題目:求 \(x^2+3xy+194(x+y)+97^2=0\) 的所有整數解 \((x,y)\) 。
※ 原題目有 \(=0\)。
解答:
\(x^2+3xy+2\times97(x+y)+97^2=0\)
先利用雙十字交乘法(先不考慮常數項,找出分解後 \(x,y\) 的係數,然後再調整適當的常數項)分解成如下:
\(\displaystyle\Rightarrow \left(x+97\times\frac{2}{3}\right)\left(x+3y+97\times\frac{4}{3}\right)=-97^2+97^2\times\frac{8}{9}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \left(3x+97\times2\right)\left(3x+9y+97\times4\right)=-97^2\)
因為 \(x,y\) 為整數,所以左邊的兩個括弧都是整數,
因為 \(97\) 是質數,所以右邊的 \(-97^2\) 分解成兩整數相乘只有六種可能性,
分成六種情況解聯立方程式,可得有三組是 \(x,y\) 兩者都是整數解的,
也就是 \((x,y)=(-97,0), (-65,1024)\) 或 \((-3201,1024).\)
註:感謝老王老師於後方回覆中提醒我漏算的兩組!