知空間中兩點A(1,2,3)，B(2,1,-1)，動點P(t,2t+1,2t),t為實數，若\overline{PA}+\overline{PB}有最小值時，此時t=　　　
(113彰化女中代理，https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)

112.6.12
\sqrt{2^x(2^x-8)+x(x-2)+17}+\sqrt{2^x(2^x-2)+x(x-10)+26}的最小值為何？
(A)5　(B)6　(C)7　(D)8
(112新北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3760-1-1.html)

112.8.18
設x,y \in R，則\sqrt{(x-4)^2+(y-1)^2+(x+y-2)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+(x+y)^2}的最小值為　　　。
(112文華高中代理，https://math.pro/db/thread-3764-1-1.html)

114.3.10
x、y為任意實數，定義：f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}求f(x,y)的最小值　　　。
(114南一中，https://math.pro/db/thread-3939-1-1.html)

113.3.17
已知二次函數y=x^2+2x-3的圖形與x軸交於點A(x_1,0)、B(x_2,0)，其中x_1>x_2。設Q(2,y_0)為y=x^2+2x-3上的一點，在此二次函數的對稱軸上找一點P，使得\overline{PA}+\overline{PQ}的值最小，則P點坐標為何？
(113嘉科實中國中部，https://math.pro/db/thread-3820-1-1.html)

113.4.12
空間中，A點坐標為(-2,8,0)，B點坐標為(3,1,4)，P點為y軸上一點，當\overline{PA}+\overline{PB}有最小值時，P點坐標為何？
【以下為學生小沂的解法】
因為\overline{PA}\ge 0，\overline{PB}\ge 0，故由算幾不等式可得\displaystyle \frac{\overline{PA}+\overline{PB}}{2}\ge \sqrt{\overline{PA}\times \overline{PB}}
等式成立時，\overline{PA}+\overline{PB}有最小值且發生在\overline{PA}=\overline{PB}時。
因為P點為y軸上一點，假設P點坐標為(0,y,0)，\overline{PA}+\overline{PB}\Rightarrow \sqrt{2^2+(y-8)^2}=\sqrt{3^2+(y-1)^2+4^2}\Rightarrow y=3
因此，P點坐標為(0,3,0)。
1.請問：小沂的解法是對的嗎？若老師覺得此學生的解法錯誤，要如何協助學生釐清錯誤的迷思呢？
2.如果您正在教授「高一」的學生，想避免學生有類似上述的錯誤方式，您要如何設計一道數學題目並給出類似上面的錯誤解法，讓學生偵錯呢？透過此道數學題目，要如何協助學生釐清錯誤的迷思呢？
(113新竹女中，https://math.pro/db/thread-3829-1-1.html)

113.4.21補充
函數f(x)=\sqrt{2x^2-6x+9}+\sqrt{2x^2-16x+(log_3x)^2-2x\cdot log_3x+4\cdot log_3x+40}的最小值為　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)

113.5.14補充
若函數f(x)=\sqrt{24-4x}+\sqrt{5x+15}(其中-3\le x \le6)的最大值為M，最小值m，則數對(M,m)=　　　。
(113南湖高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3867&page=1#pid26156)

114.3.10補充
已知函數f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}在x=a時有最小值m，則數對(a,m)=　　　。
(114竹北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3938&page=2#pid26751)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
橢圓準線相關問題
坐標平面上有兩定點A(-1,0)、B(1,1)，P為橢圓\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1上一點，則2\overline{PA}+\overline{PB}的最小值為　　　。
(113文華高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3836&page=3#pid25859)

在坐標平面上，若\Gamma：\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1、A(9,0)、B(7,7)，且動點P在\Gamma上，試求：5\overline{PA}+3\overline{PB}的最小值為。
(113嘉科實中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3842&page=1#pid26247)

在坐標平面上，A點坐標為(8,0)，B點坐標為(0,6)，P為圓：x^2+y^2=16上的動點，求3\overline{PA}+2\overline{PB}的最小值=　　　
(113彰化女中代理，https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)

113.6.20補充
\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k)(2k-1)}，求極限\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=　　　。
(106興大附中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004)
[提示]
\displaystyle f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}

111.3.9補充
若\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}(a,b為整數，且\displaystyle \frac{b}{a}為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
(101全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6029)

112.12.16補充
求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^5}\left(1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4\right)=　　　。
(112台灣師大大學個人申請入學筆試二，https://www.lib.ntnu.edu.tw/coll ... 1-ABA5-C9BFC4E09A6C)

111.4.2補充
已知數列\langle\;a_n\rangle\;中，若\displaystyle a_n=\frac{3}{\sqrt{n^4+4n^2}}+\frac{6}{\sqrt{n^4+16n^2}}+\frac{9}{\sqrt{n^4+36n^2}}+\ldots+\frac{3n}{\sqrt{5n^4}}，則\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=？
(111樟樹實創高中，https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html)

113.7.8補充
設\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot \frac{2k-1}{\sqrt{n^2+(2k-1)^2}}，求\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=　　　
(113竹東高中，https://math.pro/db/thread-3883-1-1.html)

111.5.6補充
求極限\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n})^2(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)}{(\root 3\of 1+\root 3\of 2+\root 3\of 3+\ldots+\root 3\of n)^3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}之值為　　　。
(111台南一中，https://math.pro/db/thread-3635-1-1.html)

111.6.11補充
求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^6-k(k-1)^5}{n^6}=　　　。
(104師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2226&page=1#pid13007)

111.6.12補充
試問\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　(E)4
(111香山高中，https://math.pro/db/thread-3654-1-1.html)

111.6.18
\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=　　　。
(111台中女中，https://math.pro/db/thread-3656-1-1.html)

111.7.7
極限值\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n \left(\frac{k}{n}\right)^4為
(A)\displaystyle \frac{1}{2}　(B)\displaystyle \frac{1}{3}　(C)\displaystyle \frac{1}{4}　(D)\displaystyle \frac{1}{5}
(111台中市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3661-1-1.html)

113.4.12
設數列a_k=k^3，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=　　　。
(113新竹女中，https://math.pro/db/thread-3829-1-1.html)

112.4.24
設a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)
(112台南女中，https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

112.4.27
\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{1\times 3}+\sqrt{2\times 4}+\ldots+\sqrt{n\times(n+2)}}{n}-\frac{n}{2}\right)=？
(112高雄中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3727&page=4#pid24708)

112.4.29
\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{ln \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right)}{n}=？
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

112.5.21
計算\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+j^2}。
(1112中山大學雙週一題　第六題)

113.5.25
設\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{3n}\frac{k^2}{3n^3+k^3},n\in N，求\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n。
(113南港高中，https://math.pro/db/thread-3876-1-1.html)

113.6.2
若\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{4n^2}{(2n+5k)^3},n\in N，則\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=　　　。
(113師大附中二招，https://math.pro/db/thread-3878-1-1.html)

113.6.2
求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{10n}\frac{400n^2}{400n^2+(2k-1)^2}=　　　。
(113嘉義高中，https://math.pro/db/thread-3851-1-1.html)

求值\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=？
(99明倫高中，https://math.pro/db/thread-959-1-1.html)

112.5.29
試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)
(112高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3751-1-1.html)

112.6.10
計算\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{1}{n})^2}+\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{2}{n})^2}+\ldots+\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{n}{n})^2})=？
(112竹東高中，https://math.pro/db/thread-3758-1-1.html)

112.6.16
試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right]=？
(A)\sqrt{2}-1　(B)\sqrt{3}-1　(D)2(\sqrt{2}-1)　(D)2(\sqrt{3}-1)
(112新竹市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html)

113.7.6
\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right)=　　　
(113彰化女中代理，https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)

113.5.11補充
求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+6n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+9n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+3n^2}}\right)=　　　。
(113武陵高中，https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)

112.7.15
設\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+nk+n^2}}=\ln\alpha，則\alpha之值為何？
(A)\displaystyle 1+\frac{\sqrt{3}}{3}　(B)\displaystyle 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}　(C)\displaystyle 1+\sqrt{3}　(D)\displaystyle 1+\sqrt{2}
(112台中市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3775-1-1.html)

113.4.11
112學年度分科測驗數學甲
「試問極限\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{3}{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times 1^2}+\sqrt{4n^2+9\times 2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2+9\times (n-1)^2}\right)的值可用下列哪一個定積分表示？
(1)\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+x^2}dx　(2)\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+9x^2}dx　(3)\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+x^2}dx　(4)\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+9x^2}dx　(5)\displaystyle \int_0^3 \sqrt{x^2+9}dx」
請說明如何教學求解。
(113北一女中，https://math.pro/db/thread-3828-1-1.html)

113.5.5
求極限\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^{\frac{1}{n}}的值？
(113新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3860-1-1.html)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
夾擠定理
113.7.6
\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\right)=　　　
(113彰化女中代理，https://math.pro/db/thread-3898-1-1.html)

頭尾相加為定值
頭尾相乘為定值

113.5.14補充
試計算log_8(tan1^{\circ}+\sqrt{3})(tan2^{\circ}+\sqrt{3})(tan3^{\circ}+\sqrt{3})\ldots(tan29^{\circ}+\sqrt{3})之值為　　　。
(113南湖高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3867&page=1#pid26161)